1、2022年12月16日线性不确定系统的极小极大控制东北大学信息科学与工程学院井元伟教授二八年十二月 1 引言2 基本概念和预备知识3 不确定连续系统的极小极大控制5 结 论 4 不确定离散系统的极小极大控制 1 引言稳定性和性能 控制系统设计中至关重要的问题。外界的干扰和系统自身的不确定性 破坏系统的稳定性和性能。随着干扰增大系统的状态会逐渐偏离平衡点偏离平衡点并且控制的能量能量变大变大。为了保证投入比较小的控制能量，使得充分大的干扰对系统的状态和输出的影响降低到最小，并且保证系统是稳定的，引入极小极大控制方法。2022年12月16日 极小极大极小极大2 基本概念和预备知识2022年12月16
2、日 极小极大极小极大2 基本概念和预备知识J定义：极小极大控制：针对不确定系统和相应的性能指标2022年12月16日 极小极大极小极大2 基本概念和预备知识J*()u t*J定义：极小极大控制：针对不确定系统和相应的性能指标如果存在一个控制律和一个正数2022年12月16日 极小极大极小极大2 基本概念和预备知识J*()u t*J定义：极小极大控制：针对不确定系统和相应的性能指标如果存在一个控制律和一个正数在系统所能承受的最坏干扰和最大不确定性下，闭环系统是渐近稳定的，闭环性能指标达到极小且2022年12月16日 极小极大极小极大2 基本概念和预备知识J*()u t*J*JJ定义：极小极大控制
3、：针对不确定系统和相应的性能指标如果存在一个控制律和一个正数在系统所能承受的最坏干扰和最大不确定性下，闭环系统是渐近稳定的，闭环性能指标达到极小且2022年12月16日 极小极大极小极大2 基本概念和预备知识J*()u t*J*JJ*J*()u t定义：极小极大控制：针对不确定系统和相应的性能指标如果存在一个控制律和一个正数在系统所能承受的最坏干扰和最大不确定性下，闭环系统是渐近稳定的，闭环性能指标达到极小且称为一个性能上界，称为极小极大鲁棒控制律。2022年12月16日 极小极大极小极大性能指标性能指标2022年12月16日 极小极大极小极大0,()TTTJ u wx Qxu Ruw Sw
4、dt性能指标性能指标2022年12月16日 极小极大极小极大0,()TTTJ u wx Qxu Ruw Sw dt性能指标性能指标其中，2022年12月16日 极小极大极小极大0,()TTTJ u wx Qxu Ruw Sw dt0,0,0TTTSSRRQQ性能指标性能指标其中，2022年12月16日 极小极大极小极大0,()TTTJ u Wx Qxu RuW SW dt0,0,0TTTSSRRQQw性能指标性能指标其中，表示系统所有的干扰和容许的不确定性。2022年12月16日 极小极大极小极大物理意义和目的 物理意义：极小极大控制，针对干扰和不确定性最坏的情形，讨论的是，如何控制系统的稳定
5、性和性能，使得系统在整个时间过程中状态偏差状态偏差、控制消耗能量控制消耗能量和终值精度终值精度等几方面综合性能指标最小。2022年12月16日 极小极大极小极大 目的目的：具有二次型性能指标的控制系统可视为一个调节系统。所谓调节就是使偏离平衡位置的状态在控制变量的作用下尽可能地回到平衡位置上。若把零状态作为平衡状态，调节的目的就是使2022年12月16日 极小极大极小极大 目的目的：具有二次型性能指标的控制系统可视为一个调节系统。所谓调节就是使偏离平衡位置的状态在控制变量的作用下尽可能地回到平衡位置上。若把零状态作为平衡状态，调节的目的就是使 tx2022年12月16日 极小极大极小极大 目的
6、目的：具有二次型性能指标的控制系统可视为一个调节系统。所谓调节就是使偏离平衡位置的状态在控制变量的作用下尽可能地回到平衡位置上。若把零状态作为平衡状态，调节的目的就是使 tx尽量接近于零状态，这就相当于使积分2022年12月16日 极小极大极小极大 目的目的：具有二次型性能指标的控制系统可视为一个调节系统。所谓调节就是使偏离平衡位置的状态在控制变量的作用下尽可能地回到平衡位置上。若把零状态作为平衡状态，调节的目的就是使 tx 0dftTtxt Q t x tt尽量接近于零状态，这就相当于使积分尽可能地小。2022年12月16日 极小极大极小极大 另一方面在调节的过程中又不希望所消耗的能量过大，
7、这就相当于要求积分2022年12月16日 极小极大极小极大 另一方面在调节的过程中又不希望所消耗的能量过大，这就相当于要求积分 0dftTtut R t u tt2022年12月16日 极小极大极小极大 另一方面在调节的过程中又不希望所消耗的能量过大，这就相当于要求积分 0dftTtut R t u tt尽可能的小。而极小极大控制问题充分考虑到干扰和不确定性的影响，希望在干扰和不确定性尽可能大的情形下寻求一个使得性能指标最小的控制。2022年12月16日 极小极大极小极大3 不确定连续系统的极小极大控制2022年12月16日 极小极大极小极大3 不确定连续系统的极小极大控制系统描述系统描述考虑
8、不确定线性连续系统为2022年12月16日 极小极大极小极大3 不确定连续系统的极小极大控制 GBuxEtFAx系统描述系统描述考虑不确定线性连续系统为 (3.1)其中，2022年12月16日 极小极大极小极大3 不确定连续系统的极小极大控制 GBuxEtFAxnRx系统描述系统描述考虑不确定线性连续系统为 (3.1)其中，系统的状态向量2022年12月16日 极小极大极小极大3 不确定连续系统的极小极大控制 GBuxEtFAxnRxkRu系统描述系统描述考虑不确定线性连续系统为 (3.1)其中，系统的状态向量系统的控制向量2022年12月16日 极小极大极小极大3 不确定连续系统的极小极大控
9、制 GBuxEtFAxnRxkRulR系统描述系统描述考虑不确定线性连续系统为 (3.1)其中，系统的状态向量系统的控制向量系统的干扰向量2022年12月16日 极小极大极小极大3 不确定连续系统的极小极大控制 GBuxEtFAxnRxkRulR,A B G F E系统描述系统描述考虑不确定线性连续系统为 (3.1)其中，系统的状态向量系统的控制向量系统的干扰向量给定的相应维数的矩阵2022年12月16日 极小极大极小极大3 不确定连续系统的极小极大控制 GBuxEtFAxnRxkRulR,A B G F E tt TttI系统描述系统描述考虑不确定线性连续系统为 (3.1)其中，系统的状态向
10、量系统的控制向量系统的干扰向量给定的相应维数的矩阵可测的矩阵函数，且对于所有的满足 (3.2)2022年12月16日 极小极大极小极大考虑性能指标泛函为2022年12月16日 极小极大极小极大 (3.3)其中，0,()dTTTJ u wx Qxu Ruw Swt考虑性能指标泛函为2022年12月16日 极小极大极小极大 (3.3)其中，0,()dTTTJ u wx Qxu Ruw SwtTTT0,0,0QQRRSS考虑性能指标泛函为2022年12月16日 极小极大极小极大 (3.3)其中，0,()dTTTJ u wx Qxu Ruw SwtTTT0,0,0QQRRSS表示系统所有的干扰和容许的
11、不确定性。针对不确定系统(3.1)和性能指标(3.3)，当干扰对系统的破坏最大时，设计一个状态反馈控制律w考虑性能指标泛函为2022年12月16日 极小极大极小极大 (3.3)其中，0,()dTTTJ u wx Qxu Ruw SwtTTT0,0,0QQRRSS表示系统所有的干扰和容许的不确定性。针对不确定系统(3.1)和性能指标(3.3)，当干扰对系统的破坏最大时，设计一个状态反馈控制律wTux 考虑性能指标泛函为2022年12月16日 极小极大极小极大 (3.3)其中，0,()dTTTJ u wx Qxu Ruw SwtTTT0,0,0QQRRSS表示系统所有的干扰和容许的不确定性。针对不
12、确定系统(3.1)和性能指标(3.3)，当干扰对系统的破坏最大时，设计一个状态反馈控制律wTux 考虑性能指标泛函为 (3.4)使得闭环系统渐近稳定且性能指标的值达到最小。2022年12月16日 极小极大极小极大将系统(3.1)记为如下的等价系统2022年12月16日 极小极大极小极大 (3.5)其中，(,)xAxBuG F w将系统(3.1)记为如下的等价系统2022年12月16日 极小极大极小极大 (3.5)其中，(,)xAxBuG F wTTT(,)wv将系统(3.1)记为如下的等价系统2022年12月16日 极小极大极小极大 (3.5)其中，(,)xAxBuG F w vt Ex TT
13、T(,)wv将系统(3.1)记为如下的等价系统2022年12月16日 极小极大极小极大 极小极大控制律设计定理：对于不确定系统(3.5)和性能指标(3.3),如果存在对称正定矩阵2022年12月16日 极小极大极小极大 极小极大控制律设计定理：对于不确定系统(3.5)和性能指标(3.3),如果存在对称正定矩阵C满足下列不等式2022年12月16日 极小极大极小极大 极小极大控制律设计定理：对于不确定系统(3.5)和性能指标(3.3),如果存在对称正定矩阵CT1T1,0CBR B CC G F SG FC满足下列不等式 (3.6)2022年12月16日 极小极大极小极大 极小极大控制律设计定理：
14、对于不确定系统(3.5)和性能指标(3.3),如果存在对称正定矩阵CT1T1,0CBR B CC G F SG FCTT1T1,0A CCA CBR B CC G F SG FCQ满足下列不等式 (3.6)(3.7)则 2022年12月16日 极小极大极小极大 极小极大控制律设计定理：对于不确定系统(3.5)和性能指标(3.3),如果存在对称正定矩阵CT1T1,0CBR B CC G F SG FCTT1T1,0A CCA CBR B CC G F SG FCQ1TuR B Cx 满足下列不等式 (3.6)(3.7)则 2022年12月16日 极小极大极小极大 极小极大控制律设计定理：对于不确
15、定系统(3.5)和性能指标(3.3),如果存在对称正定矩阵CT1T1,0CBR B CC G F SG FCTT1T1,0A CCA CBR B CC G F SG FCQ1TuR B Cx 满足下列不等式 (3.6)(3.7)则 为系统(3.1)的极小极大鲁棒控制器，且性能指标满足2022年12月16日 极小极大极小极大 极小极大控制律设计定理：对于不确定系统(3.5)和性能指标(3.3),如果存在对称正定矩阵CT1T1,0CBR B CC G F SG FCTT1T1,0A CCA CBR B CC G F SG FCQ1TuR B Cx TTTT0minmaxd00uWx Qxu Ruw
16、 SwtxCx满足下列不等式 (3.6)(3.7)则 为系统(3.1)的极小极大鲁棒控制器，且性能指标满足2022年12月16日 极小极大极小极大4 不确定离散系统的极小极大控制2022年12月16日 极小极大极小极大4 不确定离散系统的极小极大控制系统描述系统描述考虑不确定离散系统2022年12月16日 极小极大极小极大4 不确定离散系统的极小极大控制ttttDBuxAAx1系统描述系统描述考虑不确定离散系统(4.1)2022年12月16日 极小极大极小极大4 不确定离散系统的极小极大控制ttttDBuxAAx1mtRx 系统描述系统描述考虑不确定离散系统(4.1)为系统的可量测状态向量，2
17、022年12月16日 极小极大极小极大4 不确定离散系统的极小极大控制ttttDBuxAAx1mtRx ktRu 系统描述系统描述考虑不确定离散系统(4.1)为系统的可量测状态向量，为系统的控制向量，2022年12月16日 极小极大极小极大4 不确定离散系统的极小极大控制ttttDBuxAAx1mtRx ktRu ltR系统描述系统描述考虑不确定离散系统(4.1)为系统的可量测状态向量，为系统的控制向量，为系统的干扰。不确定性满足范数有界条件2022年12月16日 极小极大极小极大4 不确定离散系统的极小极大控制ttttDBuxAAx1mtRx ktRu ltRNFA (4.2)其中，系统描述
18、系统描述考虑不确定离散系统(4.1)为系统的可量测状态向量，为系统的控制向量，为系统的干扰。不确定性满足范数有界条件2022年12月16日 极小极大极小极大4 不确定离散系统的极小极大控制ttttDBuxAAx1mtRx ktRu ltRNFA (4.2)其中，NF,IT:系统描述系统描述考虑不确定离散系统(4.1)为系统的可量测状态向量，为系统的控制向量，为系统的干扰。不确定性满足范数有界条件是已知给定的具有相应维数的矩阵，且属于下列集合(4.3)2022年12月16日 极小极大极小极大考虑如下性能指标2022年12月16日 极小极大极小极大)(,02tTttTttTtuuxAQxuJ考虑如
19、下性能指标 (4.4)其中，2022年12月16日 极小极大极小极大)(,02tTttTttTtuuxAQxuJQ (4.4)其中，A考虑如下性能指标是和不确定性有关的，且2022年12月16日 极小极大极小极大 (4.4)其中，)(,02tTttTttTtuuxAQxuJQA0AQAQT考虑如下性能指标是和不确定性有关的，且2022年12月16日 极小极大极小极大)(,02tTttTttTtuuxAQxuJQ (4.4)其中，A0AQAQT考虑如下性能指标是和不确定性有关的，且根据不确定性范数有界条件，系统(4.1)可记为2022年12月16日 极小极大极小极大)(,02tTttTttTtu
20、uxAQxuJQ (4.4)其中，A0AQAQTtttttFvDBuAxx1考虑如下性能指标是和不确定性有关的，且根据不确定性范数有界条件，系统(4.1)可记为 (4.5)其中，2022年12月16日 极小极大极小极大)(,02tTttTttTtuuxAQxuJQ (4.4)其中，A0AQAQTtttttFvDBuAxx1ttNxv考虑如下性能指标是和不确定性有关的，且根据不确定性范数有界条件，系统(4.1)可记为 (4.5)其中，2022年12月16日 极小极大极小极大不确定离散系统的极小极大控制律设计2022年12月16日 极小极大极小极大2l定义定义4.1 如果系统干扰的范数是有界的，即
21、不确定离散系统的极小极大控制律设计2022年12月16日 极小极大极小极大2l022tTt定义定义4.1 如果系统干扰的范数是有界的，即不确定离散系统的极小极大控制律设计2022年12月16日 极小极大极小极大2l022tTt定义定义4.1 如果系统干扰的范数是有界的，即则称其是容许的。引理引理 4.1 对于任意的不确定离散系统的极小极大控制律设计2022年12月16日 极小极大极小极大2l022tTtN定义定义4.1 如果系统干扰的范数是有界的，即则称其是容许的。引理引理 4.1 对于任意的，给定矩阵，都有不确定离散系统的极小极大控制律设计2022年12月16日 极小极大极小极大2l022t
22、TtNtTTttTtNxNxvvttNxv定义定义4.1 如果系统干扰的范数是有界的，即则称其是容许的。引理引理 4.1 对于任意的，给定矩阵，都有.(4.6)成立。其中，不确定离散系统的极小极大控制律设计2022年12月16日 极小极大极小极大引理引理 4.2 针对线性离散系统2022年12月16日 极小极大极小极大ttttDBuAxx1引理引理 4.2 针对线性离散系统2022年12月16日 极小极大极小极大ttttDBuAxx1QC引理引理 4.2 针对线性离散系统若对于给定的非负定对称矩阵，存在正定矩阵2022年12月16日 极小极大极小极大ttttDBuAxx1QCACACQbfT0
23、2CFFIT引理引理 4.2 针对线性离散系统若对于给定的非负定对称矩阵，存在正定矩阵使方程有解且，2022年12月16日 极小极大极小极大ttttDBuAxx1QCACACQbfT02CFFITuTrACFFIA12)(引理引理 4.2 针对线性离散系统若对于给定的非负定对称矩阵，存在正定矩阵使方程有解且，2022年12月16日 极小极大极小极大ttttDBuAxx1QCACACQbfT02CFFITuTrACFFIA12)(引理引理 4.2 针对线性离散系统若对于给定的非负定对称矩阵，存在正定矩阵使方程有解且，是稳定的，则针对性能指标(4.4)，该系统的极小极大控制就是应用局部检验方法求得
24、的局部极小极大控制。且在此情况下有2022年12月16日 极小极大极小极大ttttDBuAxx1QCACACQbfT02CFFITuTrACFFIA12)(00,maxminCxxuJTutt引理引理 4.2 针对线性离散系统若对于给定的非负定对称矩阵，存在正定矩阵使方程有解且，是稳定的，则针对性能指标(4.4)，该系统的极小极大控制就是应用局部检验方法求得的局部极小极大控制。且在此情况下有2022年12月16日 极小极大极小极大ttttDBuAxx1QCACACQbfT02CFFITuTrACFFIA12)(00,maxminCxxuJTutt 为由局部极小极大控制和最坏干扰所构成闭环系统的
25、系数矩阵。rA引理引理 4.2 针对线性离散系统若对于给定的非负定对称矩阵，存在正定矩阵使方程有解且，是稳定的，则针对性能指标(4.4)，该系统的极小极大控制就是应用局部检验方法求得的局部极小极大控制。且在此情况下有其中，2022年12月16日 极小极大极小极大X定理定理4 针对系统(4.1)，若存在某些常数，及正定矩阵和2022年12月16日 极小极大极小极大XY定理定理4 针对系统(4.1)，若存在某些常数，及正定矩阵和满足下列条件 2022年12月16日 极小极大极小极大XY02XFFIT定理定理4 针对系统(4.1)，若存在某些常数，及正定矩阵和满足下列条件 (4.7)2022年12月
26、16日 极小极大极小极大XY02XFFIT0222TTTTTBBYDDFFAAXNN定理定理4 针对系统(4.1)，若存在某些常数，及正定矩阵和满足下列条件 (4.7)(4.8)且闭环系统系数矩阵稳定，则 2022年12月16日 极小极大极小极大XY02XFFIT0222TTTTTBBYDDFFAAXNNtfdTfdTtAxCBBCBIu1)(QAQ00,maxminCxxuJTutt定理定理4 针对系统(4.1)，若存在某些常数，及正定矩阵和满足下列条件 (4.7)(4.8)且闭环系统系数矩阵稳定，则 是使性能指标(4.4)（其中取 ）在最坏干扰下取得极小值的鲁棒控制器，并且有其中，2022
27、年12月16日 极小极大极小极大XY02XFFIT0222TTTTTBBYDDFFAAXNNtfdTfdTtAxCBBCBIu1)(QAQ00,maxminCxxuJTuttCX 1CY定理定理4 针对系统(4.1)，若存在某些常数，及正定矩阵和满足下列条件 (4.7)(4.8)且闭环系统系数矩阵稳定，则 是使性能指标(4.4)（其中取 ）在最坏干扰下取得极小值的鲁棒控制器，并且有其中，。2022年12月16日 极小极大极小极大简单介绍了含有不确定性的线性连续和离散系统的极小极大控制问题的提法。分别给出了矩阵不等式形式的极小极大控制器的存在条件。关于极小极大控制器的求解方法，通过定理证明的形式可以得到。比较复杂，可阅有关资料。可通过MATLAB工具箱，求解得到使闭环系统稳定且性能指标达到极小值的控制器的反馈参数。5 结 论
