1、机动 目录 上页 下页 返回 结束 1第六节第六节 函数最值及其函数最值及其 在经济中的应用在经济中的应用一一.闭区间上函数的最值闭区间上函数的最值二二.实际问题的最值实际问题的最值三三.函数最值在经济分析中的应用函数最值在经济分析中的应用机动 目录 上页 下页 返回 结束 2教学目标教学目标1.理解函数的极值与最值之间的联系与区别理解函数的极值与最值之间的联系与区别.2.能能用函数的极值理论求闭区间上连续函数的最值用函数的极值理论求闭区间上连续函数的最值.3.掌握实际问题掌握实际问题,特别是经济中的实际问题的最值特别是经济中的实际问题的最值.机动 目录 上页 下页 返回 结束 3 在许多经济
2、理论与实际实际应用中在许多经济理论与实际实际应用中,常常遇到这样一类问常常遇到这样一类问题题:在一定条件下在一定条件下,怎样使怎样使:“产品成本最低产品成本最低”,“产品用料最产品用料最省省”,“效率最高效率最高”等问题等问题.这类问题在数学上有时可归纳为求某一函这类问题在数学上有时可归纳为求某一函数的最大值和最小值问题数的最大值和最小值问题.一一.闭区间上函数的最值闭区间上函数的最值 函数函数(x)的最值与极值是两个不同的概念的最值与极值是两个不同的概念,最值是对整个定最值是对整个定义域而言的义域而言的,是整体性的概念是整体性的概念.最值不仅可以在最值不仅可以在 a,b的内点的内点机动 目录
3、 上页 下页 返回 结束 4 由于闭区间上连续函数一定有最大与最小值由于闭区间上连续函数一定有最大与最小值.由此由此,求闭区求闭区间间 a,b上的连续函数上的连续函数 f(x)的最值时的最值时,只需分别计算只需分别计算f(x)在开在开区间区间(a,b)内的驻点、导数不存在的点以及端点内的驻点、导数不存在的点以及端点 a和和b处的函处的函数值数值.然后加以比较然后加以比较,其中最大者就是函数其中最大者就是函数(x)在在a,b上的上的最大值最大值,最小者就是函数最小者就是函数(x)在在a,b上的最小值上的最小值.取得取得,也可以在也可以在a,b的端点取得的端点取得;极值只可能在极值只可能在(a,b
4、)的内点的内点取得取得.最值最多只有一个最大值与最小值最值最多只有一个最大值与最小值.而一个函数可能有而一个函数可能有若干个极大值或极小值若干个极大值或极小值.机动 目录 上页 下页 返回 结束 5 (1)求出函数求出函数(x)在区间在区间(a,b)内所有可能的极值点内所有可能的极值点(驻点和驻点和一阶导数不存在的点一阶导数不存在的点),设为设为 x1,x2,xn;(2)求出相应的函数值求出相应的函数值12(),(),(),(),()nf af xf xf xf b (3)比较比较(2)中所有函数值的大小中所有函数值的大小,其最大者为函数其最大者为函数(x)在闭在闭区间区间a,b上的最大值上的
5、最大值,最小者为函数最小者为函数(x)在闭区间在闭区间a,b上上的最小值的最小值.求闭区间求闭区间a,b上连续函数上连续函数(x)最值的一般步骤是最值的一般步骤是:机动 目录 上页 下页 返回 结束 6解解(1)f(x)在在2，2上连续上连续,(2)(1),0()0(1),0 xxx exfxxx ex 不不存存在在，(4)驻点和一阶导数不存在的点处的函数值分别为驻点和一阶导数不存在的点处的函数值分别为1.x 解之得驻点为解之得驻点为1(1),(0)0fef 2,2 例例1 求函数求函数()xf xx e 在闭区间在闭区间上的最值上的最值.()0,fx(3)令令机动 目录 上页 下页 返回 结
6、束 7(5)比较大小比较大小,在在-2，2 上的最大值为上的最大值为2(2)2,fe 最小值为最小值为区间端点的函数值分别为区间端点的函数值分别为22(2)2,(2)2fefe 注注1 若若(x)在在a,b上为单调上为单调连续连续函数函数,则其最值只能在端则其最值只能在端点上达到点上达到.(0)0f 注注2 若若(x)在某区间内仅有一个可能极值点在某区间内仅有一个可能极值点x0,则当则当 x0 为极为极大大(小小)值点时值点时,x0 就是该函数在此区间上的最大就是该函数在此区间上的最大(小小)值点值点;f(0)=0.机动 目录 上页 下页 返回 结束 8证证 考虑函数考虑函数()1xfxe 0
7、.x 解之得驻点为解之得驻点为()0,fx 令令()1,xf xxe (),xfxe 又又故故 为函数为函数 f(x)的唯一极大值点的唯一极大值点,也就是最大值点也就是最大值点.0 x 所以所以,当当x 1 时时,()(0)0.f xf 1.1xex 即即例例21.1xex 证明：当证明：当x MC时时,则在产量则在产量Q=Q0的基础上再多生产一个单位产品的基础上再多生产一个单位产品,所增加的收益大于所增加所增加的收益大于所增加的成本的成本,因而利润有所增加因而利润有所增加.若若MR 0 即即 t 满足限制满足限制0 t 4.显然显然 t=2 并未超出并未超出t 的限制范围的限制范围.机动 目录 上页 下页 返回 结束 35解解故所求最大值为故所求最大值为1(1)1(1)nnxnx 1e 试求试求 在在0,1上上2.设设()(1),nfxnxxnN ，()fxlim().nM n ()M n的最大值的最大值 及及1()(1)(1)nnfxnxn x nx 因为因为()0,fx 令令11.nx 得得(0,1)内的唯一驻点内的唯一驻点1()1nnn 1()()1M nfn 11lim()lim(1)1nnnM nn 所以所以()fx易判别易判别 x 通过此点时通过此点时由增变减由增变减,
