1、2.1 线性方程组的消元法与矩阵的初等变换在第1章中,介绍了用克拉默法则求解线性方程组,但是克拉默法则的应用是有条件的,它要求方程的个数等于未知量的个数,且系数行列式不等于零.然而一般线性方程组往往不能同时满足这两个条件.在本章中我们将对一般的线性方程组进行讨论,给出求解一般线性方程组的一种重要方法矩阵的初等变换法。2.1 线性方程组的消元法与矩阵的初等变换2.1.1 线性方程组的消元法消元法是一种求解线性方程组的方法,它不受方程个数和未知量个数的限制.现在我们运用消元法来求解方程组,并总结出线性方程组消元法的结构特点,这对于引入矩阵的初等变换具有重要的意义.下面通过一个例子来加以分析.引例求
2、解线性方程组2.1 线性方程组的消元法与矩阵的初等变换解 利用消元法化简方程组如下:2.1 线性方程组的消元法与矩阵的初等变换2.1 线性方程组的消元法与矩阵的初等变换我们发现在步骤(1)(5)的消元法化简过程中,是在对整个方程组不断地实施如下三种变换:(i)交换两个方程的位置;(ii)用一个不等于零的数k乘以某一个方程;(iii)用一个非零数乘以某一个方程后加到另一个方程.由于这三种变换都是可逆的,因此变换前的方程和变换后的方程是同解的,即方程组(1)(5)是同解方程组,故方程组(5)的解就是原方程组(1)的解.把以上三种变换称为线性方程的初等变换.2.1 线性方程组的消元法与矩阵的初等变换
3、在线性方程组(5)中,利用从第4个方程往第1个方程“回代”的方法,可得:容易看出,方程组(6)中的x3 无论取何值,方程组(6)表示的解都满足方程组(5),从而满足方程组(4)、方程组(3)、方程组(2)、方程组(1),即x3 可以自由取值,称x3 是一个自由未知量.2.1 线性方程组的消元法与矩阵的初等变换若令x3=c(其中c为任意常数),则原方程组的解可记作通常把方程组(6)表示的解的形式称为方程组的一般解,形如方程组(7)的解的形式称为方程组的通解.2.1 线性方程组的消元法与矩阵的初等变换定义1 设含有n 个未知数x1,x2,xn 和m 个线性方程的线性方程组为其中aij 表示第i 个
4、方程未知量xj 的系数,bi 为常数项,aij,bi(i=1,2,m;j=1,2,n)均为已知数.m 为方程的个数,它可以小于n,也可以等于或大于n.若b1,b2,bm全为零,则称线性方程组(8)为齐次线性方程组;否则,称方程组(8)为非齐次线性方程组.若n 个数k1,k2,kn 使得当x1=k1,x2=k2,xn=kn 时,线性方程组(8)中的每个方程都变成恒等式,则称有序数组(k1,k2,kn)是方程组(8)的一个解.2.1 线性方程组的消元法与矩阵的初等变换若k1=k2=kn=0,称(k1,k2,kn)是一个零解;否则,称之为非零解.方程组的所有解构成它的解集合,如果两个方程组的解集合相
5、等,则称它们是 同解的.解方程组就是求出它的全部解或者判断它无解.容易看出,当 m=n 且系数行列式不等于零时,我们可以用克拉默法则求得方程组(8)的唯一解.当 mn 或系数行列式等于零时,克拉默法则不再适用,此时利用矩阵的初等变换求解线性方程组.事实上,不管 m 与n 是否相等,我们都可以通过矩阵的初等变换获得线性方程组(8)的解的情况.2.1 线性方程组的消元法与矩阵的初等变换2.1.1节利用消元法解线性方程组的过程中,线性方程组的初等变换只是对方程组的系数和常数进行运算,未知数并未参与运算.因此线性方程组(8)有没有解以及有什么样的解,完全取决于其系数和常数项,所以在讨论线性方程组时,主
6、要是研究它的系数和常数项.线性方程组(8)的系数可以排成下表2.1.2 矩阵的初等变换2.1 线性方程组的消元法与矩阵的初等变换线性方程组(8)的系数和常数项也可以排成一个表这样的表,对于研究线性方程组具有重要意义,为此我们给出以下定义.2.1 线性方程组的消元法与矩阵的初等变换定义2由 mn 个数cij(i=1,2,m;j=1,2,n)排成的 m 行n 列的数表,称为 m 行n 列的矩阵,简称 mn 矩阵,记作数cij(i=1,2,m;j=1,2,n)称为矩阵(11)的元素,简称元.cij 位于矩阵(11)的第i行第j 列,称为矩阵(11)的第(i,j)元.以cij 为(i,j)元的矩阵可简
7、记作(cij)或者(cij)mn,矩阵常用大写字母A,B,C,表示,mn 矩阵也记作Amn或者Amn.2.1 线性方程组的消元法与矩阵的初等变换我们把(9)叫作线性方程组(8)的系数矩阵,把(10)叫作线性方程组(8)的增广矩阵.习惯上系数矩阵用A 表示,增广矩阵用 A 表示,即若记注意:增广矩阵可完全确定线性方程组(8),且增广矩阵的一行与线性方程组的一个方程对应.2.1 线性方程组的消元法与矩阵的初等变换b是由线性方程组(8)中 m 个方程的常数项按照原方程中的位置排成一列得到的,称之为线性方程组(8)的常数项矩阵,它是一个 m 行1列的矩阵.此矩阵因只有一列元素,有时也称为 m1的列向量
8、.排成一列构成的n1矩阵,它是一个n1的列向量.通常把x 叫作线性方程组(8)的解向量.2.1 线性方程组的消元法与矩阵的初等变换引例中,若记则方程组的初等变换完全可以转化为对矩阵A 的变换,把方程组的上述三种同解变换转移到矩阵上,就得到矩阵的三种初等变换.定义3下面三种变换称为矩阵的初等行变换:(1)交换矩阵的两行(对调i行和j 行,记作rirj);(2)用一个不等于零的数k乘以矩阵的某一行(第i行乘k,记作kri);(3)用一个非零数乘以矩阵的某一行加到另一行对应的元素上去(数k 乘以第i 行加到第j 行,记作rj+kri).2.1 线性方程组的消元法与矩阵的初等变换把以上三种变换的行改为
9、列,称为矩阵的初等列变换,所用记号分别为cicj;kci;cj+kci.矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换.显然,矩阵的三种初等变换也是可逆的,且其逆变换是同一类型的初等变换.对比引例中线性方程组的求解,我们发现,对线性方程组实施一次初等变换,相当于对其增广矩阵实施一次初等行变换.从而,可以利用对增广矩阵的初等行变换法来求解线性方程组.下面我们用对增广矩阵的初等行变换法化简线性方程组(1).2.1 线性方程组的消元法与矩阵的初等变换2.1 线性方程组的消元法与矩阵的初等变换在上述初等行变换的过程中,矩阵B1B4 对应线性方程组(2)(5).方程组(6)的“回代”求解过程也可以用对
10、矩阵的初等变换来完成.B5 对应的线性方程组为2.1 线性方程组的消元法与矩阵的初等变换取x3 为自由未知量,并令x3=c,则原方程组的解可记作容易看出,由于省略了未知量,增广矩阵的初等行变换法解线性方程组简化了计算过程,这是本书中要介绍的一种重要的解线性方程组的方法.2.1 线性方程组的消元法与矩阵的初等变换形如B4 和B5 的矩阵称为行阶梯形矩阵,简称阶梯形矩阵.其特点是:零行(元素全为零的行)在最下方;可画出一条阶梯线,线的下方全为零;每个台阶只有一行,台阶数即为非零行的行数;阶梯线的竖线(每段竖线的长度为一行)后面的第一个元素为非零元,也就是非零行的第一个非零元.如下矩阵都是行阶梯形矩
11、阵:2.1 线性方程组的消元法与矩阵的初等变换定义4一个阶梯形矩阵若满足:(1)各非零行的第一个非零元素都等于1;(2)各非零行的第一个非零元素所在的列中,其余元素均为零.则称它为行最简形矩阵,又叫作行简化阶梯形矩阵.显然行最简形矩阵是行阶梯形矩阵的特殊情况,B5 是行最简形矩阵.可见,行最简形矩阵对应的线性方程组最简单,由此矩阵可直接获得原线性方程组解的情况.那么是不是任何一个线性方程组的增广矩阵都可以通过初等行变换转化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵呢?答案是肯定的.利用数学归纳法不难证明(在此略).2.1 线性方程组的消元法与矩阵的初等变换定理1对于任意非零矩阵Amn,均可进行有限次的初等行
12、变换把它化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵.由行最简形矩阵B5 即可写出方程组(1)的解(6);反之,由方程组(1)的解(6)也可写出行最简形矩阵B5.由此可以猜想到增广矩阵的行最简形矩阵是唯一确定的,在行阶梯形矩阵中,非零行 的 行 数 也 是 唯 一 确 定 的,从 而 零 行 的 行 数 也 是 唯 一 确 定 的(详 见 第 5章).事实上,任意非零矩阵都有这样的特征.2.1 线性方程组的消元法与矩阵的初等变换此时B 为行阶梯形矩阵,对B 继续实施初等行变换得:例1 利用初等变换将矩阵A 化为行阶梯形和行简化的阶梯形矩阵.2.1 线性方程组的消元法与矩阵的初等变换2.1 线性方程组的消元法
13、与矩阵的初等变换意:B,C,D,E 都是行阶梯形矩阵(行阶梯形矩阵不唯一),只有 E 是行简化的阶梯形矩阵(唯一确定),称E 为矩阵的标准形.任何一个矩阵经过若干次初等变换(行和列变换),都可以化为标准形.2.1 线性方程组的消元法与矩阵的初等变换解线性方程组例22.1 线性方程组的消元法与矩阵的初等变换解写出增广矩阵,并作初等行变换的化简:2.1 线性方程组的消元法与矩阵的初等变换此时,阶梯形矩阵对应的方程组为:不论x1,x2,x3,x4 取哪一组数,都不能使方程组(14)的第三个方程变成恒等式,因此方程组(14)无解,从而原方程无解.我们把像0=5这样的方程称作矛盾方程,如果一个方程组在消
14、元或者初等变换过程中出现矛盾方程,那必然是无解的.2.1 线性方程组的消元法与矩阵的初等变换A 组答案1.分别用消元法和增广矩阵的初等行变换法解下列方程组.(1)x1=1,x2=2,x3=1;(2)2.1 线性方程组的消元法与矩阵的初等变换A 组2.将下列矩阵化为行最简形矩阵.答案2.1 线性方程组的消元法与矩阵的初等变换B 组1.解方程组答案2.1 线性方程组的消元法与矩阵的初等变换B 组2.将下面矩阵化为行简化的阶梯形矩阵答案2.1 线性方程组的消元法与矩阵的初等变换含有n 个未知数x1,x2,xn 和m 个方程的齐次线性方程组的一般形式为容易看出,齐次线性方程组均有零解.更多的情况下,我
15、们关注的是它是否有其他形式的解,即是否有非零解.我们分 m=n 和mn 两种情况来讨论.当 m=n 时,由第1章1.1节克拉默法则的相关知识可得如下定理:定理1当 m=n 时,若齐次线性方程组(1)的系数行列式 D0,则它只有零解(没有非零解).反之,若齐次线性方程组(1)有非零解,则它的系数行列式 D=0.2.1 线性方程组的消元法与矩阵的初等变换在系数行列式 D=0以及 mn 的情况下,常用矩阵的初等行变换求解线性方程组,下面通过例子来说明 解齐次线性方程组解 对方程组的系数矩阵A 进行初等行变换得例2.1 线性方程组的消元法与矩阵的初等变换B1 对应的线性方程组为注意:若一个矩阵的行数等
16、于列数,称之为方阵,常用|A|表示A 的行列式.容易验证方程组(2)的系数行列式|A|是不等于零的,此题亦可用克拉默法则求解.2.1 线性方程组的消元法与矩阵的初等变换解齐次线性方程组解由于齐次线性方程组常数项为0,故初等行变换对其没有影响,因此下面我们只要对系数矩阵A 进行初等行变换即可.例2.1 线性方程组的消元法与矩阵的初等变换2.1 线性方程组的消元法与矩阵的初等变换B2 对应的线性方程组为即原方程组的一般解为其中x3,x4 为自由未知量.若取x3=c1,x4=c2,则原方程组的通解为(其中c1,c2 为任意常数)容易验证方程组(3)的系数行列式|A|是等于零的,此题不能用克拉默法则求
17、解.2.1 线性方程组的消元法与矩阵的初等变换解此方程组方程的个数不等于未知量的个数,只能用矩阵的初等行变换求解.对方程组的系数矩阵A 进行初等行变换得:B3 对应的线性方程组为其 中x2,x4 为 自 由 未知量.2.1 线性方程组的消元法与矩阵的初等变换若取x2=c1,x4=c2,则原方程组的通解为观察B1,B2,B3 以及方程组(2)(3)(4)解的情况,我们可以发现齐次线性方程组解的规律:(1)若系数矩阵的行阶梯形矩阵中非零行的行数r等于未知量的个数n,则方程组有唯一的零解;(2)若系数矩阵的行阶梯形矩阵中非零行的行数r小于未知量的个数n,则方程组有非零解,且非零解中所含自由未知量的个
18、数为n-r.2.1 线性方程组的消元法与矩阵的初等变换A 组答案1.求下列齐次线性方程组的一般解.(1)(只有零解);(2)2.1 线性方程组的消元法与矩阵的初等变换A 组答案2.求下列齐次线性方程组的通解.答案(2)系数矩阵为的齐次线性方程组.2.1 线性方程组的消元法与矩阵的初等变换B 组答案1.求解齐次线性方程组2.1 线性方程组的消元法与矩阵的初等变换B 组2.求解齐次线性方程组答案一般解为2.1 线性方程组的消元法与矩阵的初等变换B 组答案3.当取何值时,齐次线性方程组=5,=2或=8.2.1 线性方程组的消元法与矩阵的初等变换含有n 个未知数x1,x2,xn 和m 个方程的非齐次线
19、性方程组的一般形式为容易看出,当 m=n 时,由第1章1.5节克拉默法则定理的推论,方程组(1)有唯一解的充要条件是其系数行列式不等于零.当 mn 时,方程组(1)解的情况又如何呢?下面通过矩阵的初等行变换来分析.2.1 线性方程组的消元法与矩阵的初等变换解非齐次线性方程组解对方程组(2)的增广矩阵B 进行初等行变换,化为行最简形例2.1 线性方程组的消元法与矩阵的初等变换行最简形矩阵B1 对应的线性方程组为注意:方程组(2)的系数矩阵为方阵,且易验证方程组(2)的系数行列式|A|是不等于零的,故此题亦可用克拉默法则求解.2.1 线性方程组的消元法与矩阵的初等变换求非齐次线性方程组的通解.解对
20、方程组(3)的增广矩阵B 进行初等行变换,化为行最简形例2.1 线性方程组的消元法与矩阵的初等变换行最简形矩阵B2 对应的线性方程组为从而原方程的一般解为2.1 线性方程组的消元法与矩阵的初等变换即其中x2,x3 为自由未知量.取x2=c1,x3=c2,则原方程组的通解为2.1 线性方程组的消元法与矩阵的初等变换注意解的特点,事实上 为方程组(3)的一个特解,而c1 为方程组(3)所对应的齐次方程组的通解.即一个非齐次线性方程组的通解可以写成它对应的齐次方程组的通解加上它本身的一个特解.2.1 线性方程组的消元法与矩阵的初等变换求非齐次线性方程组的通解.解对方程组(4)的增广矩阵B 进行初等行
21、变换,化为行最简形:例观察矩阵B1 的最后一行,发现0=-4为矛盾方程,故原方程组无解.2.1 线性方程组的消元法与矩阵的初等变换由本节例1、例2、例3我们亦可发现非齐次线性方程组解的规律:设方程组中未知量的个数为n,系数矩阵的行阶梯形矩阵中非零行的行数为r1,增广矩阵的行阶梯形矩阵中非零行的行数为r2,则:(1)当r1=r2=n 时,非齐次线性方程组有唯一解;(2)当r1=r2n 时,非齐次线性方程组有无穷多解,且每个解中所含自由未知量的个数为n-r.(3)当r1r2 时,非齐次线性方程组没有解.2.1 线性方程组的消元法与矩阵的初等变换A 组答案无解答案2.1 线性方程组的消元法与矩阵的初等变换B 组(1)唯一解;(2)无解;(3)无穷多个解?答案 (1)0且-3;(2)=0;(2)=0;(3)=-3.2.1 线性方程组的消元法与矩阵的初等变换答案2.1 线性方程组的消元法与矩阵的初等变换答案当0且1时有唯一解;当=1时有无穷多解;当=0时,无解.
