1、非平衡统计物理基础非平衡统计物理基础 噪声与随机动力学噪声与随机动力学 蒙特卡罗方法讲义 第二部分 天体和宇宙中的层次 引言引言?宏观世界的层次性宏观世界的层次性 热力学体系、化学、原子分子 生命物质 基本粒子?生物 生物界 宏观各种运动间存在很多内在联系宏观各种运动间存在很多内在联系 宏观运动规律与微观运动间有密切联系宏观运动规律与微观运动间有密切联系 统计物理学是联系微观与宏观的纽带统计物理学是联系微观与宏观的纽带 宏观体系的基本属性：耗散性（阻尼，非平衡，不可宏观体系的基本属性：耗散性（阻尼，非平衡，不可逆性），突变现象（相变，尤其是非平衡相变），有逆性），突变现象（相变，尤其是非平衡相
2、变），有限时间限时间 随机性?自然界的两类过程自然界的两类过程?确定性过程：已知系统初始时刻的状态，就可以完全确定以确定性过程：已知系统初始时刻的状态，就可以完全确定以后时刻的状态。后时刻的状态。?随机过程：不可预知的因素会对过程的结果起决定的作用随机过程：不可预知的因素会对过程的结果起决定的作用(骰子骰子)，过程是完全偶然的，无法预先确定的。，过程是完全偶然的，无法预先确定的。?随机过程中可能出现的事件叫随机事件。随机过程中可能出现的事件叫随机事件。?随机性的动力学根源：随机力（噪声）随机性的动力学根源：随机力（噪声）?噪声的作用：扰动，阻尼，耗散；巨涨落（决定演化方向），噪声的作用：扰动，
3、阻尼，耗散；巨涨落（决定演化方向），隧穿，随机共振，马达输运。隧穿，随机共振，马达输运。?概率，演化，期望，概率，演化，期望，耗散系统（布朗系统）?耗散系统模型具有广泛的运用；耗散系统模型具有广泛的运用；?耗散系统的动力学描述是布朗运动，这种描述便于数值模拟；耗散系统的动力学描述是布朗运动，这种描述便于数值模拟；?耗散系统是动力学复杂性与统计简单性的结合。耗散系统是动力学复杂性与统计简单性的结合。系统 系统 热浴 系统与热浴的相互作用仅提供给系统阻尼和随机力，而不再有其他影响。系统与热浴的相互作用仅提供给系统阻尼和随机力，而不再有其他影响。对热浴中的粒子对热浴中的粒子 建立随机动力学方程，建立
4、随机动力学方程，即朗之万方程即朗之万方程(LE)研究布朗系统的研究布朗系统的 两种等价的理论两种等价的理论 从马尔科夫过程的主方程从马尔科夫过程的主方程 出发，得到关于分布函数出发，得到关于分布函数 随机演化的二阶偏微分方随机演化的二阶偏微分方 程，即程，即Fokker-Planck方方 程（程（FPE）。）。系统加热浴模型随机动力学 系统加热浴的总哈密顿量写成H?Hs?Hr?HI其中PHs?V(Q)2M假设热浴（环境）由 N个谐振子组成，为简单 起见，采用可分离的系统坐标和环境坐标双 线性耦合的形式：2?p21?c2?Hr?HI?m?q?Q?2?2 m2m?1?N2为得到系统演化的动力 学方
5、程，应用正则方程，可得P?HQ?PM1?N?H?P?V(Q)?c?q?Q?1?p?H?q?p?m?2?H2?p?m?q?c?Q(t)?q?m?q?c?Q(t)m?q2sin?(t?s)q?(t)?q?(0)cos?t?sin?t?c?Q(s)ds20?m?t?(0)qc?(s)ds?q?(0)cos?t?sin?t?Q(0)cos?t?cos?(t?s)Q?2?0?m?(0)qt将q?(t)代入方程(1)，即可得系统演化的动力学方程c?V(Q)?MQ?2?1m?NN2?t0?(s)dscos?(t?s)Q?c?q?(0)?c?q?(0)?Q(0)?cos?t?sin?t?2m?1?c?Q(0)
6、?q?(0)?q?(0)?2m?2N?c?1令?(t?s)?cos?(t?s)?2Mm?1?N?(0)qsin?t?(t)?c?q?(0)cos?t?1?最后整理得到：外部势场外部势场 阻尼核函数阻尼核函数 随机力随机力 即噪声即噪声 Noise t?V(Q)?(s)ds?(t)MQ?M?(t?s)Q0?Q该项表明了系统演化对历史的记忆该项表明了系统演化对历史的记忆 因此是耗散的、不可逆的因此是耗散的、不可逆的 阻尼和噪声具有同一起源阻尼和噪声具有同一起源 热浴分子对系统的随热浴分子对系统的随机作用（碰撞）机作用（碰撞）即描述随机耗散系统的动力学方程即描述随机耗散系统的动力学方程广义朗之万方程
7、广义朗之万方程 General Langevin Equation(GLE)处于热浴中的系统处于热浴中的系统 涨落涨落 耗散耗散 满足怎样的关系？噪声噪声 同一起源同一起源 阻尼阻尼 涨落耗散定理 随机动力学是物理学对复杂系统介于微观和宏观之间的一种描述方法。随机动力学是物理学对复杂系统介于微观和宏观之间的一种描述方法。假设初始时刻(t?0)，热浴振子处于力学平 衡，并假设初始时刻热 浴振子(0)?q(0).与系统脱耦，即Q(0)?0,q?(0)?0,?(0)?0;则有 q q?由于t?0时刻振子处于热平衡态，根据能均分定理，可得111222(0)q?(0)?kBT,q?(0)?0.m?q?(
8、0)?m?q?222考虑到振子之间的独立 性，应有kBTkBT?(0)q?(0)?q?(0)q?(0)?,q?.2?m?m?首先来看噪声?(t)的一次矩：?(0)?q?(t)?c?q?(0)cos?t?sin?t?0?1?N说明噪声是无偏统计量；接下来来看噪声的关联 函数：c?(t)?(s)?.?kBT?cos?(t?s)2?1m?N2?(t)?(s)?MkBT?(t?s)此即广义涨落耗散定理，它给出了热浴对系统的两个（并且是所有的）作用此即广义涨落耗散定理，它给出了热浴对系统的两个（并且是所有的）作用 噪声与阻尼噪声与阻尼之间应满足的关系，从而约束并明确了布朗运动的动力学定义。之间应满足的关
9、系，从而约束并明确了布朗运动的动力学定义。内部噪声内部噪声 热浴振子对系统的随机碰撞热浴振子对系统的随机碰撞 噪声 三三 要要 素素 同一起源，两者满足涨落耗散定义同一起源，两者满足涨落耗散定义 阻尼阻尼 非同一起源，不受涨落耗散定义约束非同一起源，不受涨落耗散定义约束 外部噪声外部噪声 外部输入或者外部信号控制的无规涨落外部输入或者外部信号控制的无规涨落 强度、谱密度、分布强度、谱密度、分布 包含哪些频率成分？何种频率成分占优势？各种频率成分的能量是多少？包含哪些频率成分？何种频率成分占优势？各种频率成分的能量是多少？?2?(t)?(0)cos(?t)dtS(?)?R?(t)?(0)exp(
10、i?t)dt?0?阻尼核函数阻尼核函数 噪声关联函数噪声关联函数 功率谱函数功率谱函数 扩散的分类（爱因斯坦关系）扩散的分类（爱因斯坦关系）1、正常扩散：、正常扩散：?x(t)?x(0)?22Kt欠扩散：0?1,(?0,局域化)2、反常扩散：、反常扩散：?x(t)?x(0)?K?t?超扩散：1?2,(?2,弹道扩散)实例液体表面花粉颗粒的随机运动 布朗微粒的运动方程为?(t)m?r?m?r这里噪声(t)满足以下条件：(1)(t)?0(2)(t)(s)?mkBT?(t?s)(3)噪声的谱密度S(?)?2 mkBT?2D,D?mkBT?噪声的功率谱与频率?无关，即噪声包含了所有的频率，且所有频率的
11、能量相等，即白谱，因此称白噪声。注意两者之间的联系。注意两者之间的联系。用r点乘上式，可得dv1 r?r?v?r?(t)dtm2?1 dr?d2?r?v?v?2dtdt?d2d222?r?r?2 v?r?(t)dtdtm2?0dd2222求系综平均：r?r?2v?r?(t)dtdtm3 kBT/m2?r26 kBT?t?t?1?e,(初值r(0)?v(0)?0)2m?r(t)?r(0)?126 kBT?t?t?1?e 2m?t?1、当t?(t?1)，将上式中的e 展开，取到二级项3 kBT2222 r?t?v?tm2、当t?(t?1)，则有 r2?16 kBT?tm?可见，在无外部势场的条件可见，在无外部势场的条件下，白噪声驱动下的布朗粒下，白噪声驱动下的布朗粒子做正常扩散。子做正常扩散。设系综分布密度函数为?(r,t)，用j(r,t)表示流密度，则有 j(r,t)?K?(r,t)K是扩散系数，根据连续 性方程，有?(r,t)?j(r,t)?t进而得到扩散方程?(r,t)2?K?(r,t)?tr2?14Kt最后解出?(r,t)?e，r(0)?03/2?4?Kt?描述自由粒子正常扩散描述自由粒子正常扩散分布函数演化的分布函数演化的Fokker-Planck方程（方程（FPE）?r(t)?0?2kBT4r(t)?4?(r,t)r dr?6Kt,K?0m?
