1、北师大版 高中数学 必修四第一章第一章 三角函数三角函数4.34.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 授课教师：景德镇昌江一授课教师：景德镇昌江一中中1一个集合在内，可以构成终边相同的角，连同角一般地，所有与角Z360kkS，.整数倍的和与周角的表示成角终边相同的角，都可以即任何一个与角温故知新温故知新Z2kkS，1.1.终边相同的角终边相同的角22.2.任意角的正弦函数、余弦函数定义任意角的正弦函数、余弦函数定义 如图，设如图，设x是一个任意角，它的终边与单位圆交于点是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P P，温故知新温故知新P(cosx,sinx)3
2、xyOx 对于给定的角对于给定的角x，点，点 P P 的纵坐标的纵坐标 、横坐标都是、横坐标都是唯一确定的，而唯一确定的，而x可以为任意大小可以为任意大小 ，因此三角函数，因此三角函数y=sinx,y=cosx,都是以角（弧度制）为自变量，都是以角（弧度制）为自变量，以单位圆上的点的坐标为函数值以单位圆上的点的坐标为函数值(因变量）因变量）的函数的函数.温故知新温故知新4xyOP(cosx,sinx)x探究：正弦函数探究：正弦函数 y=sinx、余弦函数、余弦函数y=cos x的基本性质：的基本性质：正弦函数、余弦函数的定义域是正弦函数、余弦函数的定义域是R.（1 1）定义域）定义域1,0A新
3、知探究新知探究观察右图观察右图 ，设任意角，设任意角x的终边与的终边与单位圆交于点单位圆交于点P P(cos(cos x,sin,sin x)，5（2 2）值域、最大（小）值）值域、最大（小）值观察下图观察下图 ，设任意角，设任意角x的终边与单位圆交于点的终边与单位圆交于点P P(cos(cos x,sin,sin x)，当自变量当自变量x变化时，点变化时，点P P 的横坐标是的横坐标是coscos x，|cos|cos x|1|1，纵坐标是，纵坐标是sin sin x,|sin,|sin x|1.|1.正弦函数正弦函数 、余弦函数的值域为、余弦函数的值域为-1,1.-1,1.新知探究新知探究
4、62(Z)2sinyxxkk当时，正弦函数取得最小值-1；2(Z)cosxkkyx当时，余弦函数取得最大值1;2+1(Z)cosxkkyx当（）时，余弦函数取得最小值-1.（2 2）值域、最大（小）值）值域、最大（小）值新知探究新知探究2(Z)sin2xkkyx当时，正弦函数取得最大值1；观察右图观察右图 ，设任意角，设任意角x的终边与单位圆交于的终边与单位圆交于点点P P(cos(cos x,sin,sin x)，7（3 3）周期性）周期性新知探究新知探究2(Z,0),2.kkk正弦函数和余弦函数是周期函数，他们的周期都是最小正周期为sin(2)sin,cos(2)cos,()kxxkxx
5、kZ观察右图观察右图 ，设任意角，设任意角x的终边与单位圆交于的终边与单位圆交于点点P P(cos(cos x,sin,sin x)，8()()(2)(),(2)(,().yf xyg xfkxf x g kxg x)kZ若正弦函数用表示，余弦函数用表示，则 (4)(4)单调性单调性观察右图观察右图 ，在单位圆中，设任意角，在单位圆中，设任意角x的的终边与单位圆交于点终边与单位圆交于点P P(cos(cos x,sin,sin x)，新知探究新知探究 22sin 11xx当角 由增大到 时，的值是单调增加的,由-增加到；9 2 2 32 2因此，正弦函数在区间，上是增加的,在区间，上是减少的.
6、2-2 2232 2 Z22kkkkk由正弦函数的周期性可知，正弦函数在每一个区间，（kZ)上是增加的，在每一个区间，（)上是减少的.322sin11.xx当角 由增大到时，的值是单调减少的，由 减少到-10思考：在单位圆中余弦函数的单调性又是如何呢？思考：在单位圆中余弦函数的单调性又是如何呢？思考交流思考交流2-2 Z2 2 Zkkkkkk结论：余弦函数在每一个区间，（)上是增加的，在每一个区间，（)上是减少的.11归纳总结归纳总结.)Z(232,22)Z(22,22上是减少的在上是增加的，在kkkkkk.)Z(2,2)Z(2,2上是减少的在区间上是增加的，在区间kkkkkk122sin1y
7、x例1 求函数的定义域.2sin10,x 解 要使函数式有意义，需例题讲解例题讲解11sinsin1,22xx即，也就是15266y 如图作直线，显然它与单位圆交于和，15sin1,266xx在一个周期内，要使需sin5R+2 2,Z,66yxkxkk再根据正弦函数的周期性得，在整个实数集 内，5+,().66kkkZ该函数的定义域为2，213 32 2sin,64yx x 例求函数的值域.例题讲解例题讲解3-64解 如图，在单位圆上，做出角和的终边，364角的终边从经过逆时针旋转至的过程中，观察它与单位圆交点的纵坐标，1,12我们不难发现，纵坐标取值范围为，1sin,12x即取值范围为，2s
8、in1,2.yx的值域为，14536解 如图，在单位圆中作出角和的终边，5 sin36yx例3 求函数在区间，上的单调性和最值.例题讲解例题讲解32312x当角 的终边从转至的过程中，与单位圆交点的纵坐标从逐渐增大到，52612x当角的终边从 转至的过程中，与单位圆交点的纵坐标从1逐渐减小到，15 3 2 526该函数的单调区间是：在区间，单调递增，在区间，单调递减；1.2最大值为1，最小值为课堂练习课堂练习1.cos,0,2.yx x求函数的单调区间2.2sin,6yx xx 求函数,的最大值和最小值，并写出取得最大值和最小值时自变量的值.13.1 cosyx求函数的定义域.4.sin,3yx x 求函数,的值域.1.0,2在区间上单调递减，在区间，上单调递增.minmax2.1;2.62xyxy当时，当时，3.2,Z.x xkk34.1,.216定义域数学思想数形结合从特殊到一般12三角函数定义（单位圆）课堂小结课堂小结单调性周期性值域最值17191,2,3,4.P课 本页：练 习课后练习课后练习18
