1、常用逻辑用语常用逻辑用语 第一章第一章 “数学是思维的科学” 逻辑是研究思维形式和规律的科学 逻辑用语是我们必不可少的工具 通过学习和使用常用逻辑用语，掌握正确常用逻辑用语的 用法，纠正出现的逻辑错误，体会运用常用逻辑用语表达数学 的准确性、简捷性 1.1 命题命题与量词与量词 第第1课时课时 命题命题 第一章第一章 课堂典例探究课堂典例探究 2 课课 时时 作作 业业 3 课前自主预习课前自主预习 1 课前自主预习课前自主预习 中国古代伟大的逻辑学家公孙龙提出过 一个命题： 白马非马 对于一般人来说， “白 马是马”就如同说“苹果是
2、水果”一样清楚 明白，怎么可能“白马非马”呢？孔子的六 世孙孔穿，为了驳倒公孙龙的主张，找上门去辩论，结果公孙 龙说：“如果白马是马，那么黑马也是马，因此就有白马是黑 马，也就是说白等于黑像你这样黑白不分，我不值得和你辩 论”孔穿几句话就败下阵来公孙龙在这里正是运用了逻辑 推理才将这个错误的命题“证明”了，它的破绽在哪里呢？ 下面的语句是命题吗？ (1)火星存在生命； (2)人类在100年后将定居火星； (3)啊，火星好荒凉！ 答案：(1)(2)是命题(3)不是命题. 一 命题 1命题的定义 能判断真假的语句叫命题一般用一个小写 英文字母表示命题，如p、q、r等 由定义可以看出并不是所有语句都
3、是命题， 只有那些能判断真假的语句才是命题 注意：(1)一般地，疑问句、祈使句、感叹句 都不能判断真假，故都不是命题反诘疑问 句是命题，例如“通道这么说不对吗？” (2)一些表述事实和现象或规律的陈述句，如 “人类在100年后将定居火星”等尽管目 前还不能确定其真假，但是随着科学技术的 进步和时间的推移，总能确定它们的真 假这一类猜想仍算为命题 下列语句中，不能成为命题的是( ) A512 Bx0 C若ab，则ab0 D三角形的三条中线交于一点 答案 B 解析 对于x0，不能判断其真假，故不是 命题， 选B. 2命题真假的判断 判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命 题叫做假命题 注意：判断一
4、个命题真假的方法：数学中判 定一个命题是真命题，要经过证明；但要判 定一个命题是假命题，只需举一个反例即 可 已知下列三个命题： 若一个球的半径缩小到原来的1 2， 则 其体积缩小到原来的1 8； 若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； 直线 xy10 与圆 x2y21 2相切 其中真命题的序号是( ) A B C D 答案 C 解析 若两组数据的平均数相等，但它们的 标准差不一定相等，错误；正确 课堂典例探究课堂典例探究 下列语句中命题的个数为( ) 空集是任何集合的真子集； x23x40； 3x20； 把门关上！ 垂直于同一条直线的两直线必平行吗？ A1个
5、 B2个 C3个 D4个 命题的概念 解题提示 本题主要考查命题的定义，解题 的关键是看语句是否可以判断真假 解析 假命题因为空集是空集的子集而 不是真子集 是开语句，不是命题 是祈使句，不是命题 是疑问句，不是命题 故只有是命题，应选A. 答案 A 方法总结 首先是从句型上排除，然后再看 语句能否判断真假 判断下列语句是否是命题，并说明理由 (1)一条直线l，不是与平面平行就是相交； (2)作ABCABC； (3)这是一棵大树； (4)等边三角形难道不是等腰三角形吗？ 解析 (1)直线l与平面有相交、平行和在平 面内三种位置关系，是命题 (2)为祈使句，
6、不是命题 (3)“大树”不能界定，故不能判断其真假， 不是命题 (4)用反问句对等边三角形是不是等腰三角形 作出判断，是命题. 命题真假的判断 下列语句中，真命题有 _(填序号) 正弦函数是周期函数吗？ 在ABC中，若AB，则sinAsinB； 若logab0，则a、b都大于1； 若数列an的前n项和Sn3n1，则an 23n1； 集合A是集合AB的子集 解题提示 经过推理论证成立的为真命题， 只能举出一个反例的就是假命题 解析 是疑问句，不能判断真假，故不是命题；在 ABC 中，ABab，则 2RsinA2RsinB(2R 为ABC 外接圆 的直径)，sinAsinB，故是真命
7、题；logab0a1 且 b1 或 0 1 b， 故命题“如果 ab，那么1 ax； 不存在实数x，使x22x30 知，xR，x 22x 成立；xR，x2 2x3(x1)220；故正确 二、存在量词与存在性命题 概念：短语“有一个”、“有些”、“至少 有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部 分，在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号 “”表示，含有存在量词的命题叫做存在性 命题 注意：(1)存在性命题就是陈述某集合中有(存 在)一些元素具有某种性质的命题 (2)存在性命题一般含有“有一个”或“某一 个”或“有些”或“至少有一个”等量词 (3)一个存在性命题可以包含多个变量，如， R，使sin()s
8、insin. (4)要判断一个存在性命题是真命题，只要在 限定的集合M中能找到一个x0，使p(x0)成立 即可；否则，这一存在性命题就是假命题 用符号“”与“”表示下列命题，并判断 真假 (1)不论m取什么实数，方程x2xm0必 有实根； (2)存在一个实数x，使x2x40. 解析 (1)mR，方程 x2xm0 必有实根 当 m1 时，方程无实根，是假命题 (2)xR，使 x2x40， x2x4 x1 2 215 4 0， 不存在 xR，使 x2x40，是假命题 课堂典例探究课堂典例探究 用全称量词把下列语句写成全称命 题，并判断真假： (1)x22x32； (2)终边相同的角的正弦值相等 全
9、称命题的构成及真假判断 解题探究 (1)全称命题的统一形式为 “xM，p(x)” (2)判断全称命题的真假，可以先找反例，若 找到一个反例，说明全称命题是假命题，若 找不到反例，就可以尝试证明命题是真命 题 解析 (1)xR，x22x32. x22x3(x1)222.真命题 (2)所有终边相同的角的正弦值相等真命 题 方法总法 要认真阅读题意，根据命题所涉 及的意义去判断，只要挖掘出“所有”或 “任意”的含义，则为全称命题 (2)要判定一个全称命题是真命题，必须对限 定集合中的所有元素x，验证p(x)都成立；但 要判定全称命题是假命题，只要能举出限定 集合中的一个x0，使p(x0
10、)不成立即可(这就是 通常所说的“举一个反例”) 用全称量词把下列语句写成全称命题，并判 断真假： (1)sin2x2sinxcosx； (2)三角形有外接圆； (3)非负实数有两个偶次方根 解析 (1)xR，sin2x2sinxcosx.真命 题 (2)任意三角形都有外接圆真命题 (3)所有的非负实数都有两个偶次方根假命 题. 存在性命题的构成及真假判断 用存在量词将下列语句写成存在性 命题，并判断真假： (1)2sinx3能成立； (2)素数也可以是偶数 解题提示 存在性命题的统一形式为 “xM，p(x)” 解析 (1)xR,2sinx3.假命题 (2)有的素数是偶数真命题
11、方法总结 1.判断一个语句是全称命题还是 存在性命题时要注意以下两点： (1)首先判断该语句是不是命题 (2)对命题属性进行判定时，关键是看命题中 含有的量词是全称量词还是存在量词当语 句中没有明显的量词出现时，要看语句的隐 含意思 2要判定一个存在性命题是真命题，只要在 限定集合中找到一个x0，使p(x0)成立即可； 否则，这一存在性命题就是假命题 用存在量词将下列语句写成存在性命题，并 判断真假； (1)奇函数也可以是偶函数； (2)不是每一个四边形都有外接圆 解析 (1)存在函数既是奇函数又是偶函数， 如f(x)0，xR，真命题 (2)有的四边形没有外接圆真命题. 利用全称命题与存在性命
12、题求参数 的取值范围 若关于x的不等式ax2ax10对 任意实数x都成立，求a的取值范围 解题提示 这是一个全称命题且为真命题， 意味着每一个x都要满足ax2ax10.特别要 注意当a0时的判断，解题时容易漏掉 解析 当 a0 时，10，显然成立 当 a0 时，要使 ax2ax10 恒成立， 需 a0， 0，设 p：函数 ycx在 R 上递减；q：不 等式 x|x2c|1 的解集为 R， 如果“pq”为真， 且“pq” 为假，求 c 的取值范围 误解 函数 ycx在 R 上为减函数，01，c1 2. 又“pq”为真，“pq”为假， p 真 q 假或 p 假 q 真 p 真：01
13、2. “pq”为真，且“pq”为假， p 真 q 假或 p 假 q 真 p 真：00，求 p 和 q 对 应的 x 值的集合 误解 由 p:|3x4|2 得 p:|3x4|2， 所以23x42，所以2 3x2，即 p:x| 2 3x2 由 q: 1 x2x20 得 q: 1 x2x20， 所以12 得 p:x2 或 x0，得 q:x2 或 x0，则x22x3m0有实 数根”的逆否命题的真假 解析 m0，12m0，12m40， x22x3m0的根的判别式12m 40， 方程x22x3m0有实数根 原命题为真，原命题的逆否命题也为 真 课堂典例探究课堂典例探究 将下列命题写成“若p，则q”的形 式
14、，并指出它们的逆命题，否命题和逆否命 题 (1)两条平行直线不相交； (2)全等三角形相似； (3)菱形的对角线互相垂直平分 解题提示 先找出原命题的条件p和结论q， 再将原命题改写成“若p，则q”的形式，然后根 据命题的四种形式的定义表达其他形式的命 题 四种命题的关系 解析 (1)原命题：若l1与l2是平行直线，则l1 与l2不相交； 逆命题：若直线l1与l2不相交，则l1与l2平行； 否命题：若直线l1与l2不平行，则l1与l2相交； 逆否命题：若直线l1与l2相交，则l1与l2不平 行 (2)原命题：若两个三角形全等，则这两个三 角形相似； 逆命题：若两个三角形相似，则这
15、两个三角 形全等； 否命题：若两个三角形不全等，则这两个三 角形不相似； 逆否命题：若两个三角形不相似，则这两个 三角形不全等 (3)原命题：若四边形ABCD是菱形，则对角 线AC、BD互相垂直平分； 逆命题：若四边形ABCD的对角线AC、BD互 相垂直平分，则四边形ABCD是菱形； 否命题：若四边形是ABCD不是菱形，则对 角线AC、BD不互相垂直平分； 逆否命题：若四边形ABCD的对角线AC、BD 不互相垂直平分，则四边形ABCD不是菱 形 方法总结 解此类题的难点在于有的命题是 由三部分组成的，既有前提、条件、结论， 正确地区分命题的前提、条件是解决问题的 关键 写出下列命题的逆命题、否
16、命题和逆否命题， 并判断其真假： (1)实数的平方是非负数； (2)若q1，则方程x22xq0有实根 解析 (1)逆命题：如果一个数的平方是非 负数，则这个数是实数真命题 否命题：如果一个数不是实数，则它的平方 不是非负数真命题 逆否命题：如果一个数的平方不是非负数，则这个数不是 实数真命题 (2)逆命题：若方程 x22xq0 有实根，则 q1，为真 命题 否命题：若 q1，则方程 x22xq0 无实根，真命题 逆否命题：若方程 x22xq0 无实根，则 q1，真命题. 否命题与命题否定形式的区别 写出下列命题的否命题及命题的否 定形式，并判断真假 (1)若m0，则关于x的方程x2xm0有 实
17、根； (2)若x、y都是奇数，则xy是奇数 解析 (1)否命题：若m0，则关于x的方 程x2xm0无实根(假命题) 命题的否定：若m0，则关于x的方程x2x m0无实根(假命题) (2)否命题：若x、y不都是奇数，则xy不是 奇数(假命题) 命题的否定：x、y满足x、y都是奇数，但x y不是奇数(真命题) 方法总结 命题的否定形式及否命题是两个 不同的概念，要注意区别，不能混淆从形 式上看，否命题既否定条件，又否定结论， 而命题的否定，条件不变，只否定结论 有下列四个命题： (1)“若xy0，则x、y互为相反数”的否命 题； (2)“若ab，则a2b2”的逆否命题； (3)“若x3，则x2x6
18、0”的否命题； (4)“对顶角相等”的逆命题 其中真命题的个数是( ) A0 B1 C2 D3 答案 B 解析 (1)“若xy0，则x、y不是相反数” 是真命题 (2)“若a2b2，则ab”，取a1，b0，因 为ab2，故是假命 题 (3)“若x3，则x2x60”，解不等式x2 x60可得2x3，而x43，不是不 等式的解，故是假命题 (4)“相等的角是对顶角”是假命题故选B. 四种命题关系的应用 判断命题“已知a、x为实数，若关 于x的不等式x2(2a1)xa220的解集非 空，则a1”的逆否命题的真假 解题提示 可以通过判断原命题的真假来 判断它的逆否命题的真假也可以借助集合
19、间 的包含关系，判断原命题的真假，进而判断它 的逆否命题的真假 解析 解法一：因为 a，x 为实数，关于 x 的不等式 x2 (2a1)xa220 的解集非空，所以 (2a1)24(a2 2)0，即 4a70.解得 a7 4. 因为 a7 41，所以原命题为真 又因为原命题与逆否命题等价，所以逆否命题为真 解法二：设 p：关于 x 的不等式 x2(2a1)xa220 有 非空解集，q：a1， 则 p：Aa|关于 x 的不等式 x2(2a1)xa220 有实 数解a|(2a1)24(a22)0a|a7 4， 命题 q：Ba|a1 因为 AB，所以“若 p，则 q”为真 所以“若 p，则 q”的逆
20、否命题“若 q，则 p”为真 即原命题的逆否命题为真 方法总结 逆否命题真假可以通过判断原命 题的真假得出，否命题的真假可以通过判断 逆命题的真假得出，因此，要判断四种命题 的真假，只需判断原命题和逆命题的真假即 可. 命题“若抛物线 yax2bxc 的开口向下，则 x|ax2bxcb. 答案：1.判断一个命题的真假，就是看由条 件能否得出其结论在判断命题时，首先要 理解命题的结论，然后联系其他有关知识来 判断 2若acbc，则ab.假命题. 一、充分条件、必要条件 当命题“如果p，则q”经过推理证明断定是真 命题时，我们就说由p成立可推出q成立，记 作pq，读作“p推出q” 一般地，已知命题
21、”若p，则q“为真，则记为 pq，这时我们就称p是q的充分条件，q是p 的必要条件 理解充分条件、必要条件的定义要注意以下 三点： (1)p是q的充分条件是指p成立就足够保证q成 立；q是p的必要条件是指q是p成立必不可少 的条件，q成立，p不一定成立，但q不成立， p一定不成立 (2)“若p则q”是真命题，pq，p是q的充分条 件，q是p的必要条件三种说法是等价的 (3)判定充分条件、必要条件只是对“p能推 出q”进行了单向探讨，至于“q能否推出p”这 需结合定义理解，判断“若q则p”的真假 “(2x1)x0”是“x0”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分
22、也不必要条 件 答案 B 解析 (2x1)x0 解得 x1 2或 x0，所以(2x1) x0 是 x0 的必要不充分条件 二 充要条件 1一般地，如果pq，且qp，则称p是q的 充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记 作pq. 理解充要条件要注意以下两点： (1)pq，那么p、q互为充要条件 (2)“p是q的充要条件”可以叙述为“q当且仅 当p”或“p与q等价” 2充要条件与集合间的关系： (1)若 AB，则 A 是 B 的充分条件，B 是 A 的必要条件； (2)若 AB，则 A 是 B 的充要条件； (3)若 A B 且 B A，则 A 既不是 B 的充分条件，也不是 B 的必要条件 对
23、上述关系可用 Venn 图表示，如图所示 A 是 B 的充分不必要条件，B 是 A 的必要不充分条件 设Ax|xp，Bx|xq，即x具有性质p， 则xA，若x具有性质q，则xB.如果AB， 就是说若xA，则x必具有性质p，则pq； 类似地AB与pq等价例如，A中学 生，B学生，AB，即某人是中学生， 必是学生，若是学生，但不一定是中学生， 所以“某人是中学生”是“某人是学生”的 充分不必要条件从集合的角度分析可以加 深我们对充要条件的直观性的理解，如上述 问题也可以用Venn图(如图右图)表示 “a0”是“函数f(x)|(ax1)x|在区间(0， )内单调递增”的( ) A充分不必要条件 B必
24、要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案 C 解析 本题利用函数的图象确定字母的取值 范围，再利用充要条件的定义进行判断 当a0时，f(x)|(ax1)x|x|在区间(0， )上单调递增； 当a0时，结合函数f(x)|(ax1)x|ax2 x|的图象知函数在(0，)上先增后减再增， 不符合条件，如图(2)所示 所以，要使函数f(x)|(ax1)x|在(0，) 上单调递增只需a0. 即“a0”是“函数f(x)|(ax1)x|在(0，) 上单调递增”的充要条件 三 充要条件的证明 (1)有关充要条件的证明问题，要分清哪个是 条件，哪个是结论，由“条件”“结论” 是证命题的充分性，
25、由“结论”“条件” 是证命题的必要性证明分为两个环节：一 是充分性；二是必要性证明时，不要认为 它是推理过程的“双向书写”，而应该进行 由条件到结论，由结论到条件的两次证明 (2)等价法：就是从条件(或结论)开始，逐步 推出结论(或条件)，但要注意每步都是可逆 的，即反过来也能推出 求证：关于x的方程ax2bxc0有一个根 为1的充要条件是abc0. 证明 必要性：方程ax2bxc0有一 个根为1，x1满足方程ax2bxc0， a12b1c0，即abc0. 充分性：abc0，cab，代 入方程ax2bxc0中可得ax2bxab 0，即(x1)(axab)0.故方程ax2bx c0有一个根为1.
26、 综上所述：原命题成立 课堂典例探究课堂典例探究 给出下列四组命题： (1)p：x20；q：(x2)(x3)0； (2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全 等； (3)p：mb2”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案 D 解析 设a1，b2，则有ab，但 a2ba2b2；设a2，b1，则 有a2b2，但ab2ab，故选D. 用集合判断充要条件 设命题甲为：00.若p是q的充分不必要条件，求正实数 a的取值范围 解题提示 p 是 q 的充分不必要条件， 从集合的观点看就 是 A B. 解析 解不等式 x28x200， 得
27、p:Ax|x10 或 x0，得 q:Bx|x1a 或 x0 依题意：pq，但是 q 不能推出 p，说明 A B. 于是有 a0 1a10 1a2 ， (说明：“1a10”与“1a2”中等号不能同时取 到) 解得 00 ，(说明：“1a2”与“1 a10”中的等号不能同时取到) 0b0) y2 a2 x2 b21(ab0) 图形 焦点坐标 F1(c,0)，F2(c,0) F1(0，c)，F2(0，c) 注意：(1)所谓标准方程，是因为它的形式最简单，当且仅 当椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上(2)这两种椭圆的相同点 是：它们的形状、大小都相同，都有 ab0，a2c2b2；不同 点是：位置不同，焦点
28、坐标也不同(3)判断焦点在哪个轴上只 要看分母的大小，如图 x2项的分母大于 y2项的分母，则椭圆的 焦点在 x 轴上，反之，焦点在 y 轴(4)在求椭圆方程的时候一 定要考虑焦点在哪个坐标轴上，如果题目中对焦点在哪下坐标 轴上不明确，则应该考虑焦点在 x 轴上或焦点在 y 轴上两种情 况 求与椭圆 x2 16 y2 111 有公共焦点， 并且经过点 P(3,2)的椭 圆的标准方程 解析 椭圆 x2 16 y2 111 的焦点坐标为( 5，0)、( 5，0)， 故可设所求椭圆方程为x 2 a2 y2 b21(ab0) 因为此椭圆经过点 P(3,2)， 所以 32 a2 2 2 b21 a2b2
29、5 ，解得 a215 b210 . 所以所求椭圆标准方程为 x2 15 y2 101. 二、椭圆定义的应用技巧 1椭圆定义式：|PF1|PF2| 2a(2a|F1F2|)若动点P满足上式，则P点轨 迹是以F1、F2为焦点的椭圆，据此可用定义 法求得P点的轨迹方程 2涉及椭圆上的点与焦点连线的长度以及过 焦点的三角形的周长与面积等问题，常应用 椭圆的定义求解 设F1、F2为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点， 当P、F1、F2三点不在同一直线上时，P、F1、 F2构成一个三角形焦点三角形(如图) 由椭圆定义可知： |PF1|PF2|2a，|F1F2|2c. 由三角形的边角关系(正弦定理、余弦定理)
30、和椭圆的定义等来解决焦点三角形等有关问 题，如PF1F2的面积问题、|PF1|PF2|的最 值问题等 椭圆的两个焦点坐标分别为 F1(8,0)、F2(8,0)，且椭圆上 一点到两个焦点的距离之和为 20，则此椭圆的标准方程为 ( ) A. x2 36 y2 1001 B. x2 400 y2 2261 C. x2 100 y2 361 D. x2 20 y2 121 答案 C 解析 由题意可知， 所求椭圆的标准方程可设为x 2 a2 y2 b2 1(ab0)根据题意得 2a20，a10.又 c8，b2a2 c21006436. 课堂典例探究课堂典例探究 椭圆的标准方程 求适合下列条
31、件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标为(1,0)和(1,0)，且经过点(2,0)； (2)焦点在坐标轴上，且经过点 A( 3，2)和点 B(2 3， 1) 解题提示 (1)根据焦点的位置设出椭圆的 标准方程，然后用待定系数法求解也可以 根据题意直接求出a，b，c，再写出椭圆的标 准方程(2)设出椭圆方程的一般式，用待定 系数法求解 解析 (1)由已知条件知椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它 的标准方程为x 2 a2 y2 b21(ab0) 因为 2a 2120 21204,2c2， 所以 a2，c1，所以 b2a2c22213， 所以所求的椭圆的标准方程是x 2 4 y 2 3 1. (2)设所
32、求椭圆的方程为 mx2ny21(m0，n0 且 mn) 由 A( 3，2)和 B(2 3，1)两点在椭圆上可得 m 32n221， m2 32n121， 即 3m4n1， 12mn1， 解得 m 1 15， n1 5， 故所求椭圆的标准方程为 x2 15 y2 5 1. 方法总结 不明确焦点在哪一个坐标轴上时， 通常应进行分类讨论但分类讨论计算较繁 琐，故一般可设所求椭圆的方程为mx2ny2 1(m0，n0且mn)，这样不必考虑焦点 位置，用待定系数法求出m、n的值即可 (1)如果方程 x2ky22 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 k 的 取值范围是_； (2)方程 x2 2m y
33、2 m11 表示焦点在 x 轴上的椭圆， 则 m 的取 值范围是_ 答案 (1)00 2m1m ，解得1 30，a9 a2 a 9 a6， 当且仅当 a9 a，即 a3 时，等号成立 当 a3 时，|PF1|PF2|6，P 点轨迹是线段 F1F2. 当 a3 时，a9 a6， 此时 P 点轨迹是以 F1，F2为焦点的椭圆 直线 AB 过椭圆x 2 9 y 2 4 1 的左焦点 F1，交椭圆 A、B 两点， 则 ABF2的周长是_ 解析 如图所示， ABF2的周长等于|AB| |AF2|BF2|AF1| |BF1|AF2|BF2|4a 12. 答案 12 有关焦点三角形问题 已知椭圆
34、x 2 a2 y2 b21 上一点 P，F1、F2 为椭圆的 焦点，若F1PF2，求F1PF2的面积 解题提示 求面积时，可先用余弦定理求出 |PF1|PF2|的值再整体代入 解析 由椭圆的定义，有 |PF1|PF2|2a，而在F1PF2中，由余弦定理有|PF1|2 |PF2|22|PF1| |PF2| cos|F1F2|24c2， (|PF1|PF2|)22|PF1| |PF2|2|PF1| |PF2|cos4c2， 即 4a24c22|PF1| |PF2|(1cos) SPF1F21 2|PF1| |PF2|sinb 2 sin 1cosb 2tan 2. 方法总结 椭圆上一点P与两焦点F
35、1、F2构 成的三角形PF1F2我们通常称其为焦点三角形， 在这个三角形中，既可运用到椭圆定义，又 能用到正、余弦定理 上述解答过程中还运用了整体思想直接求出 |PF1|PF2|，没有单独求|PF1|、|PF2|，以减 少运算量 如图所示，已知点 P 是椭圆y 2 5 x 2 4 1 上的 点， F1和 F2是焦点， 且F1PF230 ， 求F1PF2 的面积 解析 在椭圆y 2 5 x 2 4 1 中， a 5，b2，c a2b21， 又点 P 在椭圆上，|PF1|PF2|2a2 5 由余弦定理知|PF1|2|PF2|22|PF1| |PF2| cos30 |F1F2|2 (2c)24 式两
36、边平方得|PF1|2|PF2|22|PF1| |PF2|20 得(2 3)|PF1| |PF2|16， |PF1| |PF2|16(2 3)， SPF1F21 2|PF1| |PF2| sin30 84 3. 利用椭圆定义求动点轨迹问题 已知B、C是两个定点，|BC|6， 且ABC的周长等于16.求顶点A的轨迹方程 解题提示 建立适当的坐标系，利用定义 求解 解析 如图，建立坐标系， 使x轴经过点B、C，且原点 O为BC的中点，由已知|AB| |AC|BC|16， 由|BC|6，有|AB|AC|106， 即点 A 的轨迹是以 B、C 为焦点的椭圆，且 2c6,2a10. c3，a
37、5，b2523216. 由于点 A 在直线 BC 上时，即 y0 时，A、B、C 三点不能 构成三角形， 点 A 的轨迹方程是 x2 25 y2 161(y0) 方法总结 利用椭圆定义求动点轨迹问题的 方法 利用椭圆定义求动点轨迹方程的四个步骤： 第一步：结合平面图形中的条件转化为动点 到两定点的距离之和为定常数； 第二步：判断是否在标准位置，即焦点是否 在坐标轴上且关于原点对称； 第三步：由定义求出基本量a、b、c进而写出 标准方程； 第四步：检验所求方程是否满足题意 如图，在ABC中，角A、B、C所对的边分 别为a，b，c，且B(1,0)，C(1,0)，求满足 bac，且b，a，c成等差数
38、列时顶点A的轨 迹方程 解析 b，a，c 成等差数列，bc2a224. 即|AB|AC|4|BC|2. 由椭圆定义知，动点 A 的轨迹是以 B、C 为焦点，以 4 为 长轴长的椭圆椭圆方程为x 2 4 y 2 3 1. 又bc，即|AC|AB|， 点 A 的轨迹是椭圆x 2 4 y 2 3 1 的左半部分，且除去点(0， 3)，(0， 3)，(2,0) 故所求轨迹方程为x 2 4 y 2 3 1(x0 k30 ，得 30 的条 件当 ab 时，方程并不表示椭圆，而是圆 正解 由题意可知 5k0 k30 5kk3 ， 解得 30) x2 b2 y2 a21(ab0) 一 椭圆的几何性质 1椭圆的
39、范围 由椭圆的标准方程可知，椭圆上的点(x，y)都适合不等式x 2 a2 1， y2 b21，即 x 2a2，y2b2，|x|a，|y|b，即axa， byb，这说明椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)位于直线 x a 和 y b 所围成的矩形内确定了范围后，用描点法作图时，就可 以不取范围之外的点了 2椭圆的对称性 (1)椭圆关于 x 轴、y 轴对称，也关于原点对称 对于椭圆的标准方程x 2 a2 y2 b21，把 x 换成x 或把 y 换成 y，或把 x、y 同时换成x、y 方程都不变，所以椭圆关于 y 轴对称，关于 x 轴对称，也关于原点对称，这时坐标轴是椭 圆的对称轴，原点是椭圆的
40、对称中心，椭圆的对称中心也叫椭 圆的中心 (2)如果曲线具有关于 x 轴，关于 y 轴，关于原点对称，三 种对称中的任意两种成立，那么第三种对称也成立 (3)椭圆的中心是两焦点的中点，对称轴是焦点的连线及其 中垂线，这些性质与坐标系无关，是椭圆固有的性质 3椭圆的顶点 (1)椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)与坐标轴的交点 令 x0，得 y b；令 y0，得 x a.这说明 A1(a,0)、 A2(a,0)是椭圆与 x 轴的两个交点，B1(0，b)、B2(0，b)是椭圆与 y 轴的两个交点 因为x轴、y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆和 它的对称有四个交点，这四个点叫做椭圆的 顶点 (2)椭圆
41、的长轴、短轴 线段A1A2叫做椭圆的长轴，它的长为2a. 线段B1B2叫做椭圆的短轴，它的长为2b. 注意：要明确a，b，c三者的几何意义：a是 长半轴长，也是短轴端点与焦点所连线段的 长，b是短半轴长，c是半焦距由c2a2 b2，可得“已知椭圆的四个顶点，求焦点” 的几何作法：只要以短轴的端点B1(或B2)为 圆心，a为半径作弧交长轴于两点，这两点就 是焦点 椭圆的对称轴是坐标轴，长轴长为 6，焦距为 4，则椭圆的 方程为( ) A. x2 36 y2 201 B.x 2 9 y 2 5 1 C.x 2 9 y 2 5 1 或x 2 5 y 2 9 1 D. x2 20 y2 361 或 x
42、2 36 y2 201 答案 C 解析 长轴长为 6， 2a6， a3， 焦距 2c4， c2， b 5，又焦点可能在 x 轴上，也可能在 y 轴上，故选 C. 4椭圆的离心率 椭圆的半焦距与长半轴长的比，称作椭圆的离心率记作 ec a. ac0，00)的左焦点 F 到过顶点 A(a， 0)， B(0， b)的直线的距离等于 b 7，则椭圆的离心率为( ) A.1 2 B.4 5 C.7 7 6 D.7 7 6 答案 A 解析 由题意知直线 AB 的方程为 x a y b1，即 bxay ab0. 左焦点为 F(c,0)，则|cbab| a2b2 b 7. 7(ac) a2b2，
43、7(ac)2a2a2c22a2c2，即 5a214ac8c20， 8e214e50，解得 e1 2或 e 5 4. 又00)，焦点坐标为 F1(c,0)，F2(c,0) 依题意设 M 点坐标为(c，2 3b)， 在 RtMF1F2中，|F1F2|2|MF2|2|MF1|2， 即 4c24 9b 2|MF 1| 2， 所以|MF1|MF2|4c24 9b 22 3b2a，整理得 3c 23a2 2ab. 又 c2a2b2，所以 3b2a，b 2 a2 4 9， 所以 e2c 2 a2 a2b2 a2 1b 2 a2 5 9，所以 e 5 3 . 方法总结 求椭圆的离心率，即求c a，只需求 a、
44、c 的值 或将 a、c 用同一个量表示本题还可以将 M 点坐标代入椭圆 方程直接求解c a. 求椭圆 4x29y21 的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标 和离心率 解析 将椭圆方程变形为x 2 1 4 y 2 1 9 1. a1 2，b 1 3，c 1 4 1 9 5 6 . 椭圆的长轴长和焦距分别为 2a1,2c 5 3 ，离心率 ec a 5 3 ，焦点坐标为 F1( 5 6 ，0)、F2( 5 6 ，0)，顶点坐标为 A1( 1 2，0)、A2( 1 2，0)，B1(0， 1 3)、B2(0， 1 3). 直线与椭圆的位置关系 椭圆 ax2by21 与直线 xy1 相交于 A、B 两点，若|AB|2 2，且 AB 的中点 C 与椭圆中心连线
