1、第五章第五章数字滤波器的基本结构数字滤波器的基本结构主要内容主要内容n理解数字滤波器结构的表示方法理解数字滤波器结构的表示方法n掌握掌握IIR滤波器的基本结构滤波器的基本结构n掌握掌握FIR滤波器的直接型、级联型、线滤波器的直接型、级联型、线性相位结构，理解频率抽样型结构性相位结构，理解频率抽样型结构n了解数字滤波器的格型结构了解数字滤波器的格型结构5.1 引言引言（1 1）数字滤波器的结构的框图及流图表示）数字滤波器的结构的框图及流图表示NkkMkkknyaknxbny10)()()(NkkkMkkkzazbzXzYzH101)()()(时域用常系数线性差分方程表示时域用常系数线性差分方程表
2、示Z Z域则使用系统函数表示域则使用系统函数表示aa1z1z单位延时单位延时基本运算单元基本运算单元方框图方框图流图流图加法器加法器常数乘法器常数乘法器（2 2）结构表示：方框图和信流图）结构表示：方框图和信流图NkkMkkknyaknxbny10)()()(（2 2）结构表示：方框图和信流图）结构表示：方框图和信流图流图表示中流图表示中n如果一个节点有两个或两个以上的输入，则此如果一个节点有两个或两个以上的输入，则此节点一定是加法器；节点一定是加法器；n任一节点的节点值是指此节点输出的信号值；任一节点的节点值是指此节点输出的信号值；n任一节点只有一个输入，有一个或多个输出，任一节点只有一个输
3、入，有一个或多个输出，则此节点是分支节点；则此节点是分支节点；n只有输入、没有输出的节点称为阱节点，反之只有输入、没有输出的节点称为阱节点，反之为源节点。为源节点。例：二阶数字滤波器例：二阶数字滤波器方框图结构方框图结构流图结构流图结构)2()1()()(210nyanyanxbny流程图（3 3）实现方式：软件与硬件）实现方式：软件与硬件（4 4）软件方式：通用计算机或专用计算机）软件方式：通用计算机或专用计算机（5 5）核心算法：乘加器）核心算法：乘加器（6 6）典型结构）典型结构n无限长单位冲激响应（无限长单位冲激响应（IIRIIR）滤波器）滤波器n有限长单位冲激响应（有限长单位冲激响应
4、（FIRFIR）滤波器）滤波器5.2 IIR滤波器的基本结构滤波器的基本结构5.2.1 IIR滤波器的特点 1、单位冲激响应、单位冲激响应h(n)是无限长的（定义的由来）是无限长的（定义的由来）2、系统函数、系统函数H(z)在有限在有限z平面上平面上 有极点存在；有极点存在；3、结构上存在着输出到输入的反馈，也就是结构上的递归型、结构上存在着输出到输入的反馈，也就是结构上的递归型的。的。)0 z（NkkMkkknyaknxbny10)()()(NkkkMkkkzazbzXzYzH101)()()(有限阶有限阶IIR的表达式：（的表达式：（其中至少有一个其中至少有一个 ak0）结构特点：结构特点
5、：直接实现直接实现 第一个网络实现零点第一个网络实现零点 第二个网络实现极点第二个网络实现极点 N+M个时延单元个时延单元NkkMkkknyaknxbny10)()()(只需实现只需实现N阶滤波器所需的最少的阶滤波器所需的最少的Max(N、M)个延时单元，故称典范型。个延时单元，故称典范型。结构特点：结构特点：Max(N、M)个时延单元。个时延单元。（3）nak，bk 对滤波器的极点和零点的控制作用不明显，也对滤波器的极点和零点的控制作用不明显，也就是对频率响应的控制作用不明显就是对频率响应的控制作用不明显n零点、极点对系数的变化过于灵敏，易出现不稳定或零点、极点对系数的变化过于灵敏，易出现不
6、稳定或较大误差较大误差n乘法运算的量化误差造成在系统输出端噪声功率比其乘法运算的量化误差造成在系统输出端噪声功率比其他几种结构的都要大他几种结构的都要大 121234.20.820.60.4zzH zzz=12121.52.10.410.30.2zzH zzz=NkkkMkkkzazbzXzYzH101)()()(10.3a 20.2a，01.5b 12.1b 20.4b 12121.52.10.410.30.2zzH zzz=将系统函数按零极点因式分解将系统函数按零极点因式分解:121211*101111*1111(1)(1)(1)()1(1)(1)(1)MMMkkkkkkkkNNNkkkk
7、kkkkb zp zq zq zH zAa zc zd zd zA为常数*,kkkkq qd d和分别为复共轭零、极点kkpc和 分别为实数零、极点122MMM122NNNn将共轭成对的复数组合成二阶多项式，系数即为实数。将共轭成对的复数组合成二阶多项式，系数即为实数。n为采用相同结构的子网络，也将两个实零点为采用相同结构的子网络，也将两个实零点/极点组合成二阶极点组合成二阶多项式多项式（b）级联结构的一阶基本结和第）级联结构的一阶基本结和第k级二阶基本结结构级二阶基本结结构kkkkkkkzHAzzzzAzH)(11)(221122111!2N 各二阶基本节的排列次序有各二阶基本节的排列次序有
8、 种种1!2N 级联型的特点：便于调整零极点便于调整零极点存在最优化组合问题存在最优化组合问题误差会逐级传递误差会逐级传递 1121124 11 1.410.510.90.8zzzzzz4A 22411.410.50.90.8zzzH zzzz=kkkkkzzzzAzH2211221111)(5.2.4 5.2.4 并联型并联型NkkkMkkkzbzbzH101)(NMkkkNkkkkkNkkkzCzdzdzgBzA011*111121)1)(1()1(1将因式分解的将因式分解的H(z)展成部分分式：展成部分分式：()MN122NNN可将上式写成更通用的形式可将上式写成更通用的形式除 外，其他
9、系数皆为实数NMkkkNkkkkkNNMMzCzAzAzBBzazazbzbbzH012211110111101.1.)(当某些当某些 为零时，就得到一些基本的并联一阶节；为零时，就得到一些基本的并联一阶节；当当M=N时，等式右端只存在常数时，等式右端只存在常数C0;当当MN时，则第二个求和式为零时，则第二个求和式为零特点特点:方便调整极点，不便方便调整极点，不便于调整零点；部分分式展于调整零点；部分分式展开计算量大。开计算量大。)(.)()()(21zHzHzHzHr结构：将结构：将H(z)分解为一阶及分解为一阶及二阶系统的并联二阶系统的并联(部分分式部分分式展开展开)，每级子系统都用典，每
10、级子系统都用典范型实现。范型实现。单独调整一对极点位置单独调整一对极点位置各并联基本节的误差互相不影响，故运算误差各并联基本节的误差互相不影响，故运算误差最小最小IIR滤波器结构表示举例滤波器结构表示举例)2(81)1(43)1(31)()(nynynxnxny1111121121131041137)411311)(2111(81431311)(zzzzzzzzzH例：用典范型和一阶级联型、并联型实现方程：例：用典范型和一阶级联型、并联型实现方程：解：标准型、一阶级联和并联的系统函数表示：解：标准型、一阶级联和并联的系统函数表示：)(ny1/z1/z1/z1/z4/38/13/1)(nx1 1
11、/z z1 1/z z3/10)(nx3/7)(ny4/12/1)(ny1 1/z z4/13/12/11 1/z z)(nx图示如下：图示如下：1231125.21.581.411.61 0.510.90.8zzzH zzzz=1231125.21.581.411.610.510.90.8zzzH zzzz11120.210.341 0.510.90.8zzzz则04G 110.5210010.2110120.9 220.8 021120.3 1/21010121121NkkkkkzH zGzz04G 110.5210010.2110120.9 220.8 021120.3原网络中所有支路方
12、向倒转，并将输入原网络中所有支路方向倒转，并将输入x(n)和输和输出出y(n)相互交换，则其系统函数相互交换，则其系统函数H(z)不改变。不改变。123123841125311448zzzH zzzz典范型结构：11211220.37941.245.264111142zzzH zzzz1121128 10.1910.311.32111142zzzzzz得级联型结构：11128162016111142zH zzzz得并联型结构：5.3 FIR 数字滤波器结构数字滤波器结构n不存在极点不存在极点(z=0除外除外)，系统函数在，系统函数在 处收敛。处收敛。n系统单位冲击响应在有限个系统单位冲击响应在
13、有限个 n 值处不为零。值处不为零。n结构上主要是非递归结构，没有输出到输入的反馈。结构上主要是非递归结构，没有输出到输入的反馈。0z10)()(NnnznhzH5.3.1 FIR的特点：的特点：10()()()NMkkkky na y nkb x nk01()()()1MkkkNkkkb zY zH zX za z10()()NnnH zh n z10()()()Nmy nh m x nm5.3.2 直接型（横断型、卷积型）结构直接型（横断型、卷积型）结构1、横截型、横截型(又称为直接型或卷积型，直接完成差分方程）又称为直接型或卷积型，直接完成差分方程）特点特点:N个延迟单元；不方便调整零点
14、。个延迟单元；不方便调整零点。差分方程差分方程:10()()()Nmy nh m x nm 1111111116121126H zzzzzz=1111111116121126H zzzzzz=1121121111216126zzzzzzz=1212153711126zzzzz=12345820520581312123zzzzz 1234582052058()1312123H zzzzzz=将将H(z)分解为二阶实系数因式的乘积。分解为二阶实系数因式的乘积。KkkkkzzzH122110)()(5.3.3 5.3.3 级联型结构：级联型结构：特点特点:便于调整零点便于调整零点.其中，其中，各系数
15、皆为实数各系数皆为实数 表示向下取整）(,2/NK 若某个若某个 为零就得到一个一阶级联基本节。为零就得到一个一阶级联基本节。系数比直接型多，所需的乘法运算多系数比直接型多，所需的乘法运算多每个基本节控制一对零点，便于控制滤波器的每个基本节控制一对零点，便于控制滤波器的传输零点传输零点5.3.3 5.3.3 频率抽样型结构：频率抽样型结构：由由kNkWzkzHkHnh|)()()(以及频率采样表达的内插公式得：以及频率采样表达的内插公式得：10101)(1)(1)(1)1()(NkcNkkNNzHNzHzWkHNzzHk其中：其中：为梳状滤波器；为梳状滤波器；(谐振器谐振器)其极点正好与零点对
16、消。其极点正好与零点对消。NczzH1)(11)()(zWkHzHkNk（1 1）频率抽样结构：）频率抽样结构：2jkNkze0,1,.,1kN()1jj NcH ee 22sin2NjNjea.级联的第一部分：梳状滤波器：级联的第一部分：梳状滤波器：在单位圆上有在单位圆上有N个等间隔角度的零点：个等间隔角度的零点：频率响应：频率响应：222NNNjjjeee()1NcHzz 关于梳状滤波器说明关于梳状滤波器说明)sin(2)(2NjceHNczzH1)()(jceH02N2N4kN21 1梳状滤波器传输函数梳状滤波器传输函数:梳状滤波幅频特性梳状滤波幅频特性:梳状滤波相频特性梳状滤波相频特性
17、:mNeHjc22)(arg2jkkNkNzWe单位圆上有一个极点：单位圆上有一个极点：2kN与第与第k个零点相抵消，使该频率个零点相抵消，使该频率 处的频处的频率响应等于率响应等于H(k)11)()(zWkHzHkNk由零极点互相抵消后，在有限由零极点互相抵消后，在有限z平面上系统函数没平面上系统函数没有极点，因而是一个有极点，因而是一个FIR系统系统 a.稳定性问题：原来结构的稳定性问题：原来结构的N个零点、个零点、N个极点都在单位个极点都在单位圆上圆上N个等间隔的相同位置上；零点仅有延迟决定，有个等间隔的相同位置上；零点仅有延迟决定，有限字长效应对零点位置没有影响，而限字长效应对零点位置
18、没有影响，而 系数量化后，系数量化后，极点位置会移动，不能被零点所抵消，系统就不稳定极点位置会移动，不能被零点所抵消，系统就不稳定b.运算复杂、存储量大：结构中所乘的系数运算复杂、存储量大：结构中所乘的系数H(k)和和 都是复数，运算更加复杂，存储量更多都是复数，运算更加复杂，存储量更多（2）修正频率抽样结构修正频率抽样结构2jkNkzre极点：0,1,.,1kN11rr且将零极点移至半径为将零极点移至半径为r 的圆上：的圆上：)()()()(kHzHzHkHkNkNWzrWzr1101()()(1)1NNNrkkNH kH zr zNrWza.针对第一个缺点针对第一个缺点b.针对频率抽样结构
19、的第二个缺点针对频率抽样结构的第二个缺点 将将H(k)和和 都转化成实数，合并共轭根都转化成实数，合并共轭根*)()(*)(-)(-)(kkNkNNkNkjNNzzWWekHkNHnRkNHkH由对称性：由对称性：b.针对频率抽样结构的第二个缺点针对频率抽样结构的第二个缺点对对 中的第中的第k 项和第项和第N-k项合并项合并 2211101*11)(12cos211)(1)(1)(1)()(zrzkNrzzWrkHzrWkHzrWkNHzrWkHzHkkkNkNkNNkNk 将第k个和第(N-k)个谐振器合并成一个实系数的二阶网络 kNkkWkHrkHRe2,Re210其中其中为偶数，为奇数N
20、NkNNk12,.,2,1,21,.,2,1 对应的二阶谐振器对应的二阶谐振器b.针对频率抽样结构的第二个缺点针对频率抽样结构的第二个缺点当当N为偶数时，有一对实数根（相当于为偶数时，有一对实数根（相当于k=0,k=N/2两点）两点）rz因而，对应的一阶网络为：因而，对应的一阶网络为：111)2/()(1)0()(2/0rzNHzHrzHzHN当当N为奇数时为奇数时,只有一个实根（只有一个实根（k=0的点）的点）101)0()(rzHzH因而只有一个网络为：因而只有一个网络为：rz 将谐振器的实根、复根以及梳状滤波器合起来，即修正后的频率将谐振器的实根、复根以及梳状滤波器合起来，即修正后的频率
21、抽样型总结构抽样型总结构12/12/12/122111011)()()(12cos211)2/(1)0(1)(0NkkNNNNkkkNNzHzHzHNzrzrzkNrzrzNHrzHNzrzHN为奇数时为奇数时2/)1(1)()(1)(0NkkNNzHzHNzrzHN为偶数时为偶数时 3615231zzH zz=6N 0.9r。266031116kkH zr zHzHzHz=312531zzz112 11zzz 3315311zzH zz=233531jkjkj keee 024H即 122 3Hj 20H 32H 40H 522 3Hj 011024110.9HHzrzz 31132110.
22、9HHzrzz 312 531H zzzz由 2zk NH kH z kHz 1k 101111122212coszHzz rr zN=4 111620.9Re13.6HW 111243.6 10.90.81zHzzz 101122212 coskkkzHzzrkr zN=02RekH k 12 RekkNrH k W 122 3Hj 012Re1H 101122212 coskkkzHzzrkr zN=其中 02RekH k 12 RekkNrH k W 2k 时 02120 2 0Hz 20H 20Hz 111243.610.90.81zHzzz 011024110.9HHzrzz 311
23、32110.9HHzrzz 266031116kkH zr zHzHzHz=5.3.5 快速卷积结构快速卷积结构20),()()()()(21NNnnhnxnhnxnyL1,010),()(11LnNNnnxnx1,010),()(22LnNNnnhnhL点点DFTL点点DFTXL点点IDFTx(n)h(n)y(n)X(k)H(k)Y(k)n结构图示为结构图示为:设设:有有:5.3.6 线性相位线性相位FIR滤波器的结构滤波器的结构01nNFIR滤波器单位抽样响应滤波器单位抽样响应h(n)为实数，为实数，且满足：且满足：()(1)h nh Nn 偶对称偶对称：()(1)h nh Nn 或奇对称
24、：或奇对称：即对称中心在即对称中心在(N-1)/2处处则这种则这种FIR滤波器具有严格线性相位。滤波器具有严格线性相位。N为奇数时为奇数时10()()NnnH zh n z11112210121()()2NNNnnNnnNh n zhzh n z1112(1)201()2NNnNnnNh nzzhz 1nNm 令h(n)偶对称，取偶对称，取“+”102Nhh(n)奇对称，取奇对称，取“-”，且，且N为偶数时为偶数时10()()NnnH zh n z11202()()NNnnNnnh n zh n z12(1)0()NnNnnh nzz 1234113535H zzzzz 133112345555h nnnnnn得 1040.25hh 3130.65hh 21h h n是偶对称，对称中心在是偶对称，对称中心在 122Nn5N 1040.25hh 3130.65hh 21h
