1、信号与系统信号与系统西南林学院 鲁莹第第第4-4-4-1 1 1页页页电子教案1 时域分析时域分析，以，以冲激函数冲激函数为为基本信号基本信号，任，任意输入信号可分解为一系列冲激函数之和；意输入信号可分解为一系列冲激函数之和；yzs(t)=h(t)*f(t)。本章将以本章将以正弦信号正弦信号和和虚指数信号虚指数信号ejt为为基基本信号本信号，任意输入信号可分解为一系列任意输入信号可分解为一系列不同不同频率频率的正弦信号或虚指数信号之和（对于周的正弦信号或虚指数信号之和（对于周期信号）或积分（对于非周期信号）期信号）或积分（对于非周期信号）。用于系统分析的独立变量是用于系统分析的独立变量是频率频
2、率，故称故称为为频域分析频域分析。第四章第四章 连续系统的频域分析连续系统的频域分析信号与系统信号与系统西南林学院 鲁莹第第第4-4-4-2 2 2页页页电子教案2从本章开始由从本章开始由时域时域转入转入变换域变换域分析。分析。首先讨论首先讨论傅里叶级数正交函数展开傅里叶级数正交函数展开，进，进而引出而引出傅里叶变换。傅里叶变换。周期信号周期信号-傅里叶级数和傅里叶变换傅里叶级数和傅里叶变换 非周期信号非周期信号傅里叶变换傅里叶变换第四章第四章 连续系统的频域分析连续系统的频域分析信号与系统信号与系统西南林学院 鲁莹第第第4-4-4-3 3 3页页页电子教案31822年年，法国数学家傅里叶，法
3、国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在在 研研究热传导理论时发表了究热传导理论时发表了“热的分析理论热的分析理论”，提出并，提出并 证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了 傅里叶级数的理论基础。傅里叶级数的理论基础。泊松泊松(Poisson)、高斯、高斯(Guass)等人等人把这一成果应用到电学中去，得把这一成果应用到电学中去，得到广泛应用。到广泛应用。进入进入20世纪以后世纪以后，滤波器、正弦振荡器等一系列具体问题的解决，滤波器、正弦振荡器等一系列具体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景。为正弦函数
4、与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景。在在通信与控制系统通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法具有很多的优点。具有很多的优点。“FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。第四章第四章 连续系统的频域分析连续系统的频域分析信号与系统信号与系统西南林学院 鲁莹第第第4-4-4-4 4 4页页页电子教案4第四章第四章 连续系统的频域分析连续系统的频域分析4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱
5、4.4 4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱傅里叶变换傅里叶变换4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质4.6 4.6 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换4.7 LTI4.7 LTI系统的频域分析系统的频域分析4.8 4.8 取样定理取样定理信号与系统信号与系统西南林学院 鲁莹第第第4-4-4-5 5 5页页页电子教案54.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数一、矢量正交与正交分解一、矢量正交与正交分解矢量矢量Vx=(vx1,vx2,vx3)与与Vy=(vy1,vy2,vy3)正交的定义：正交的定义：其内积为其内积为0。即。即031iyixiTyxvvVV信号分解
6、为正交函数的原理与矢量分解信号分解为正交函数的原理与矢量分解为正交矢量的概念相似。为正交矢量的概念相似。4.14.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数信号与系统信号与系统西南林学院 鲁莹第第第4-4-4-6 6 6页页页电子教案64.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数由两两正交的矢量组成的矢量集合由两两正交的矢量组成的矢量集合-称为称为正交矢量集正交矢量集如三维空间中，以矢量如三维空间中，以矢量vx=（2，0，0）、）、vy=（0，2，0）、）、vz=（0，0，2)所组成的集合就是一个所组成的集合就是一个正交矢量集正交矢量集。例如对于一个三维空间的矢量例如对于一个三维空间的矢
7、量A=(2，5，8)，可以，可以用一个三维正交矢量集用一个三维正交矢量集 vx，vy，vz分量的线性组合分量的线性组合表示。即表示。即 A=vx+2.5 vy+4 vz 矢量空间正交分解的概念可推广到矢量空间正交分解的概念可推广到信号信号空间，空间，在信号空间找到若干个在信号空间找到若干个相互正交的信号相互正交的信号作为基本信作为基本信号，使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线号，使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。性组合。信号与系统信号与系统西南林学院 鲁莹第第第4-4-4-7 7 7页页页电子教案74.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数二、信号正交与正交函数集二
8、、信号正交与正交函数集1.定义：定义：定义在定义在(t1，t2)区间的两个函数区间的两个函数 1(t)和和 2(t),若满足若满足 210d)()(*21ttttt(两函数的内积为两函数的内积为0)则称则称 1(t)和和 2(t)在区间在区间(t1，t2)内内正交正交。2.正交函数集：正交函数集：若若n个函数个函数 1(t)，2(t)，n(t)构成一个函数集，构成一个函数集，当这些函数在区间当这些函数在区间(t1，t2)内满足内满足 21,0,0d)()(*ttijijiKjittt则称此函数集为在区间则称此函数集为在区间(t1，t2)的的正交函数集正交函数集。信号与系统信号与系统西南林学院
9、鲁莹第第第4-4-4-8 8 8页页页电子教案84.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数3.完备正交函数集：完备正交函数集：如果在正交函数集如果在正交函数集 1(t)，2(t)，n(t)之外，之外，不存在函数不存在函数(t)(0）满足）满足 则称此函数集为则称此函数集为完备正交函数集完备正交函数集。例如例如：三角函数集三角函数集1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2,和和虚指数函数集虚指数函数集ejnt，n=0，1，2，是两组典型的是两组典型的在区间在区间(t0，t0+T)(T=2/)上的完备正交函数集。上的完备正交函数集。210d)()(ttittt(i=1，2，n)信号
10、与系统信号与系统西南林学院 鲁莹第第第4-4-4-9 9 9页页页电子教案94.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数三、信号的正交分解三、信号的正交分解设有设有n个函数个函数 1(t)，2(t)，n(t)在区间在区间(t1，t2)构成一个正交函数空间。将任一函数构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这用这n个正交个正交函数的线性组合来近似，可表示为函数的线性组合来近似，可表示为 f(t)C1 1+C2 2+Cn n 如何选择各系数如何选择各系数Cj使使f(t)与近似函数之间误差在与近似函数之间误差在区间区间(t1，t2)内为最小。内为最小。通常使误差的方均值通常使误差的方均值(
11、称为称为均方误差均方误差)最小。均方误差为最小。均方误差为 ttCtfttttnjjjd)()(12121122信号与系统信号与系统西南林学院 鲁莹第第第4-4-4-101010页页页电子教案104.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数为使上式最小为使上式最小0d)()(21122ttnjjjiittCtfCC展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为为0，写为，写为 210d)()()(222ttiiiiittCttfCC即即 21210d)(2d)()(22ttiittittCtttf所以系数所以系数212121d)()(1d
12、)(d)()(2ttiittittiitttfKtttttfC信号与系统信号与系统西南林学院 鲁莹第第第4-4-4-111111页页页电子教案114.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数代入，得最小均方误差（推导过程见教材）代入，得最小均方误差（推导过程见教材）0d)(112212221njjjttKCttftt在用正交函数去近似在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即时，所取得项数越多，即n越越大，则均方误差越小。当大，则均方误差越小。当n时（为完备正交函数时（为完备正交函数集），均方误差为零。此时有集），均方误差为零。此时有 12221d)(jjjttKCttf上式称为
13、上式称为(Parseval)巴塞瓦尔公式巴塞瓦尔公式，表明：在区间，表明：在区间(t1,t2)f(t)所含能量恒等于所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的各在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和。正交分量能量的总和。1)()(jjjtCtf函数函数f(t)在区间在区间(t1,t2)可分解为无穷多项正交函数之和可分解为无穷多项正交函数之和信号与系统信号与系统西南林学院 鲁莹第第第4-4-4-121212页页页电子教案12 对周期信号而言，在满足狄里赫利对周期信号而言，在满足狄里赫利(Dirichlet)条条件的情况下，所展开的无穷级数称为件的情况下，所展开的无穷级数称为傅里叶级傅里
14、叶级数数。展开的无穷级数为三角函数，称为：展开的无穷级数为三角函数，称为：三角形傅三角形傅里叶级数里叶级数。展开的无穷级数为指数形式，称为：展开的无穷级数为指数形式，称为：指数形傅指数形傅里叶级数里叶级数。条件条件1 1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。限个。条件条件2 2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。条件条件3:3:在一周期内，信号绝对可积。在一周期内，信号绝对可积。4.2 傅里叶级数傅里叶级数4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数信号与系统信号与系统西南林学院
15、 鲁莹第第第4-4-4-131313页页页电子教案134.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数一、傅里叶级数的三角形式一、傅里叶级数的三角形式设周期信号设周期信号f(t)，其周期为，其周期为T，角频率，角频率=2/T，当满足，当满足狄里赫利狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级条件时，它可分解为如下三角级数数 称为称为f(t)的的傅里叶级数傅里叶级数 110)sin()cos()(nnnntnbtnaatf系数系数an,bn称为称为傅里叶系数傅里叶系数 22d)cos()(2TTnttntfTa22d)sin()(2TTnttntfTb可见，可见，an 是是n的偶函数，的偶函数
16、，bn是是n的奇函数。的奇函数。100)(10TttdttfTa直流分量直流分量余弦分量的幅度余弦分量的幅度正弦分量的幅度正弦分量的幅度信号与系统信号与系统西南林学院 鲁莹第第第4-4-4-141414页页页电子教案144.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数10)cos()(nnntnAAtf式中，式中，A0=a022nnnbaAnnnabarctan上式表明，上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。周期信号可分解为直流和许多余弦分量。其中，其中，A0/2为为直流分量直流分量；A1cos(t+1)称为称为基波或一次谐波基波或一次谐波，它的角频率与原周，它的角频率与原周期信号相同；期信号相同
17、；A2cos(2 t+2)称为称为二次谐波二次谐波，它的频率是基波的，它的频率是基波的2倍；倍；一般而言，一般而言，Ancos(n t+n)称为称为n次谐波次谐波。可见可见An是是n的偶函数，的偶函数，n是是n的奇函数。的奇函数。an=Ancos n，bn=Ansin n，n=1,2,将上式同频率项合并，可写为将上式同频率项合并，可写为信号与系统信号与系统西南林学院 鲁莹第第第4-4-4-151515页页页电子教案154.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数二、波形的对称性与谐波特性二、波形的对称性与谐波特性1.f(t)为偶函数为偶函数对称纵坐标对称纵坐标22d)cos()(2TTnttntfTa
18、22d)sin()(2TTnttntfTbbn=0，展开为余弦级数。，展开为余弦级数。2.f(t)为奇函数为奇函数对称于原点对称于原点an=0，展开为正弦级数。，展开为正弦级数。实际上，任意函数实际上，任意函数f(t)都可分解为奇函数和偶函数两部都可分解为奇函数和偶函数两部分，即分，即 f(t)=fod(t)+fev(t)由于由于f(-t)=fod(-t)+fev(-t)=-fod(t)+fev(t)所以所以 信号与系统信号与系统西南林学院 鲁莹第第第4-4-4-161616页页页电子教案164.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数2)()()(tftftfod2)()()(tftftfve3.f
19、(t)为奇谐函数为奇谐函数f(t)=f(tT/2)f(t)t0TT/2此时此时 其傅里叶级数中只含奇次其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶次谐波分谐波分量，而不含偶次谐波分量即量即 a0=a2=b2=b4=0 信号与系统信号与系统西南林学院 鲁莹第第第4-4-4-171717页页页电子教案172100sin)(40TttnntdtntfTba，的对称条件)(tf），纵轴对称（偶函数)()(tftf），半半周周镜镜像像（奇奇谐谐函函数数)2()(Ttftf ），半周重叠（偶谐函数)()(2Ttftf，原点对称（奇函数）)()(tftf展开式中系数特点2100cos)(40Tttnntdtnt
20、fTab，和偶次谐波无奇次谐波，只有直流谐波分量无偶次谐波，只有奇次三、周期信号的对称性与付立叶系数的关系。三、周期信号的对称性与付立叶系数的关系。FFFF4.24.2 傅里叶级数傅里叶级数信号与系统信号与系统西南林学院 鲁莹第第第4-4-4-181818页页页电子教案18)()(tftf下形式在一个周期内可写为如022202tTtTETttTE0nbtf是偶函数，故)(2221)(10220220EtdtTEtdtTETdttfTaTTTT.1出其频谱图求其傅立叶展开式并画如图所示，有一偶函数，其波形例)(tftTT2T2TE解解:4.24.2 傅里叶级数傅里叶级数信号与系统信号与系统西南林
21、学院 鲁莹第第第4-4-4-191919页页页电子教案19)()(1122nnE)()()(为偶数为奇数nnnE042tTnnEEtfn214253122cos)(,2/E24E294E2254E0111315nAsin1sin8cos24)2(cos)(21201201121201122tdtntnntTEtdtntTETTtdtntfTaTTTTTn4.24.2 傅里叶级数傅里叶级数信号与系统信号与系统西南林学院 鲁莹第第第4-4-4-202020页页页电子教案204.24.2 傅里叶级数傅里叶级数信号与系统信号与系统西南林学院 鲁莹第第第4-4-4-212121页页页电子教案214.24
22、.2 傅里叶级数傅里叶级数信号与系统信号与系统西南林学院 鲁莹第第第4-4-4-222222页页页电子教案224.2 傅里叶级数傅里叶级数信号与系统信号与系统西南林学院 鲁莹第第第4-4-4-232323页页页电子教案23 周期信号的傅里叶级数的项数愈多，即周期信号的傅里叶级数的项数愈多，即谐波分量愈多，合成波形越接近原始波谐波分量愈多，合成波形越接近原始波形，波形的边缘愈陡峭。形，波形的边缘愈陡峭。频率较低的谐波振幅较大，是组成原始频率较低的谐波振幅较大，是组成原始波形的主体波形的主体；频率较高的谐波振幅较小，频率较高的谐波振幅较小，主要影响波形的细节主要影响波形的细节。4.2 傅里叶级数傅
23、里叶级数信号与系统信号与系统西南林学院 鲁莹第第第4-4-4-242424页页页电子教案24 波形变化愈波形变化愈剧烈剧烈，高频分量愈，高频分量愈丰富丰富；波形变化愈波形变化愈缓慢缓慢，低频分量愈，低频分量愈丰富丰富。在间断点附近，随着合成波形所含谐波在间断点附近，随着合成波形所含谐波分量的增高，合成波形的尖峰愈靠近间分量的增高，合成波形的尖峰愈靠近间断点，但尖峰幅度并未明显减小。断点，但尖峰幅度并未明显减小。即时即时所含谐波次数趋于所含谐波次数趋于时，间断点附近仍时，间断点附近仍有有9%的偏差。这种现象称为的偏差。这种现象称为吉布斯吉布斯(Gibbs)现象现象。4.2 傅里叶级数傅里叶级数信
24、号与系统信号与系统西南林学院 鲁莹第第第4-4-4-252525页页页电子教案25222TtTtTtftf)()(下形式在一个周期内可写为如0natf是奇函数，故)()(tft1T出其频谱图求其傅立叶展开式并画如图所示，有一奇函数，其波形例2解解:4.24.2 傅里叶级数傅里叶级数信号与系统信号与系统西南林学院 鲁莹第第第4-4-4-262626页页页电子教案26tTnntfnn211211sin)()(20111314nA13221121201211121201120)1(2)sin)(1cos(8sin24)2(sin)(4nTTTnntnntnntTtdtntTTTtdtntfTb4.2
25、4.2 傅里叶级数傅里叶级数信号与系统信号与系统西南林学院 鲁莹第第第4-4-4-272727页页页电子教案27)()(tftf下形式在一个周期内可写为如42424442442TtTtTTtTtTTtTtTt)(tfT2T4T12T0cos)42(cos4cos)42(2cos)(2124144142221tdtntTtdtntTtdtntTTtdtntfTaTTTTTTTTn出其频谱图求其傅立叶展开式并画形如图所示，有一奇谐函数，其波例3解解:4.24.2 傅里叶级数傅里叶级数信号与系统信号与系统西南林学院 鲁莹第第第4-4-4-282828页页页电子教案28sin)42(sin44)2(s
26、in)(41241401120tdtntTtdtntTTTtdtntfTbTTTTn为偶数为奇数nnnn0)1(821222sin8cos4)sin)(1cos()sin)(1cos(16222411241211140121112nntnTntnntnnttnntnntTTTTTT4.24.2 傅里叶级数傅里叶级数信号与系统信号与系统西南林学院 鲁莹第第第4-4-4-292929页页页电子教案29、21211821212jtTnntfjnnsin)()(28011nA298225813154.24.2 傅里叶级数傅里叶级数信号与系统信号与系统西南林学院 鲁莹第第第4-4-4-303030页页页
27、电子教案304T2TTtE)(tf00)23sin2(sin)2sin143sin14sin1(2)coscos(21111114321401nnnETnnTnnTnnTEtdtnEtdtnETaTTTn出其频谱图求其傅立叶展开式并画形如图所示，有一偶谐函数，其波例4解解:4.24.2 傅里叶级数傅里叶级数信号与系统信号与系统西南林学院 鲁莹第第第4-4-4-313131页页页电子教案31、212sin12)(2jtTnnEtfjn)cos1()cos23cos12(cos)sinsin(24321401nnEnnnnEtdtnEtdtnETbTTTn为偶数为奇数nnEn20E012nA2E3
28、E14164.24.2 傅里叶级数傅里叶级数信号与系统信号与系统西南林学院 鲁莹第第第4-4-4-323232页页页电子教案32三、傅里叶级数的指数形式三、傅里叶级数的指数形式三角形式三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用不便，因而经常采用指数形式指数形式的傅里叶级数。可从三的傅里叶级数。可从三角形式推出：利用角形式推出：利用 cosx=(ejx+ejx)/2 4.24.2 傅里叶级数傅里叶级数信号与系统信号与系统西南林学院 鲁莹第第第4-4-4-333333页页页电子教案334.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数1)()(0ee2
29、ntnjtnjnnnAA110ee21ee21ntjnjnntjnjnnnAAA10)cos()(nnntnAAtf上式中第三项的上式中第三项的n用用n代换，代换，A n=An，n=n，则上式写为则上式写为 110ee21ee21ntjnjnntjnjnnnAAA令令所以所以00,21|AFAFnnntjnjnnFtfee|)(信号与系统信号与系统西南林学院 鲁莹第第第4-4-4-343434页页页电子教案344.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数令复数令复数njnjnFFAnnee21称其为称其为复傅里叶系数复傅里叶系数，简称傅里叶系数。，简称傅里叶系数。)(21)sincos(2121nnn
30、nnnjnnjbajAAeAFn222222de)(1d)sin()(1d)cos()(1TTtjnTTTTttfTttntfTjttntfTntjnnFtfe)(n=0,1,2，22de)(1TTtjnnttfTF表明：任意周期信号表明：任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。数信号之和。F0=A0为直流分量。为直流分量。信号与系统信号与系统西南林学院 鲁莹第第第4-4-4-353535页页页电子教案354.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数四、周期信号的功率四、周期信号的功率Parseval等式等式 （帕赛瓦尔定理）（帕赛瓦尔定理）nnnnTFAA
31、dttfT2122002|21)(1周期信号一般是功率信号，其平均功率为周期信号一般是功率信号，其平均功率为周期信号的平均功率等于傅里叶级数展开各谐波周期信号的平均功率等于傅里叶级数展开各谐波分量有效值的平方和，分量有效值的平方和，即即时域和频域的能量守恒时域和频域的能量守恒。信号与系统信号与系统西南林学院 鲁莹第第第4-4-4-363636页页页电子教案364.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱4.3 4.3 周期信号的频谱及特点周期信号的频谱及特点一、信号频谱的概念一、信号频谱的概念信号的某种信号的某种特征量特征量随随信号频率信号频率变化的关系，称变化的关系，称为为信号的频谱信号的频
32、谱，所画出的图形称为信号的，所画出的图形称为信号的频谱图频谱图。周期信号的频谱周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系，即相位随频率的变化关系，即 将将An和和 n的关系分别画在以的关系分别画在以为横轴的平为横轴的平面上得到的两个图，分别称为面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图振幅频谱图和和相位频相位频谱图谱图。因为。因为n0，所以称这种频谱为，所以称这种频谱为单边谱单边谱。也可画也可画|Fn|和和 n的关系，称为的关系，称为双边谱双边谱。若若Fn为实数，幅度谱和相位谱可画在一幅图上为实数，幅度谱和相位谱可画在一幅图上。正。正值代表的相位为值代
33、表的相位为0，负值代表的相位为，负值代表的相位为 。信号与系统信号与系统西南林学院 鲁莹第第第4-4-4-373737页页页电子教案374.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱例：例：周期信号周期信号 f(t)=试求该周期信号的基波周期试求该周期信号的基波周期T，基波角频率，基波角频率，画，画出它的单边频谱图，并求出它的单边频谱图，并求f(t)的平均功率。的平均功率。63sin41324cos211tt解解 首先应用三角公式改写首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即的表达式，即263cos41324cos211)(tttf显然显然1是该信号的直流分量。是该信号的直流分量。34cos21t
34、的周期的周期T1=8323cos41的周期的周期T2=6所以所以f(t)的周期的周期T=24，基波角频率，基波角频率=2/T=/12根据帕斯瓦尔等式，其功率为根据帕斯瓦尔等式，其功率为 P=323741212121122信号与系统信号与系统西南林学院 鲁莹第第第4-4-4-383838页页页电子教案384.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱34cos21t是是f(t)的的/4/12=3次谐波分量；次谐波分量；323cos41是是f(t)的的/3/12=4次谐波分量；次谐波分量；画出画出f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图的单边振幅频谱图、相位频谱图如图信号与系统信号与系统西南林学院
35、鲁莹第第第4-4-4-393939页页页电子教案394.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱二、周期信号频谱的特点二、周期信号频谱的特点举例：有一幅度为举例：有一幅度为1，脉冲宽，脉冲宽度为度为 的周期矩形脉冲，其周的周期矩形脉冲，其周期为期为T，如图所示。求频谱。，如图所示。求频谱。f(t)t0T-T122tTttfTFtjnTTtjnnde1de)(1222222sinnnT令令Sa(x)=sin(x)/x(取样函数）取样函数）nnTjnTtjn)2sin(2e122信号与系统信号与系统西南林学院 鲁莹第第第4-4-4-404040页页页电子教案404.3 4.3 周期信号的频谱周期信
36、号的频谱)()2(TnSaTnSaTFn,n=0,1，2，Fn为实数，可直接画成一个频谱图。设为实数，可直接画成一个频谱图。设T=4画图。画图。零点为零点为mn2所以所以mn2，m为整数。为整数。Fn022441信号与系统信号与系统西南林学院 鲁莹第第第4-4-4-414141页页页电子教案41特点特点：(1)周期信号的频谱具有周期信号的频谱具有谐波谐波(离散离散)性性，两谱线间，两谱线间为为 。谱线位置是基频。谱线位置是基频的整数倍；的整数倍；(2)一般具有一般具有收敛性收敛性。总趋势减小。总趋势减小。(3)周期矩形脉冲信号包含无限多条谱线，可分解周期矩形脉冲信号包含无限多条谱线，可分解为无
37、限多个频率分量。但分量幅度随频率增高而为无限多个频率分量。但分量幅度随频率增高而减小。信号能量主要集中在第一个零点减小。信号能量主要集中在第一个零点 内。内。通常把通常把 这段频率范围称为周期这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的频带宽度，用符号矩形脉冲信号的频带宽度，用符号B表示表示。T2)1(2fBB或12fw或)20(10 f4.34.3 周期信号的频谱周期信号的频谱信号与系统信号与系统西南林学院 鲁莹第第第4-4-4-424242页页页电子教案424.3 周期信号的频谱周期信号的频谱信号与系统信号与系统西南林学院 鲁莹第第第4-4-4-434343页页页电子教案434.3 4.3 周期信号
38、的频谱周期信号的频谱谱线的结构与波形参数的关系谱线的结构与波形参数的关系(a)T一定，一定，变小，信号带宽变宽变小，信号带宽变宽，频带所含分量，频带所含分量增多。增多。(b)一定，一定，T增大，间隔增大，间隔 减小，频谱变密减小，频谱变密。幅度。幅度减小。减小。如果周期如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号），无限增长（这时就成为非周期信号），那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频离散频谱谱就过渡到非周期信号的就过渡到非周期信号的连续频谱连续频谱。各频率分量。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。的幅度也趋近于无穷小。信号与系统信号与系统西南林学院 鲁莹第第
39、第4-4-4-444444页页页电子教案444.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换4.4 4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱傅里叶变换傅里叶变换一、傅里叶变换一、傅里叶变换 非周期信号非周期信号f(t)可看成是周期可看成是周期T时的周期信号。时的周期信号。前已指出当周期前已指出当周期T趋近于无穷大时，谱线间隔趋近于无穷大时，谱线间隔 趋趋近于无穷小，从而信号的频谱变为连续频谱。各频率近于无穷小，从而信号的频谱变为连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之分量的幅度也趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之间仍有差别。间仍有差别。为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的为了
40、描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。令概念。令 TFTFjFnTnTlim/1lim)(单位频率上的频谱）单位频率上的频谱）称称F(j)为频谱密度函数。为频谱密度函数。信号与系统信号与系统西南林学院 鲁莹第第第4-4-4-454545页页页电子教案454.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换22de)(TTtjnnttfFntjnnTFtf1e)(考虑到：考虑到：T，无穷小，记为无穷小，记为d；n （由离散量变为连续量），而（由离散量变为连续量），而2d21T同时，同时，于是，于是，ttfTFjFtjnTde)(lim)(de)(21)(tjjFtf傅里叶变换式傅里叶变换式“-”傅里叶反
41、变换式傅里叶反变换式F(j)称为称为f(t)的的傅里叶变换傅里叶变换或或频谱密度函数频谱密度函数，简称，简称频谱频谱。f(t)称为称为F(j)的的傅里叶反变换傅里叶反变换或或原函数原函数。根据傅里叶级数根据傅里叶级数信号与系统信号与系统西南林学院 鲁莹第第第4-4-4-464646页页页电子教案464.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换也可简记为也可简记为 F(j)=F f(t)f(t)=F 1F(j)或或 f(t)F(j)F(j)一般是复函数，写为一般是复函数，写为 F(j)=|F(j)|e j ()=R()+jX()说明说明(1)前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明，前面推导并未遵循严格的
42、数学步骤。可证明，函数函数f(t)的傅里叶变换存在的的傅里叶变换存在的充分条件充分条件:ttfd)(2)用下列关系还可方便计算一些积分用下列关系还可方便计算一些积分dttfF)()0(d)(21)0(jFf信号与系统信号与系统西南林学院 鲁莹第第第4-4-4-474747页页页电子教案474.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换二、常用函数的傅里叶变换二、常用函数的傅里叶变换1.单边指数函数单边指数函数f(t)=e t(t)，0实数实数10tf(t)jjtjFtjtjt1e1dee)(0)(02.双边指数函数双边指数函数f(t)=et ,0 10tf(t)2200211deedee)(jjttjF
43、tjttjt信号与系统信号与系统西南林学院 鲁莹第第第4-4-4-484848页页页电子教案484.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换3.门函数门函数(矩形脉冲矩形脉冲)2,02,1)(tttg10tg(t)22jtjFjjtj222/2/eede)()2Sa()2sin(24.冲激函数冲激函数(t)、(t)1de)()(ttttjjttttttjtj0eddde)()(信号与系统信号与系统西南林学院 鲁莹第第第4-4-4-494949页页页电子教案494.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换5.常数常数1有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如1，(t)等，
44、但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。等，但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。可构造一函数序列可构造一函数序列fn(t)逼近逼近f(t)，即，即而而fn(t)满足绝对可积条件，并且满足绝对可积条件，并且fn(t)的傅里叶变换所的傅里叶变换所形成的序列形成的序列Fn(j)是极限收敛的。则可定义是极限收敛的。则可定义f(t)的傅的傅里叶变换里叶变换F(j)为为)(lim)(tftfnn)(lim)(jFjFnn这样定义的傅里叶变换也称为这样定义的傅里叶变换也称为广义傅里叶变换广义傅里叶变换。信号与系统信号与系统西南林学院 鲁莹第第第4-4-4-505050页页页电子教案504.4 4.4
45、 傅里叶变换傅里叶变换构造构造 f(t)=e-t ，0 222)(jF)(lim1)(0tftf所以所以0,0,02lim)(lim)(2200jFjF又又2arctan2lim12lim2lim020220dd因此，因此，1212()另一种求法另一种求法：(t)1(t)1代入反变换定义式，有代入反变换定义式，有)(de21ttj将将 tt，tt-)(de21ttj再根据傅里叶变换定义式，得再根据傅里叶变换定义式，得)(2)(2de1ttj信号与系统信号与系统西南林学院 鲁莹第第第4-4-4-515151页页页电子教案516.符号函数符号函数4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换0,10,1)s
46、gn(ttt10tsgn(t)-100,e0,e)(tttftt)(lim)sgn(0tft22211)()(jjjjFtfjjjFt22lim)(lim)sgn(22007.阶跃函数阶跃函数(t)jtt1)()sgn(2121)(10t(t)信号与系统信号与系统西南林学院 鲁莹第第第4-4-4-525252页页页电子教案524.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换归纳记忆：1.F 变换对变换对2.常用函数常用函数 F 变换对：变换对：t域域域域tetfjFtjd)()(tejFtftjd)(21)(t)(t)j1)(e-t(t)j1g(t)2Sasgn(t)j2e|t|222 1 12()信号与
47、系统信号与系统西南林学院 鲁莹第第第4-4-4-535353页页页电子教案534.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质一、线性一、线性(Linear Property)If f1(t)F1(j)，f2(t)F2(j)thenProof:F a f1(t)+b f2(t)ttbftaftjde)()(21ttfttftjtjde)(bde)(a21=a F1(j)+b F2(j)a f1(t)+b f2(t)a F1(j)+b F2(j)信号与系统信号与系统西南林学院 鲁莹第第第4-4-4-545454页页页电子教案544.5 4.5 傅里
48、叶变换的性质傅里叶变换的性质For example F(j)=?0f(t)t1-11Ans:f(t)=f1(t)g2(t)f1(t)=1 2()g2(t)2Sa()F(j)=2()-2Sa()0f 1(t)t10g2(t)t1-11-信号与系统信号与系统西南林学院 鲁莹第第第4-4-4-555555页页页电子教案554.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质二、对称性质二、对称性质(Symmetrical Property)If f(t)F(j)thenProof:de)(21)(tjjFtf（1）in(1)t，t thentjtFftjde)(21)(（2）in(2)-thentjtF
49、ftjde)(21)(F(j t)2f()endF(jt)2f()信号与系统信号与系统西南林学院 鲁莹第第第4-4-4-565656页页页电子教案564.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example F(j)=?211)(ttfAns:22|2etif =1,2|12et|2e212 t|2e11t*if2232)(22tttttfF(j)=?信号与系统信号与系统西南林学院 鲁莹第第第4-4-4-575757页页页电子教案574.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质三、时移性质三、时移性质(Timeshifting Property)If f(t)F(j)then
50、where“t0”is real constant.)(e)(00jFttftjProof:F f(t t0)tttftjde)(000ede)(tjjttf)(e0jFtj信号与系统信号与系统西南林学院 鲁莹第第第4-4-4-585858页页页电子教案584.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example F(j)=?Ans:f1(t)=g6(t-5),f2(t)=g2(t-5)g6(t-5)g2(t-5)F(j)=5e)3Sa(6j5e)Sa(2j5e)Sa(2)3Sa(6j0f(t)t2-1214680f1(t)t221468+0f2(t)t221468信号与系统信号
