1、第第2727课时课时 等腰三角形等腰三角形 本课时复习主要解决下列问题本课时复习主要解决下列问题.1.1.等腰三角形的有关概念、性质与判定等腰三角形的有关概念、性质与判定此内容为本课时的重点.为此设计了归类探究中的例1(包括预测变形15)，例2；限时集训中的第1，2，3，4，5，6，7，10题.学生用书P12.2.等边三角形的性质与判定等边三角形的性质与判定此内容为本课时的重点.为此设计了归类探究中的例3；限时集训中的第8，9，13，14题.3.3.运用等腰三角形的性质与判定解决有关问题运用等腰三角形的性质与判定解决有关问题此内容为本课时的难点.为此设计了限时集训中的第11，12题.1.已知等
2、腰ABC的周长为10，若设腰长为x，则x的取值范围是 学生用书P12.2010广州如图27-1，BD是ABC的角平分线，ABD36，C72，则图中的等腰三角形有 个【解析】由计算可知ABC、ABD、BCD是顶角分别为 36、108、36的等腰三角形，填3.【解析】当顶角接近180时，有x2.5,当顶角接近0时，有x5，2.5x5.2.5x533.如图27-2，在边长为1的等边ABC中，中线AD与中线BE相交于 点O，则OA的长度为 .4.2011毕节如图27-3，已知ABAC，A36，AB的中 垂线MD交AC于点D、交AB于点M.下列结论：BD是ABC的平 分线；BCD是等腰三角形；ABCBC
3、D；AMDBCD，正确的有()A.4个 B.3 个 C.2个 D.1个B1.1.等腰三角形的概念等腰三角形的概念定义：定义：有 相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的 叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做 ，腰与底边的夹角叫做底角.2.2.等腰三角形的性质等腰三角形的性质性质：性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简称为“等边对等角”）；（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的高线、底边上的中线 （简 称为“三线合一”）.两边两边顶角互相重合3.3.等腰三角形的判定等腰三角形的判定判定：判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称为“等 角对等边”）.注意：注意：要正确区
4、别等腰三角形的性质和判定.“性质”指的是由边相等得出角相等，即“等边对等角”；而“判定”指的是根据一些条件来判定三角形是不是等 腰三角形,即最后得出边相等.4.4.等边三角形等边三角形定义：定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形.注意：注意：等边三角形是等腰三角形的特殊情况，它是底边与腰相等的等腰三角形.5.5.等边三角形的性质和判定等边三角形的性质和判定性质：性质：（1）等边三角形的三条边都 ；（2）等边三角形的每一个角都等于 .判定：判定：（1）各边或角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角等于 的等腰三角形是等边三角形.相关规律：相关规律：（1）边长为a的等边三角形面积等于 (2)等
5、边三角形的内心、外心、垂心和重心重合于一点.6.6.线段的垂直平分线线段的垂直平分线定义：定义：经过线段的 与这条线段 的直线叫做这条线段的垂直平分线.注意：注意：线段的垂直平分线的两个要点“垂直”和“平分”要同时存在.性质：性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离 .判定：判定：与一条线段两个端点距离 的点，在这条线段的垂直平分线上.相等6060中点垂直相等相等 类型之一类型之一 等腰三角形的性质的运用等腰三角形的性质的运用 2012预测题如图27-4，等腰ABC的周长为21，底边BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则BEC的周长为（）A.13 B.14 C.
6、15 D.16【解析】等腰三角形的周长=两腰长+底边长，则等腰三角形一腰长=，易求题中ABC的腰AC长为8，又DE垂直平分AB，所以 BE=AE，故BEC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC=8+5=13.A【点悟】等腰三角形性质常与线段垂直平分线结合在一起，列方程（组）是解决等腰三角形中已知边长（周长）求三角形周长（边长）的常用方法，这既是方程思想的体现，又考查了数形结合思想.预测变形12010烟台如图27-5，等腰ABC中，AB=AC，A=20，线 段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则CBE等于（）A.80 B.70 C.60 D.50C【解析】根据等边
7、对等角及三角形内角和定理来计算，CBE=ABC-ABE=60.预测变形2011株洲如图27-6，ABC中，AB=AC，A=36，AC的垂直平 分线交AB于E，D为垂足，连接EC（1）求ECD的度数；（2）若CE=5，求BC的长.【解析解析】（1）求ECD的度数最简单的方法是根据线段垂直平分线的性质，得AE=EC，由等边对等角得到ECD=A=36.（2）由（1）知ECA=36，充分利用等边对等角得ABC=ACB=72，则ECB=36，BEC=72=B，BC=CE=5，也可 以利用三角形一个外角等于与它不相邻两内角和，得 CEB=A+ACE=72，从而得到B=CEB=72，所以BC=CE=5.（2
8、）解法一：AB=AC，A=36，B=ACB=72.ECD=36，BCE=ACB-ECD=36，BEC=180-B-BCE=72=B，BC=EC=5.解法二：AB=AC，A=36，B=ACB=72.BEC=A+ECD=72，BEC=B，BC=EC=5.解：解：（1）DE垂直平分AC，CE=AE，ECD=A=36.预测变形如图27-7，在RtABC中，B=90，ED是AC的垂直平分线，交AC于 点D，交BC于点E已知BAE=10，则C的度数为（）A.30 B.40 C.50 D.60B【解析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等边对等角等知识.ED垂直平分AC，EC=EA，C=E
9、AC，又B+BAE+C+EAC=180，C=【解析】本题要分两种情况计算.当顶角A为锐角时,如图（1），当顶角A为钝角时，如图（2），预测变形在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得锐角为50，则B=20或70预测变形5如图27-8，在ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于 点E.若EDC的周长为24，ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为 【解析解析】根据周长关系列式计算.由题知BD=DC，BE=EC，由化简得BE+BD-ED=12，-得2DE=12，DE=6.6 类型之二类型之二 等腰三角形的判定等腰三角形的判定 2011扬州
10、已知：如图27-9，锐角ABC的两条高BE、CD相交于点O，且OB=OC，（1）求证：ABC是等腰三角形；（2）判断点O是否在BAC的角平分线上，并说明理由【解析】（1）要证ABC是等腰三角形，可通过证两个角相等，从而得到两边相等，本题可证BDCCEB，易知BDC=BEC=90，BC=CB，再由OB=OC，得OBC=OCB，利用AAS即有BDCCEB，得到BCE=DBC，则AB=AC.（2）根据角平分线判定定理，转化为证OD=OE即可.解：解：（1）证明：OB=OC，OBC=OCB.BD、CE是ABC的两条高，BDC=CEB=90.又BC=CB，BDCCEB（AAS），DBC=ECB,AB=A
11、C，ABC是等腰三角形.（2）点O在BAC的角平分线上.理由：BDCCEB，DC=EB.OB=OC，OD=OE.又ODAB，OEAC，点O在BAC的角平分线上 2010德州如图27-10，点E，F在BC上，BECF，AD，BC，AF与DE交于点O(1)求证：ABDC；(2)试判断OEF的形状，并说明理由证明：证明：（）BECF，BEEFCFEF，即BFCE又AD，BC，ABFDCE（AAS），ABDC（）OEF为等腰三角形.理由如下：ABFDCE，AFB=DEC，OE=OF，OEF为等腰三角形【解析解析】（1）证明ABFDCE;(2)由等角对等边可判断其形状.【点悟】一般判定等腰三角形的方法是
12、“两边相等”和“等角对等边”两种，这就涉 及证明线段相等或角相等的问题，因此结合三角形全等可以解决很多线段相 等或角相等的问题.【解析解析】（1）利用“SAS”证明.(2)利用（1）中的结论将ABF转化到FAE上去，即可求出BFD的度数.解：解：(1)证明：ABC为等边三角形，BAC=C=60，AB=CA.在ABE和CAD中，AB=CA，BAE=C，AE=CD，ABECAD.(2)ABECAD，ABE=CAD，BFD=ABE+BAD=CAD+BAD=BAC=60.类型之三类型之三 等边三角形的性质与判定等边三角形的性质与判定 如图27-11，已知ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F.（1）求证：ABECAD；（2）求BFD的度数.2011綦江如图27-12，等边ABC中，AO是BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边CDE,连接BE.(1)求证：ACDBCE；(2)延长BE至Q,P为BQ上一点，连接CP、CQ使CPCQ5,若BC8时，求PQ的长.图27-12解：解：【点悟】在几何问题的解答过程中，有一部分思路来源于灵感，这种灵感建立在对一 些几何图形的基本性质（如本题是等边三角形的基本性质）的掌握之上，借 助这些图形的特性，可以启发我们寻找解答问题的思路和方法，从而达到解 决问题的目的.
