1、机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束.,.,21个个分分量量称称为为第第个个数数第第个个数数称称为为该该向向量量的的分分量量这这维维向向量量数数组组称称为为所所组组成成的的个个有有次次序序的的数数iainnaaanin分量全为实数的向量称为分量全为实数的向量称为实向量实向量分量全为复数的向量称为分量全为复数的向量称为复向量复向量向量的定义向量的定义定义定义机动 目录 上页 下页 返回 结束 naaaan21 ,即即称称为为列列向向量量维维向向量量写写成成列列的的形形式式),(,21nTaaaan 即即称称为为行行向向量量维维向向量量写写成成行行的的形形式式机动
2、 目录 上页 下页 返回 结束 向量的相等向量的相等),2,1(),(),(2121nibababbbbaaaaiiTTnTnT则则设设零 向 量零 向 量分量全为分量全为0的向量称为零向量的向量称为零向量),2,1(0niaOaiT),2,1(,0niaOaiT中中至至少少有有一一个个不不为为负向量负向量).,(,),(2121nTTnTaaaaaaaaa且且的负向量记作的负向量记作向量向量机动 目录 上页 下页 返回 结束 向量加法向量加法),(:),(),(22112121nnTTTTnTnTbabababababbbbaaaa的加法为的加法为与与向量向量定义定义设设),(2211nnT
3、Tbabababa向量减法定义为向量减法定义为向量的线性运算向量的线性运算机动 目录 上页 下页 返回 结束 数乘向量数乘向量),(,21nTTkakakakaak定定义义为为简简称称数数乘乘向向量量称称为为向向量量的的数数量量乘乘法法的的乘乘积积与与向向量量数数向量加法和数乘向量运算称为向量的向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运线性运算算，满足八条运算规则：，满足八条运算规则：;)1(加法交换律加法交换律);()()2(加法结合律加法结合律;,)3(O有有对任一个向量对任一个向量机动 目录 上页 下页 返回 结束;)(,)4(O 有有存在负向量存在负向量对任一个向量对任一个向量;1)5(;
4、)()()6(kllk数乘结合律数乘结合律;)()7(kkk数乘分配律数乘分配律.)()8(lklk数乘分配律数乘分配律.,1,为零向量为零向量为数为数维向量维向量为为其中其中Olkn 机动 目录 上页 下页 返回 结束 除了上述八条运算规则，显然还有以下性质：除了上述八条运算规则，显然还有以下性质：);,0(,0 )1(为任意数为任意数为数零为数零其中其中kOkOO;,0,)2(OkOk 或者或者则或者则或者若若.)3(xx有唯一解有唯一解向量方程向量方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 若干个同维数的列（行）向量所组成的集合若干个同维数的列（行）向量所组成的集合叫做向量组叫做向量组定义定
5、义.,:2122112121这这个个线线性性组组合合的的系系数数称称为为的的一一个个线线性性组组合合称称为为向向量量组组向向量量实实数数对对于于任任何何一一组组给给定定向向量量组组mmmmmkkkAakakakkkkaaaA线性组合线性组合机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义.,:22112121线线性性表表示示由由向向量量组组能能这这时时称称向向量量的的线线性性组组合合是是向向量量组组则则向向量量使使存存在在一一组组实实数数如如果果和和向向量量给给定定向向量量组组AbAbakakakbkkkbaaaAmmmm线性表示线性表示机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理.),(),(2
6、121的的秩秩的的秩秩等等于于矩矩阵阵件件是是矩矩阵阵线线性性表表示示的的充充分分必必要要条条能能由由向向量量组组向向量量baaaBaaaAAbmm定义定义.,.,:,:2121两两个个向向量量组组等等价价则则称称这这能能相相互互线线性性表表示示与与向向量量组组若若向向量量组组线线性性表表示示能能由由向向量量组组则则称称向向量量组组线线性性表表示示向向量量组组组组中中的的每每个个向向量量都都能能由由若若及及设设有有两两个个向向量量组组BAABABbbbBaaaAsm机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义.,0,:22112121否否则则称称它它线线性性无无关关是是线线性性相相关关的的则则
7、称称向向量量组组使使为为零零的的数数如如果果存存在在不不全全给给定定向向量量组组AakakakkkkaaaAmmmm线性相关线性相关定理定理.)(;),(,2121mARmaaaAaaamm是是必必要要条条件件向向量量组组线线性性无无关关的的充充分分于于向向量量个个数数的的秩秩小小条条件件是是它它所所构构成成的的矩矩阵阵线线性性相相关关的的充充分分必必要要向向量量组组机动 目录 上页 下页 返回 结束.,.,:,11121 )(也线性无关也线性无关向量组向量组则则线性无关线性无关量组量组若向若向反言之反言之也线性相关也线性相关向量组向量组则则线性相关线性相关：向量组向量组若若ABBAmmm定理
8、定理）设设（2 ),2,1(,12121mjaaaabaaajrrjjjjrjjjj 机动 目录 上页 下页 返回 结束.,.,.2121性性相相关关也也线线则则向向量量组组线线性性相相关关反反言言之之，若若向向量量组组关关也也线线性性无无：则则向向量量组组线线性性无无关关：若若向向量量组组添添上上一一个个分分量量后后得得向向量量即即ABbbbBAbmmjj.3时一定线性相关时一定线性相关于向量个数于向量个数小小当维数当维数维向量组成的向量组，维向量组成的向量组，个个）（mnnm .,:,:4121且表示式是唯一的且表示式是唯一的线性表示线性表示必能由向量组必能由向量组向量向量则则线性相关线性
9、相关组组而向量而向量线性无关线性无关设向量组设向量组AbbBAmm)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 向量组的秩向量组的秩，满满足足个个向向量量中中能能选选出出，如如果果在在设设有有向向量量组组rrAA,21 定义定义线线性性无无关关；）向向量量组组（rA,:1210 关关，个个向向量量的的话话）都都线线性性相相中中有有个个向向量量（如如果果中中任任意意）向向量量组组（112rArA .的的秩秩称称为为向向量量组组数数最最大大无无关关组组所所含含向向量量个个r );(0 简称简称的一个的一个向量组向量组是是那末称向量组那末称向量组AA最大线性无关向量组最大线性无关向量组最大最大无关组无关组
10、机动 目录 上页 下页 返回 结束.它它的的行行向向量量组组的的秩秩量量组组的的秩秩，也也等等于于矩矩阵阵的的秩秩等等于于它它的的列列向向定理定理.的的秩秩的的秩秩不不大大于于向向量量组组量量组组线线性性表表示示，则则向向能能由由向向量量组组设设向向量量组组ABAB 定理定理.等价的向量组的秩相等等价的向量组的秩相等推论推论.的一个最大无关组的一个最大无关组是向量组是向量组则向量组则向量组线性表示，线性表示，能由向量组能由向量组线性无关，且向量组线性无关，且向量组组组的部分组，若向量的部分组，若向量是向量组是向量组设向量组设向量组ABBABAB 推论推论机动 目录 上页 下页 返回 结束 的系
11、数矩阵和未知量为的系数矩阵和未知量为记齐次线性方程组记齐次线性方程组)1(,0,0,0221122221211212111xaxaxaxaxaxaxaxaxanmnmmnnnn向量方程向量方程8齐次线性方程组齐次线性方程组机动 目录 上页 下页 返回 结束 11121121222212,(1).(2)nnmmmnnaaaxaaaxAxaaaxAxO则式可写成矩阵方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 解向量解向量1211211112111,(1),(1),(2).nnnxxxx若为的解 则称为方程组的解向量 它也就是方程的解机动 目录 上页 下页 返回 结束 解向量的性质解向量的性质性质性质性
12、质性质.)2(,)2(,2121的解的解是是也也则则的解的解为为若若 xxx.)2(,)2(11的解的解也是也是则则为实数为实数的解的解为为若若 kxkx机动 目录 上页 下页 返回 结束 11112211211222221122 ,(3),(4)nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxbAxb非齐次线性方程组可写为方程向量方程向量方程9非齐次线性方程组非齐次线性方程组机动 目录 上页 下页 返回 结束 解向量的性质解向量的性质性质性质性质性质.)5(,)4(,2121的的解解组组为为对对应应的的齐齐次次线线性性方方程程则则的的解解为为若若OAxxxx .)4
13、(,)5(,)4(的的解解也也是是方方程程则则解解的的是是方方程程的的解解是是方方程程若若 xxx解向量解向量 方程方程 的解就是方程组的解就是方程组 的解向量的解向量)4()3(机动 目录 上页 下页 返回 结束(1)求齐次线性方程组的基础解系求齐次线性方程组的基础解系:,)(21可可按按下下面面步步骤骤进进行行不不妨妨设设为为个个解解向向量量解解系系含含线线性性无无关关的的那那么么方方程程组组的的一一个个基基础础程程组组中中未未知知数数的的个个数数为为而而方方的的秩秩若若齐齐次次线线性性方方程程组组 rnrnnrAROAx0线性方程组的解法线性方程组的解法机动 目录 上页 下页 返回 结束
14、 第一步：对系数矩阵进行初等行变换，使其第一步：对系数矩阵进行初等行变换，使其变成行最简形矩阵变成行最简形矩阵;0000000000100010001,1,21,2,11,1 ccccccnrrrnrnrA机动 目录 上页 下页 返回 结束 即即个个分分量量的的第第于于是是得得号号个个分分量量反反列列前前将将第第第第二二步步,2,1,2,1:21rrnrrrn ;,2,11,2,22,121,1,21,11 cccccccccnrnnrnrrrrrrrr 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三步：将其余第三步：将其余 个分量依次组成个分量依次组成 阶阶单位矩阵，于是得齐次线性方程组的一个基础
15、解系单位矩阵，于是得齐次线性方程组的一个基础解系.100,010,001,2,12,2,22,121,1,21,11 cccccccccnrnnrnrrrrrrrr rn rn 机动 目录 上页 下页 返回 结束(2)求非齐次线性方程组的特解求非齐次线性方程组的特解.,)()(矩矩阵阵使使其其成成为为行行最最简简形形进进行行初初等等行行变变换换增增广广矩矩阵阵那那么么对对数数为为而而方方程程组组中中未未知知数数的的个个的的秩秩若若非非齐齐次次线线性性方方程程组组BnrBRARbAx机动 目录 上页 下页 返回 结束,000000000000100010001,1,2,21,21,11,1 dc
16、cdccdccrnrrrnrnr将上述矩阵中最后一列的前将上述矩阵中最后一列的前 个分量依次作为个分量依次作为特解的第特解的第 个分量，其余个分量，其余 个分量全部取个分量全部取零，于是得零，于是得rrn r,2,1机动 目录 上页 下页 返回 结束,0021 dddr 即为所求非齐次线性方程组的一个特解即为所求非齐次线性方程组的一个特解机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、向量组线性关系的判定一、向量组线性关系的判定二、求向量组的秩二、求向量组的秩三、线性方程组有关问题三、线性方程组有关问题典型例题典型例题机动 目录 上页 下页 返回 结束 方法方法1利用定义利用定义000,0212222
17、121121112211aaakaaakaaakkkkmnmmmnnmm 令令整理得线性方程组整理得线性方程组一、向量组线性关系的判定一、向量组线性关系的判定机动 目录 上页 下页 返回 结束)(,0,0,0221122221121221111 kakakakakakakakakammnnnmmmm.,)(.,)(2121线线性性相相关关则则有有非非零零解解若若线线性性方方程程组组线线性性无无关关则则只只有有唯唯一一零零解解若若线线性性方方程程组组 mm机动 目录 上页 下页 返回 结束 方法方法 利用矩阵的秩与向量组的秩之间关系判定利用矩阵的秩与向量组的秩之间关系判定.,)(,)().(),
18、(,21212121线线性性相相关关则则若若线线性性无无关关则则若若首首先先求求出出相相应应的的矩矩阵阵就就得得到到一一个个维维向向量量给给出出一一组组 mmmmmARmARARAn机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1研究下列向量组的线性相关性研究下列向量组的线性相关性.201,520,321321 解一解一000201520321,0321332211kkkkkk即即令令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 整理得到整理得到)(.0253,022,03212131 kkkkkkk.,)(,0253022101)(321线线性性相相关关从从而而必必有有非非零零解解线线性性方方程程组组的的
19、系系数数行行列列式式线线性性方方程程组组 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解二解二,201,520,321321 ,253022101),(321 A矩阵矩阵机动 目录 上页 下页 返回 结束 000220101253022101初等行变换初等行变换A.,32)(321线线性性相相关关故故向向量量组组 AR机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2 设设,且向量组且向量组 线性无关线性无关,证明向量组证明向量组 线性无关线性无关.rraaabaabab 2121211,raaa,21rbbb,21证证 prprrakkakkakk)()()(22110 rrak02211 rrbkbkbk
20、设设则则raaa,21因向量组因向量组线性无关，线性无关，故故机动 目录 上页 下页 返回 结束 0110011011 因为因为故方程组只有零解故方程组只有零解 000221rrrkkkkkk 0001001101121rkkk021 rkkk则则rbbb,21所以所以 线性无关线性无关.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3问问a取什么值时下列向量组线性相关？取什么值时下列向量组线性相关？a1(a 1 1)T a2(1 a 1)T a3(1 1 a)T 解解以所给向量为列向量的矩阵记为以所给向量为列向量的矩阵记为A )1)(1(111111|aaaaaaA由由知知 当当a1、0、1时时
21、R(A)3 此时向量组此时向量组线性相关线性相关 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4 设设a1 a2 an是一组是一组n维向量维向量 已知已知n维单位坐标向量维单位坐标向量e1 e2 en能由它们线性表能由它们线性表示示 证明证明a1 a2 an线性无关线性无关 证证 因为因为e1 e2 en能由能由a1 a2 an线性表示线性表示 所以所以R(e1 e2 en)R(a1 a2 an)而而R(e1 e2 en)n R(a1 a2 an)n 所以所以R(a1 a2 an)n 从而从而a1 a2 an线性无关线性无关 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、求向量组的秩二、求向量组的秩.)
22、1,4,6,2(),1,2,3,1(),1,1,1,0(),1,1,2,1(),0,0,1,1(54321的秩的秩求向量组求向量组 TTTTT解解为阶梯形为阶梯形化化行变换行变换作初等作初等对对作矩阵作矩阵AAA,54321 例例5机动 目录 上页 下页 返回 结束 1111042110631212101154321 A00000530004211021011.54321U 记作记作,3)(ARA的的列列秩秩.3,54321的的秩秩为为故故向向量量组组 ,421线线性性无无关关组组的的列列向向量量组组的的一一个个最最大大是是又又U .,421线线性性无无关关组组的的列列向向量量组组的的一一个个
23、最最大大也也是是所所以以A 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6 设向量组设向量组(a 3 1)T (2 b 3)T (1 2 1)T (2 3 1)T的秩为的秩为2 求求a b 解解 设设a1(a 3 1)T a2(2 b 3)T a3(1 2 1)T a4(2 3 1)T 5200111031113111332221),(2143baabaa a a ar 因为因为而而R(a1 a2 a3 a4)2 所以所以a 2 b 5 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7 确定数确定数a,使使向量组向量组 aa an 11,11,1121 的秩为的秩为n.解解记记).,(21nA 要使要使
24、,),(21nRn 则则.0|A机动 目录 上页 下页 返回 结束 aaaA111111|anaanananCCC1)1(1)1(11)1(21 aana1111111)1(101011001)1(,2)1(1 aananiCCi 从而从而,当当1,1aan 时，时，.),(21nRn .)1)(1(1 nana机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解将将I与与II联立得非齐次线性方程组联立得非齐次线性方程组 .04,02,03221321321xaxxaxxxxxx12321 axxx 例例8 设线性方程组设线性方程组与方程与方程 有公共解，求有公共解，求a的值及所有公共解的值及所有公共解
25、II I .12,04,02,03213221321321axxxxaxxaxxxxxx III 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若此非齐次线性方程组有解若此非齐次线性方程组有解,则则I与与II有公共解有公共解,且且III的解即为所求全部公共解的解即为所求全部公共解.对对III的增广矩阵作初等行变换得的增广矩阵作初等行变换得 raaaA112104102101112 11000)1)(2(0001100111aaaaa)()(ArAr当当a=1时，有时，有=23，即即I与与II有公共解有公共解,其全部公共解即为其全部公共解即为III的通解，的通解，方程组方程组III有解有解,机动 目录 上
26、页 下页 返回 结束 0000000000100101rA 101此时此时方程组方程组III基础解系为基础解系为:所以所以I与与II的全部公共解为的全部公共解为 101kk为任意常数为任意常数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 0000110010100001rA)()(ArAr当当a=2时，有时，有=3，方程组方程组III有唯一解有唯一解,此时此时故方程组故方程组III的解为的解为即即I与与II有唯一公共解为有唯一公共解为.110 110机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例9 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3 已知已知 1 2 3是它的三个
27、解向量是它的三个解向量 且且 1(2 3 4 5)T 2 3(1 2 3 4)T 求该方程组的通解求该方程组的通解 解解 由于方程组中未知量的个数是由于方程组中未知量的个数是4 系数矩阵的秩系数矩阵的秩为为3 所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有一所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量个向量 且由于且由于 1 2 3均为方程组的解均为方程组的解 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由非齐次线性方程组解的结构性质得由非齐次线性方程组解的结构性质得2 1(2 3)(1 2)(1 3)(3 4 5 6)T为其对应齐次方程组基础解系为其对应齐次方程组基础解系故此方程组的通解故此方程组的通解
28、x k(3 4 5 6)T(2 3 4 5)T (k R)机动 目录 上页 下页 返回 结束.1,)2(;,)1(:.,111个个线线性性无无关关的的解解的的是是方方程程组组线线性性无无关关证证明明解解系系是是其其导导出出组组的的一一个个基基础础的的一一个个解解是是非非齐齐次次线线性性方方程程组组设设rnBAXBAXrnrnrn 例例10机动 目录 上页 下页 返回 结束.0)(,0)1(0110kkkkrnrn其中必有其中必有令令 证证.0,0,0,0210101kBAXAXAXkkkkrnrnrn所以所以矛盾矛盾的解的解齐次方程组齐次方程组是非是非而等式左边而等式左边的解的解必是必是其线性
29、组合其线性组合故等式右边为故等式右边为的解的解是齐次方程组是齐次方程组由于由于有有否则否则 ,0,)(022110 rnrnkkkk则有则有式式代入代入将将机动 目录 上页 下页 返回 结束.,0,0,21212121线性无关线性无关于是于是故有故有线性无关线性无关所以所以的基础解系的基础解系是是因为因为 rnrnrnrnkkkAX.,),2,1()2(再再证证它它们们线线性性无无关关的的解解都都是是知知由由线线性性方方程程组组解解的的性性质质BAXrnii 所以所以线性无关线性无关的证明知的证明知由由则则令令,)1(,0)(,0)()(211110110 rnrnrnrnrnrnkkkkkkkk机动 目录 上页 下页 返回 结束,0,0,0,021210kkkkkkkrnrn.,0,21210线性无关线性无关故故得得解之解之 rnrnkkkk
