1、第三章第三章 线性空间线性空间3.1 线性空间的定义线性空间的定义 3.2 线性空间基与维数线性空间基与维数 3.3 线性映射与线性变换线性映射与线性变换 3.4 特征向量与矩阵的对角化特征向量与矩阵的对角化3.1 线性空间的定义线性空间的定义一一 线性空间定义线性空间定义二二 线性空间例子线性空间例子三三 线性空间的子空间线性空间的子空间设V是一个非空集合，在V上任意两元素元运算+满足如下性质：交换律交换律,V 有结合律结合律,V ()()有OV使得对任意,V对任意存在V使得O1）2）3）存在4）一一 线性空间定义线性空间定义定义定义1对任意的对任意的O有,V,定义运算并记为,且,V设R为实
2、数域，对V中的任意元素及R中的任意元素k定义运算并记为,k且,kV运算 满足如下性质：k”“1律律”15）结合律结合律6）,k lRV()()()klk ll k都有7）分配律分配律,k lRV都有()k lkl8）分配律分配律,kRV 都有()kkk则称V为R上的一个线性空间上的一个线性空间，简称为实线性空间实线性空间，线性空间中的元素称为向量向量。对任意的对任意的对任意的运算+称为加法加法运算，称为数乘数乘运算，它们统称为k线性运算线性运算。O O称为零向量零向量，,O若则称为的负向量向量，并把的负向量记为。注注（1）零向量 是唯一；设OO也是零向量，则OOO由零向量 可得OOOO设12,
3、都是 的负向量，则11O12122O2（3）由负向量我们可以定义向量间的减法“-”：OO（2）负向量是唯一的；0;O（4）对数零0及任意向量有0;O00000（5）V若数0,k 对有,kO则必有OkO11kOkk1kOkO（6）思考是否存在只有一个向量的线性空间？若存在只有一个向量的线性空间-这唯一的会是谁？称这样的空间为零空间零空间。存在-这唯一的向量不是别的只能是零向量零向量，0;O（4）对数零0及任意向量有0;O00000（5）1;（6）0O1(1)(1)1;称这样的空间为零空间零空间。进一步思考实向量空间的向量个数。思考是否存在一个向量的实线性空间？存在-这唯一的向量不是别的只能是零向
4、量零向量，要么一个（零空间），要么无数个（非零空间）。（7）若实线性空间不是零空间，（零空间），则实线性空间必要无数个向量。设实线性空间V不是零空间，则存在非零向量,V对不同实数12,k k必有12,kk（若12,kk这意味着12,kkO导致,O矛盾）。对实数k,kV当实数k遍历所有实数时k在V中产生无数个向量。综上所述对于实线性空间-要么只有一个向量要么无数个向量（非零空间）。（8）定义中的实数域可以是其它域如复数域、有限域,相应地称V为复数域、有限域上的线性空间。本书不作声明，都是指实数域上线性空间。简称线性空间。不过本书关于实数域上线性空间大部分理论对于一般域上线性空间也成立！二二 线性
5、空间例子线性空间例子nR例例1表示全体n维实向量形成的集合，即12,1ninaaRaRinanR关于关于n维实向量加法和数乘是线性空间。维实向量加法和数乘是线性空间。12,naaa即对12nbbb:kR1122,nnababab12,nkakakkanR显然在 零向量00,0O 12naaa向量的负向量12naaa注注nR是最重要的实线性空间。类似有复线性空间nC例例2设C是复数集，则复数集C关于复数的加法和实数乘复数为一个实线性空间。12,aa iC12,bb iCkR其中1212,a a b bR21.i 则 1122ababi12kkaka i在实线性空间C中零向量为数字0；12aa i
6、的负向量12aai 例例3m n阶实矩阵全体m nM关于矩阵线性运算是一个线性空间(实矩阵空间实矩阵空间）。特别的n阶实方阵全体nM关于矩阵线性运算是一个线性空间。111212122212,nnmmmnaaaaaaAaaa 111212122212nnmmmnbbbbbbBbbb ,m nMkR111112121121212222221122nnnnmmmmmnmnababababababA Bababab 111212122212,nnmmmnkakakakakakakAkakaka 111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa m nM中的零向量为m n零矩阵。向量的负向量11
7、1212122212nnmmmnaaaaaaAaaa 注注nR是实矩阵空间1 nM例例4定义在集合D实值函数全体记为.F对,f gF定义 fgxf xg xkR kfxkf xxD则F关于“+”与kf成为一个线性空间(函数空间函数空间）。在函数空间F零向量为常值函数0，即xD对任意 0O x 有f向量的负向量是f例例5 实系数多项式全体记为,R x则 R x关于多项式的加法于数乘多项式成为一个线性空间.2012,mmaa xa xa xR x 2012,nnbb xb xb xR xkR 100111mmnmmmnabab xabxbxb x不妨假设mn2012mmkkaka xka xka
8、x R x中零向量为零多项式零多项式向量的负向量2012mmaa xa xa x 例例6 设为V为空间里有向线段全体形成的集合有向线段定义+：定义数乘:k长度是长度的k倍。方向是当0k 时与相同;当时与相反。kk0k 空间的有向线段集空间的有向线段集V关于加法数乘是一个线性空间关于加法数乘是一个线性空间V中的零向量为零线段（长对为零的线段）的负向量设V是一个线性空间，V 的非空子集W关于V的三三 线性空间的子空间线性空间的子空间定义定义2加法与数乘成为一个线性空间，则称W是线性空间线性空间V的一个的一个线性子空间线性子空间，（简称子空间）。注注（1）子空间本身就是一个线性空间。为子空间是它在一
9、个更大的线性空间里，之所以称其而且两者线性运算一样。（2）任何线性空间V都有子空间V和 O（零子空间零子空间），它两成为V的平凡子空间平凡子空间。三三 线性空间的子空间线性空间的子空间线性空间V 任意子集W未必是V的子空间。nR例线性空间的子集12100010,001nWeee 不是nR的子空间。（为什么？）思考思考线性空间的一个子集不含零向量零向量，这个子集是否有可能成为子空间。定理定理1线性空间V 的非空子集W是V的子空间当且仅当,W 1）对任意的有W2）对任意的,kRW有kW注注（1）线性空间V 的非空子集W是V的子空间当且仅当对加法与数乘封闭。（2）若,OW则W一定不是V的子空间（为什
10、么？）。推论推论1 线性空间V 的非空子集W是V的子空间当且仅当对任意的,k lRW 有.klW推论推论1*线性空间V 的非空子集W是V的子空间当且仅当对任意的11,mmkkRW有2m 11mmkkW例例7设S是n元齐次线性方程组解向量集，11 1122121 122221 12200 0nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xa xaxax即A其中nSRAO为方程组的系数矩阵。显然S是nR的非空子集，且,S 有A对任意即S对任意,kRS有A kk AkOO即kS定理定理 2 n元齐次线性方程组解向量集S是nR的子空间。OOOAA思考思考 n元非齐次线性方程组解向量集是否是nR的
11、子空间。例例9n阶上（下）三角方阵全体是nM思考思考的一个非平凡线性子空间。记该子空间为nTM（1）请举出nTM一的个非平凡线性子空间，这样的子空间是 的一个非平凡线性子空间吗？nM（2）一般地，若0V是 的一个（非平凡）子空间，1V1V是 的一个（非平凡）子空间,2V那么0V是否是 的一个（非平凡）子空间？2V例例8复数集C关于复数的加法与实数乘复数成实线性空间，C的真子集实数集R是C的一个非平凡线性子空间。例例10定义在区间若F,a b实值函数全体，我们前面知道它关于函数的加法与常数乘函数形成线性空间。用,a bC表示定义在区间,a b连续实值函数全体；,a bD表示定义在区间,a b可导
12、实值函数全体。则,a bC是F的一个非平凡线性子空间；,a bD是,a bC的一个非平凡线性子空间；是F的一个非平凡线性子空间。,a bD例例11例例12有向线段全体是V的一个非平凡子空间。nP表示次数小于n的实系数多项式全体，则nP是 R x的一个非平凡线性子空间。V为是空间有向线段全体关于有向线段的加法与数乘形成的线性空间。则在一个平面里的人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。
