1、章目录章目录2022年12月16日星期五第二章 逻辑代数基础12.6 2.6 逻辑函数的化简逻辑函数的化简 一、化简的意义和最简的标准一、化简的意义和最简的标准 二、公式法二、公式法1.与或式的化简与或式的化简 2.2.或与式的化简或与式的化简 1.化简的意义（目的）化简的意义（目的）2.化简的目标化简的目标 3.最简的标准最简的标准 作业作业 章目录章目录2022年12月16日星期五第二章 逻辑代数基础22.5 2.5 逻辑函数的表达式逻辑函数的表达式 一、常见表达式一、常见表达式 F=AB+AC =AB+AC=AB AC =(A+B)(A+C)与或式 与非与非式与或非式=AB+A C节目录
2、节目录标题区标题区章目录章目录2022年12月16日星期五第二章 逻辑代数基础3 =(A+B)(A+C)或与式 =(A+B)(A+C)=A+B +A+C 或非或非式节目录节目录标题区标题区章目录章目录2022年12月16日星期五第二章 逻辑代数基础4二、标准表达式二、标准表达式 1.最小项、最小项表达式最小项、最小项表达式 (1)最小项的概念及其表示最小项的概念及其表示逻辑函数的最小项是一个乘积项，在该乘积项逻辑函数的最小项是一个乘积项，在该乘积项中所有的变量都要以原变量或者反变量的形式中所有的变量都要以原变量或者反变量的形式出现一次，而且只能出现一次。出现一次，而且只能出现一次。一个真值表可
3、能对应一个真值表可能对应多个多个一般与或式，但只对应一般与或式，但只对应一个一个标准与或式。标准与或式。节目录节目录标题区标题区章目录章目录2022年12月16日星期五第二章 逻辑代数基础5例例1：已知三变量函数：已知三变量函数 F(A,B,C)，则，则 ABC就是就是一个最小项，用一个最小项，用m5表示。表示。其中，其中，m 表示最小项，表示最小项，5 表示最小项的编号表示最小项的编号（注：编号与变量的排序和取值定义有关，原变量为（注：编号与变量的排序和取值定义有关，原变量为1，反变量为，反变量为0）ABC(101)2(5)10 例例2：已知四变量函数：已知四变量函数 F(A,B,C,D)，
4、则，则 BACD就就是一个最小项，其最小项编号为多少？是一个最小项，其最小项编号为多少？解：把最小项中的变量从左到右按解：把最小项中的变量从左到右按A,B,C,D的顺的顺序排列序排列，得，得ABCD，从而得，从而得(0111)2，即，即(7)10。节目录节目录标题区标题区所以，此最小项的编号为所以，此最小项的编号为7，记为，记为m7。章目录章目录2022年12月16日星期五第二章 逻辑代数基础6(2)最小项表达式（标准与或表达式）最小项表达式（标准与或表达式）例：),(420mmm)4,2,0(m420mmmCBACBACBACBAF),(节目录节目录标题区标题区章目录章目录2022年12月1
5、6日星期五第二章 逻辑代数基础72.最大项、最大项表达式：最大项、最大项表达式：(1)最大项的概念及其表示最大项的概念及其表示最大项是一个和项，在该和项中所有变量都要以最大项是一个和项，在该和项中所有变量都要以原变量或者反变量的形式出现一次，而且只能出原变量或者反变量的形式出现一次，而且只能出现一次。现一次。其中，其中，M 表示最大项，表示最大项，5 表示最大项的编号表示最大项的编号(101)2(5)10 例1：已知三变量函数 F(A,B,C)，则 A+B+C就是一个最大项，用M5表示。A+B+C 节目录节目录标题区标题区原变量用原变量用“0”表示，反变量用表示，反变量用“1”表示表示章目录章
6、目录2022年12月16日星期五第二章 逻辑代数基础8例例2：已知四变量函数：已知四变量函数 F(A,B,C,D)，则，则 B+C+A+D 就是一个最大项，其最大项编号为多少？就是一个最大项，其最大项编号为多少？解：把最大项中的变量从左到右按解：把最大项中的变量从左到右按A,B,C,D的顺的顺序排列序排列，得，得 A+B+C+D，从而得，从而得(0111)2，即，即(7)10。所以，此最大项的编号为所以，此最大项的编号为7，记为，记为M7。节目录节目录标题区标题区章目录章目录2022年12月16日星期五第二章 逻辑代数基础9(2)最大项表达式（标准或与表达式）最大项表达式（标准或与表达式）例：
7、F(A,B,C)=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C),(420MMM420MMM)4,2,0(M节目录节目录标题区标题区章目录章目录2022年12月16日星期五第二章 逻辑代数基础10单变量函数，如单变量函数，如 F(A)，共有：，共有：2个最小项个最小项3.最小项和最大项的性质最小项和最大项的性质 即：A、A 二变量函数，如二变量函数，如 F(A,B)，共有：，共有：4个最小项个最小项三变量函数，如三变量函数，如 F(A,B,C)，共有：，共有：8个最小项个最小项即：A B、A B、A B、A B即：A B C、A B C、A B C、A B C A B C、A B C、A B C、
8、A B C结论：结论：n变量函数，共有：变量函数，共有：2 n 个最小（大）项。个最小（大）项。节目录节目录标题区标题区章目录章目录2022年12月16日星期五第二章 逻辑代数基础11(1)最小项的主要性质最小项的主要性质 对任何一个最小项，只有一组变量的取值组对任何一个最小项，只有一组变量的取值组合，使它的值为合，使它的值为1。节目录节目录标题区标题区章目录章目录2022年12月16日星期五第二章 逻辑代数基础12A,B,CA B C0 0 000 0 10 0 1 000 1 101 0 001 0 111 1 001 1 10 能使最小项的值为能使最小项的值为1的变的变量取值组合，称为量
9、取值组合，称为与该与该最小项对应的取值组合最小项对应的取值组合。例：101 ABC。若把若把与最小项对应的取与最小项对应的取值组合值组合看成二进制数，看成二进制数，则对应的十进制数就是则对应的十进制数就是该最小项的编号该最小项的编号i。节目录节目录标题区标题区章目录章目录2022年12月16日星期五第二章 逻辑代数基础13全部最小项之和恒等于全部最小项之和恒等于1。即：即：1201niim任意两个最小项的乘积恒等于任意两个最小项的乘积恒等于0。即：即：),12)(0(0jijimmnji且节目录节目录标题区标题区章目录章目录2022年12月16日星期五第二章 逻辑代数基础14即：即：任一最小项
10、与另一任一最小项与另一最小项非最小项非之积恒等于该最之积恒等于该最小项小项。),12)(0(jijimmmniji且证明：证明：若自变量的取值组合使若自变量的取值组合使mi =1(有且只有一组有且只有一组)，则：则：ijimmm1若自变量的取值组合使若自变量的取值组合使mi =0(除了除了mi=1的其余的其余2 n-1组组)，则：则：ijimmm0得证。得证。节目录节目录标题区标题区章目录章目录2022年12月16日星期五第二章 逻辑代数基础15(2)最大项的主要性质最大项的主要性质：对任何一个最大项，只有一组变量的取值组对任何一个最大项，只有一组变量的取值组合，使它的值为合，使它的值为0。节
11、目录节目录标题区标题区章目录章目录2022年12月16日星期五第二章 逻辑代数基础16A,B,CA+B+C0 0 010 0 11 0 1 010 1 111 0 011 0 101 1 011 1 11 能使最大项的值为能使最大项的值为0的取的取值组合，称为值组合，称为与该最大与该最大项的对应取值组合项的对应取值组合。若把若把最大项的对应取值最大项的对应取值组合组合看成二进制数，则看成二进制数，则对应的十进制数就是该对应的十进制数就是该最大项的编号最大项的编号i。例：101 A+B+C。节目录节目录标题区标题区章目录章目录2022年12月16日星期五第二章 逻辑代数基础17 全部最大项之积恒
12、等于全部最大项之积恒等于0。即：即：0120niiM 任意两个最大项的和恒等于任意两个最大项的和恒等于1。即：即：),12)(0(1jijiMMnji且 任一最大项与另一任一最大项与另一最大项非最大项非之和恒等于该最之和恒等于该最大项大项。即：即：),12)(0(jijiMMMniji且节目录节目录标题区标题区章目录章目录2022年12月16日星期五第二章 逻辑代数基础184.几个关系式几个关系式(1)同一函数编号相同的最小项和最大项互补。同一函数编号相同的最小项和最大项互补。即：即：iiiiMmMm或例如：三变量函数例如：三变量函数F(A,B,C)的的m5,M5 对对A,B,C的的8组取值组
13、合，其取值如下：组取值组合，其取值如下：节目录节目录标题区标题区章目录章目录2022年12月16日星期五第二章 逻辑代数基础19A,B,C A B C（m5)0 0 000 0 10 0 1 000 1 101 0 001 0 111 1 001 1 10A,B,CA+B+C(M5)0 0 010 0 11 0 1 010 1 111 0 011 0 101 1 011 1 11节目录节目录标题区标题区章目录章目录2022年12月16日星期五第二章 逻辑代数基础20以外的所有正整数）中除了为（jkn)12(0kjmFmF则若,)2(证明：证明：即上述关系式成立。即上述关系式成立。kjmm所所以
14、以节目录节目录标题区标题区根据最小项的性质根据最小项的性质1:对任何一个最小项，只有对任何一个最小项，只有一组变量的取值组合，使它的值为一组变量的取值组合，使它的值为1。若自变量的取值组合使若自变量的取值组合使，0 jm则：则：;1 km若自变量的取值组合使若自变量的取值组合使，1 jm则：则：;0 km章目录章目录2022年12月16日星期五第二章 逻辑代数基础21),4,2,1(),(mCBAF例：)7,6,5,3,0(),(mCBAF则则kjMm)3(以外的所有正整数）中除了为（jkn)12(0),4,2,1(),(mCBAF例：)7,6,5,3,0(),(),(mCBAFCBAF则则)
15、7,6,5,3,0(M节目录节目录标题区标题区章目录章目录2022年12月16日星期五第二章 逻辑代数基础22可证）（利用关系式，则若)1()4(jjMFmF)12()5(jkmFmFnkj，则若证明：证明：根据根据反演规则和对偶规则之间的关系反演规则和对偶规则之间的关系可知，可知，F中中的原、反变量互换，即得到的原、反变量互换，即得到F。所以，所以，F 和和F中包含的最小项的个数是相等的，中包含的最小项的个数是相等的，且对应的最小项的编号之和为且对应的最小项的编号之和为(2n-1)。请看例题：请看例题：节目录节目录标题区标题区章目录章目录2022年12月16日星期五第二章 逻辑代数基础23例
16、例1：若：若)6,4,3(),(mCBAF )1,3,4(),(mCBAF则则 )?(),(mCBAF解：解：,)7,5,2,1,0(),(mCBAF)7,6,5,2,0(),(mCBAF解：解：例例2：若：若 )6,4,3(),(mCBAF则则 )?(),(mCBAF节目录节目录标题区标题区章目录章目录2022年12月16日星期五第二章 逻辑代数基础245.将一般表达式转换为标准表达式的方法将一般表达式转换为标准表达式的方法 一般表一般表达达 式式 与或式 或与式 A+A=1最小项表达式最小项表达式 A A=0最大项表达式最大项表达式 例例1式。展开成最小项之和的形试将ABCBAF),(解：
17、F(A,B,C)=AB(C+C)=ABC+ABC)7,6(m节目录节目录标题区标题区章目录章目录2022年12月16日星期五第二章 逻辑代数基础25例2：最大项之积的形式。展开成试将ACABCBAF),(解：解：F(A,B,C)=AB+AC=A(B+C)=(A+B B+C C)(A A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)（用到分配律）（用到分配律）=(A+B B+C)(A+B B+C)=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)4,3,2,1,0(M节目录节目录标题区标题区章目录章目录2022年12月16日星期五第二章 逻辑代数基础266.由真值表写出最小（大）项
18、表达式的方法由真值表写出最小（大）项表达式的方法(1)最小项表达式是真值表中使函数值为最小项表达式是真值表中使函数值为1的的取值取值组合组合所对应的最小项之和。所对应的最小项之和。(2)最大项表达式是真值表中使函数值为最大项表达式是真值表中使函数值为0的的取值取值组合组合所对应的最大项之积。所对应的最大项之积。节目录节目录标题区标题区章目录章目录2022年12月16日星期五第二章 逻辑代数基础27A BF0 01 0 101 0 11 10解：解：最小项表达式：最小项表达式：=m0+m2最大项表达式：最大项表达式：=M1M3 符合关系式（符合关系式（3）F(A,B)=(A+B)(A+B)F(A
19、,B)=A B+A B表表 2.5.2例例2.5.3 试将表试将表 2.5.2 真值表所表示的逻辑函数真值表所表示的逻辑函数分别用最小项表达式和最大项表达式表示。分别用最小项表达式和最大项表达式表示。节目录节目录标题区标题区章目录章目录2022年12月16日星期五第二章 逻辑代数基础282.6 2.6 逻辑函数的化简逻辑函数的化简 一、化简的意义和最简的标准一、化简的意义和最简的标准 ：1.化简的意义（目的）化简的意义（目的）：节省元器件；提高工作可靠性节省元器件；提高工作可靠性 2.化简的目标化简的目标：最简与或式最简与或式 或或 最简或与式最简或与式 3.最简的标准最简的标准：(1)项数最
20、少项数最少(2)每项中的变量数最少每项中的变量数最少 节目录节目录标题区标题区章目录章目录2022年12月16日星期五第二章 逻辑代数基础29二、公式法二、公式法1.与或式的化简与或式的化简(1)相邻项合并法相邻项合并法 利用合并相邻项公式利用合并相邻项公式:A B+A B=A例2：F=A(B C+B C)+A(B C+B C)=A 例1：F=A B+C D+A B+C D =A+D =(A B+A B)+(C D+C D)节目录节目录标题区标题区章目录章目录2022年12月16日星期五第二章 逻辑代数基础30(2)消项法消项法 =A B利用消项公式利用消项公式 A+AB=A 或或 多余项公式
21、多余项公式A B+A C+B C=A B+A C例1：F=A B+A B C+A B D =A B+A B(C+D)例2：F=A C+C D+A D E+A D G =A C+C D节目录节目录标题区标题区章目录章目录2022年12月16日星期五第二章 逻辑代数基础31(3)消去互补因子法消去互补因子法 利用利用 消去互补因子公式消去互补因子公式 A+AB=A+B例1：F=A B+A C+B C =A B+C =A B+A B C （反演公式）例2：F=A B+A B+A B C D+A B C D =A B+A B+C D(A B+A B)=A B+CD(A B)=A B+CD =A B+A
22、 B+C D （说明：异或同或互反）说明：异或同或互反）节目录节目录标题区标题区章目录章目录2022年12月16日星期五第二章 逻辑代数基础32提示：先找公共因子，再找互补因子提示：先找公共因子，再找互补因子 合并相邻项公式 AB+AB=A 消项公式 A+AB=A 消去互补因子公式 A+AB=A+B 多余项（生成项）公式AB+AC+BC=AB+AC节目录节目录标题区标题区(4)综合法综合法（综合运用公式）（综合运用公式）章目录章目录2022年12月16日星期五第二章 逻辑代数基础332.2.或与式的化简或与式的化简 ：方法：方法：二次对偶法二次对偶法F未化简的未化简的或与式或与式与或式与或式（进行化简）（进行化简）已化简的已化简的或与式或与式FF节目录节目录标题区标题区章目录章目录2022年12月16日星期五第二章 逻辑代数基础34精品课件精品课件！章目录章目录2022年12月16日星期五第二章 逻辑代数基础35精品课件精品课件！章目录章目录2022年12月16日星期五第二章 逻辑代数基础36解：解：F=A B C+A B C例：把例：把 F(A,B,C)=(A+B+C)(A+B+C)化为化为最简或与式。最简或与式。=A BF=(F)=A+B节目录节目录标题区标题区
