1、IIR数字滤波器的设计LTI系统系统iiNijjMjzazbzH101)(10通带过渡带阻带)(WjeHpWsWsdpd1W)1(log20p10pdAs10slog20dAW Wp,W Wsw wp,w wsH(s)H(z)W Wp,W Wsw wp,w wsH(s)H(z)频率频率变换变换设计模拟设计模拟滤波器滤波器脉冲响应脉冲响应不变法不变法双线性双线性变换法变换法w wp,w wsH(s)频率频率变换变换设计原型设计原型低通滤波器低通滤波器sp,ww)(LsH复频率复频率变换变换pw w:通带截止频率通带截止频率w ws:阻带截止频率阻带截止频率d d p:通带波动通带波动d d s:
2、阻带波动阻带波动)1(log20p10pd d A通带衰减通带衰减(dB)(Passband Attenuation)s10slog20d d A阻带衰减阻带衰减(dB)(Stopband Attenuation)|H(jw w)|10通带通带过渡带过渡带阻带阻带pw wsw wsd dpd d 1w wG(w w)=20log10|H(jw w)|dB 滤波器的增益滤波器的增益(Gain)函数函数wc10N=1N=3N=50.707)(wjHNcH22)/(11)j(www(1)|H(j0)|1|1，|H(j)|=0 ，20log|H(jw wc)|3dB，故故称称。若若w wc=1，则为归
3、一化的，则为归一化的BWF(2)(monotonically decreasing)(3)|H(jw w)|2在在ww0 0点点1到到2N 1阶导数零，称为最大阶导数零，称为最大 平坦性。平坦性。(maximally flat magnitude filter)/lg(2)110110lg(ps1.01.0pswwAANNANA2/11.0sc2/11.0p)110()110(spwwwNksNkck,2,1;e)21221(jwkNksssH1)(1L常用归一化(wc=1)Butterworth模拟滤波器的系统函数 11)(0LssH121)(20LsssH)1)(1(1)(20ssssHL
4、)18478.1)(17654.0(1)(220ssssHL一阶：二阶：三阶：四阶：设计一个满足下列指标设计一个满足下列指标BW型模拟低通滤波器型模拟低通滤波器p1.0wp，p4.0ws，dBAp1，dBAs1028.1)/(log2)110110(logps101.01.010pswwAAN取取N=2，将，将N=2带入满足通带的方程带入满足通带的方程4404.0)110(4/11.0pcww (1)计算计算 和和设计一个满足下列指标设计一个满足下列指标BW型模拟低通滤波器型模拟低通滤波器p1.0wp，p4.0ws，dBAp1，dBAs10(2)确定滤波器的确定滤波器的NksNkck,2,1;
5、e)21221(jw)22j22(e43j1ccsww)22j22(e45j2ccsww(3)确定模拟低通滤波器的确定模拟低通滤波器的 NkksssH1L1)(2222cccsswww2224404.06228.04404.0ssAp=1dB 满足指标；满足指标；As=18.3 dB 存在裕量存在裕量确定阶数为确定阶数为N，3-db截频为截频为w wc(radian/s)的的Butterworth filter。s 表示模拟域。表示模拟域。确定模拟确定模拟Butterworth filter的的和和。Wc是由阻带参数确定的。是由阻带参数确定的。s 表示模拟域。表示模拟域。确定确定N阶归一化的阶
6、归一化的Butterworth filter 的的(gain)设计满足下列条件的模拟设计满足下列条件的模拟Butterworth低通滤波器低通滤波器 fp=1kHz,fs=2kHz,Ap=1dB,As=40dBWp=2*pi*1000;Ws=2*pi*2000;Ap=1;As=40;N,Wc=buttord(Wp,Ws,Ap,As,s);fprintf(Order of the filter=%.0fn,N)num,den=butter(N,Wc,s);disp(Numerator polynomial);fprintf(%.4en,num);disp(Denominator polynomi
7、al);fprintf(%.4en,den);omega=Wp Ws;h=freqs(num,den,omega);fprintf(Ap=%.4fn,-20*log10(abs(h(1);fprintf(As=%.4fn,-20*log10(abs(h(2);omega=0:200:12000*pi;h=freqs(num,den,omega);gain=20*log10(abs(h);plot(omega/(2*pi),gain);xlabel(Frequency in Hz);ylabel(Gain in dB);设计满足下列条件的模拟设计满足下列条件的模拟Butterworth低通滤波器
8、低通滤波器 fp=1kHz,fs=2kHz,Ap=1dB,As=40dB050010001500200025003000-80-60-40-200Frequency in HzGain in dBBW型:N=8)/(11)j(222cNCHwww1)(arccoscosh1 )arccos(cos)(xxhNxxNxCNw w)(w wjH1cw wN=2N=3N=7:通带波纹通带波纹 c：通带截频：通带截频 ：阶数：阶数(由阻带指标确定由阻带指标确定)211 (1)cw ww w 0时，时，2)(w wjH在在1和和间振荡间振荡(2)cw ww w 时，时，2)(w wjH单调下降单调下降（
9、N增大，下降加速）增大，下降加速）(3)2211)(w w cjH 控制了通带衰减控制了通带衰减N 为奇时为奇时 1)0(2 jHN为偶时为偶时 2211)0(jH(1)由通带截频由通带截频w wp p确定确定 (2)由通带衰减由通带衰减Ap确定确定1101.0pA(3)由通带、阻带指标确定由通带、阻带指标确定)/(harccos)1101(harccospsAsNwww wc w wp(4)由由N、确定确定CB I型低通滤波器的系统函数型低通滤波器的系统函数 kNksssHc1L/1)(wNkskkk,2,1,jw其中其中Nkk2)12(sin)sinh(Nkk2)12(cos)cosh(w
10、N)/1(harcsin设计一设计一CB I 型模拟低通滤波器，指标为型模拟低通滤波器，指标为 w wp=0.158,w ws=0.727,A Ap=1dB,A As=10dB(1)求模拟滤波器的求模拟滤波器的、11.1)/(harccos)1101(harccospsAsNww取取N=2158.0pcww509.01101.0pA(2)求模拟滤波器的求模拟滤波器的设计一设计一CB I 型模拟低通滤波器，指标为型模拟低通滤波器，指标为 w wp=0.158,w ws=0.727,A Ap=1dB,A As=10dB714.0)/1(harcsinN714.02sin)sinh(1N895.02
11、cos)cosh(1Nw)()(2)()(11)(21211221212LwwwwccsssH0277.0174.00246.02ss(3)确定极点，求系统函数确定极点，求系统函数确定确定N阶归一化的阶归一化的Chebyshev filter 的零点、极点和增益的零点、极点和增益(gain)。确定阶数为确定阶数为N，通带截频为，通带截频为w wc(radian/s)的的Chebyshev filter。s 表示模拟域表示模拟域确定模拟确定模拟Chebyshev filter的阶数的阶数N。w wc=w wp(rad/s)设计满足下列条件的模拟设计满足下列条件的模拟CB I型低通滤波器型低通滤波
12、器 fp=1KHz,fs=2kHz,Ap=1dB,As=40dB%filter specificationWp=2*pi*1000;Ws=2*pi*2000;Ap=1;As=40;%Computer filter orderN,Wc=cheb1ord(Wp,Ws,Ap,As,s);fprintf(Order of the filter=%.0fn,N)%compute filter coefficientsnum,den=cheby1(N,Ap,Wc,s);disp(Numerator polynomial);fprintf(%.4en,num);disp(Denominator polyno
13、mial);fprintf(%.4en,den);设计满足下列条件的模拟设计满足下列条件的模拟CB I型低通滤波器型低通滤波器 fp=1KHz,fs=2kHz,Ap=1dB,As=40dB%Compute Ap and As of designed filter omega=Wp Ws;h=freqs(num,den,omega);fprintf(Ap=%.4fn,-20*log10(abs(h(1);fprintf(As=%.4fn,-20*log10(abs(h(2);设计满足下列条件的模拟设计满足下列条件的模拟CB I型低通滤波器型低通滤波器 fp=1KHz,fs=2kHz,Ap=1dB
14、,As=40dB050010001500200025003000-70-60-50-40-30-20-10Frequency in HzGain in dBBW型:N=8CB 型:N=5)/(1)/()/(111)j(2222222wwwwwwwcNcNcNCCCH(1)在在|w w|w wc时时2221)j(0w H(2)对任意对任意N，w wc和和 0,0,(3)在通带在通带 0 w w w wc时，时，|H(jw w)|2单调下降。单调下降。1)0(H(2)由阻带衰减由阻带衰减As确定确定110/11.0sA(3)由通带、阻带指标确定由通带、阻带指标确定 (1)由阻带截频由阻带截频w w
15、s确定确定scww)/(arccosh)1101(arccoshps1.0pwwAN(4)由由N、确定确定CB II型低通滤波器的系统函数型低通滤波器的系统函数 kkNkpszssHcc1L/)(ww其中其中kksp12)12(cosjNkzkNk,2,1Nk,2,1 确定模拟切比雪夫确定模拟切比雪夫II型滤波器的型滤波器的。确定阶数为确定阶数为N，阻带衰减为，阻带衰减为As dB的切比雪的切比雪夫夫II型滤波器的型滤波器的。w wc由由cheb2ord函数确定。函数确定。)/(11)j(222cNRHwww(1)|w|1S域虚轴映射到域虚轴映射到Z域单位圆上域单位圆上S域右半平面映射到域右半
16、平面映射到Z域单位圆外域单位圆外)2/tan(2WTwWp)(WjeH)(wjHpWsWWpwsww幅度响应不是常数时会产生幅度失真幅度响应不是常数时会产生幅度失真 适合于设计幅度响应为分段常数的数字滤波器适合于设计幅度响应为分段常数的数字滤波器 不适合设计像数字微分器等幅度响应为非常数不适合设计像数字微分器等幅度响应为非常数 的数字滤波器的数字滤波器无混叠无混叠1.1.将数字滤波器的频率指标将数字滤波器的频率指标 W Wk 转换为转换为 模拟滤波器的频率指标模拟滤波器的频率指标 w wk 2.由模拟滤波器的指标设计模拟滤波器的由模拟滤波器的指标设计模拟滤波器的H(s)。3.利用双线性变换法，
17、将利用双线性变换法，将H(s)转换转换H(z)。)2tan(2kkTw11112)()(zzTssHzHW Wp,W Wsw wp,w wsH(s)H(z)设计模拟设计模拟滤波器滤波器双线性变换双线性变换：AF分子、分母多项式的系数向量分子、分母多项式的系数向量Fs：抽样频率：抽样频率：DF分子、分母多项式的系数向量分子、分母多项式的系数向量利用利用MATLAB)2tan(2Tw11112)()(zzTssHzH用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计一用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计一个个3dB截频为截频为W Wp的数字滤波器，并与脉冲响应不变法的数字滤波器，并与脉冲响应不变
18、法设计的设计的DF比较。比较。设双线性变换中的参数为设双线性变换中的参数为T(1)将将DF的频率指标转换为的频率指标转换为AF的频率指标的频率指标)2tan(2ppWwT(2)设计设计3dB截频为截频为w wp的一阶的一阶BW型模拟低通滤波器，即型模拟低通滤波器，即N=1,w wc=w wp1/1)(cwssH1/1pws故故1)2/tan(21psTW用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计一用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计一个个3dB截频为截频为W Wp的数字滤波器，并与脉冲响应不变法的数字滤波器，并与脉冲响应不变法设计的设计的DF比较。比较。设双线性变换中的参数为设双线性
19、变换中的参数为T(3)用双线性变换法将模拟滤波器转换为数字滤波器用双线性变换法将模拟滤波器转换为数字滤波器参数参数T的取值和最终的设计结果无关。的取值和最终的设计结果无关。为简单起见一般取为简单起见一般取T=2 1)2/tan(21)(psTsHW1pp1p)1)2(tan()2tan(1)1)(2tan()(z/z/zHW11112zzTs用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计一用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计一个个3dB截频为截频为W Wp的数字滤波器，并与脉冲响应不变法的数字滤波器，并与脉冲响应不变法设计的设计的DF比较。比较。脉冲响应不变法设计的脉冲响应不变法设计的D
20、F的系统函数为的系统函数为1ppe1e1)(zzHWW脉取取W Wp 0.6p0.6p，令，令z=ejW W，可分别获得两者的幅度响应，可分别获得两者的幅度响应ccssHww)(双线性变换法设计的双线性变换法设计的DF的系统函数为的系统函数为1pp1p)1)2(tan()2tan(1)1)(2tan()(z/z/zHW双12111Tzsz用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计一用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计一个个3dB截频为截频为W Wp的数字滤波器，并与脉冲响应不变法的数字滤波器，并与脉冲响应不变法设计的设计的DF比较。比较。00.6100.71Normalized fr
21、equencyAmplitude脉冲响应不变法脉冲响应不变法双线性变换法双线性变换法W Wp 0.6p0.6p 脉冲响应不变法存在频脉冲响应不变法存在频谱混叠，所设计的谱混叠，所设计的DF不满不满足给定指标。而双线性变足给定指标。而双线性变换法不存在频谱混叠，所换法不存在频谱混叠，所设计的设计的DF满足给定指标。满足给定指标。用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计一用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计一个个3dB截频为截频为W Wp的数字滤波器，并与脉冲响应不变法的数字滤波器，并与脉冲响应不变法设计的设计的DF比较。比较。H双双(z)和和H脉脉(z)幅度响应比较的幅度响应比较的M
22、ATLAB实现实现Wp=0.6*pi;b=1-exp(-Wp);b1=tan(Wp/2)*1 1;a=1-exp(-Wp);a1=1+tan(Wp/2)tan(Wp/2)-1;w=linspace(0,pi,512);h=freqz(b,a,w);h1=freqz(b1,a1,w);plot(w/pi,(abs(h),w/pi,(abs(h1);xlabel(Normalized frequency);ylabel(Amplitude);set(gca,ytick,0 0.7 1);set(gca,xtick,0 Wp/pi 1);grid;利用利用AF-BW filter及及双线性变换法双线
23、性变换法设计一设计一DF，满足，满足 W Wp=0.2p p,W Ws=0.6p p,Ap 2dB,As 15dB(1)将数字低通指标转换成模拟低通指标，取将数字低通指标转换成模拟低通指标，取T=2 Ap2db,As15db(2)设计模拟低通滤波器设计模拟低通滤波器（BW型）型）)/(log2)110110(logps101.01.010pswwAAN=2NA2/11.0sc)110(sww=0.5851 12)(1)(2LccsssHww3249.0)2tan(2ppWwT3764.1)2tan(2ssWwT3423.08275.03423.02ss利用利用AF-BW filter及及双线性
24、变换法双线性变换法设计一设计一DF，满足，满足 W Wp=0.2p p,W Ws=0.6p p,Ap 2dB,As 15dB(3)用用双线性变换法将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器双线性变换法将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器 11112)()(zzTssHzH21212373.06062.011578.03155.01578.0zzzz利用利用AF-BW filter及及双线性变换法双线性变换法设计一设计一DF，满足，满足 W Wp=0.2p p,W Ws=0.6p p,Ap 2dB,As 15dB%Design DF BW low-pass filter using impulse i
25、nvariance%DF BW LP specficationWp=0.2*pi;Ws=0.6*pi;Ap=2;As=15;T=2;Fs=1/T;%Sampling frequency(Hz)%Analog Butterworth specficationwp=2*tan(Wp/2)/T;ws=2*tan(Ws/2)/T;%determine the order of AF filter and the 3-db cutoff frequency N,wc=buttord(wp,ws,Ap,As,s)%determine the AF-BW filternuma,dena=butter(N,w
26、c,s)利用利用AF-BW filter及及双线性变换法双线性变换法设计一设计一DF，满足，满足 W Wp=0.2p p,W Ws=0.6p p,Ap 2dB,As 15dB%determine the DF filternumd,dend=bilinear(numa,dena,Fs)%plot the frequency responsew=linspace(0,pi,1024);h=freqz(numd,dend,w);plot(w/pi,20*log10(abs(h);axis(0 1-50 0);grid;xlabel(Normalized frequency);ylabel(Gain
27、,db);%computer Ap As of the designed filterw=Wp Ws;h=freqz(numd,dend,w);fprintf(Ap=%.4fn,-20*log10(abs(h(1);fprintf(As=%.4fn,-20*log10(abs(h(2);利用利用AF-BW filter及及双线性变换法双线性变换法设计一设计一DF，满足，满足 W Wp=0.2p p,W Ws=0.6p p,Ap 2dB,As 15dB 00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-50-45-40-35-30-25-20-15-10-50Normalized fr
28、equencyGain,dbAp=0.3945As=15.0000利用利用AF-BW filter及及双线性变换法双线性变换法设计一设计一DF，满足，满足 W Wp=0.2p p,W Ws=0.6p p,Ap 2dB,As 15dB 00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-50-45-40-35-30-25-20-15-10-50Normalized frequencyGain,dB将将双线性变换法与脉冲响应不变法所双线性变换法与脉冲响应不变法所设计设计DF的结果比较。的结果比较。双线性变换双线性变换Ap=0.3945As=15.0000脉冲响应不变法脉冲响应不变法双线性变
29、换法双线性变换法脉冲响应不变脉冲响应不变Ap=1.1187As=12.3628W Wp,W Wsw wp,w wsH(z)w=W/T脉冲响应不变法脉冲响应不变法双线性变换法双线性变换法H(s)模拟频模拟频率变换率变换设计原型设计原型低通滤波器低通滤波器sp,ww)(LsH复频率变换复频率变换)2tan(2Tw 脉冲响应不脉冲响应不变法不能设计变法不能设计和和数字滤数字滤波器波器1111zepsTpll11112zzTs试设计满足下列指标的试设计满足下列指标的BW型数字带阻滤波器型数字带阻滤波器 W Wp1=2.8113rad/s,W Wp2=2.9880rad/s,Ap 1dB ,W Ws1=
30、2.9203rad/s,W Ws2=2.9603rad/s,As 10dB 脉冲响应不变法不适合设计数字带阻滤波器，脉冲响应不变法不适合设计数字带阻滤波器，因此采用双线性变换法设计。因此采用双线性变换法设计。(1)将数字带阻滤波器指标转换成模拟带阻滤波器指标将数字带阻滤波器指标转换成模拟带阻滤波器指标)2tan(2WwT取取T=2，利用，利用得模拟带阻指标为得模拟带阻指标为w wp1=6rad,w wp2=13rad,w ws1=9rad,w ws2=1rad1,Ap 1dB,As 10dB 试设计满足下列指标的试设计满足下列指标的BW型数字带阻滤波器型数字带阻滤波器 W Wp1=2.8113
31、rad/s,W Wp2=2.9880rad/s,Ap 1dB ,W Ws1=2.9203rad/s,W Ws2=2.9603rad/s,As 10dB(2)将模拟带阻滤波器指标转换成模拟低通滤波器指标将模拟带阻滤波器指标转换成模拟低通滤波器指标 21s2swwB9499.92s1s0www3714.0,max202p2p2202p1p1pwwwwwwwBBAp 1dB,As 10dB 1sww wp1=6rad,w wp2=13rad,w ws1=9rad,w ws2=1rad1,Ap 1dB,As 10dB 模拟带阻指标模拟带阻指标试设计满足下列指标的试设计满足下列指标的BW型数字带阻滤波器
32、型数字带阻滤波器 W Wp1=2.8113rad/s,W Wp2=2.9880rad/s,Ap 1dB ,W Ws1=2.9203rad/s,W Ws2=2.9603rad/s,As 10dB(3)设计原型设计原型BW型模拟低通滤波器型模拟低通滤波器 Ap 1dB,As 10dB 1,3714.0spww原型模拟低通指标原型模拟低通指标2)/(log2)110110(logps101.01.010pswwAAN5774.0)110(2/11.0scsNAww原型模拟低通滤波器的系统函数为原型模拟低通滤波器的系统函数为 12)(1)(2LccsssHww3333.08165.03333.02ss
33、试设计满足下列指标的试设计满足下列指标的BW型数字带阻滤波器型数字带阻滤波器 W Wp1=2.8113rad/s,W Wp2=2.9880rad/s,Ap 1dB ,W Ws1=2.9203rad/s,W Ws2=2.9603rad/s,As 10dB(4)由复频率变换将原型模拟低通转换为模拟带阻滤波器由复频率变换将原型模拟低通转换为模拟带阻滤波器 3333.08165.03333.0)(2LsssH202)()(LBSwsBsssHsH9801485210899.4980119823424ssssss(5)由双线性变换模拟带阻滤波器转换成数字带阻滤波器由双线性变换模拟带阻滤波器转换成数字带阻
34、滤波器 11112)()(zzTssHzH432143219067.06412.35601.58241.319522.07327.35624.57327.39522.0zzzzzzzz 其中其中Wp,Ws为归一化角频率。为归一化角频率。例例W Wp=0.1p p,则则Wp=0.1 若为若为或或滤波器，则滤波器，则Wp=Wp1,Wp2;Ws=Ws1,Ws2 其中其中Wc=W1,W2 其中其中Wc=W1,W2 *带通带通、带阻带阻中中W=W1,W2 *带通带通、带阻带阻中中W=W1,W2 *带通带通、带阻带阻中中W=W1,W2模拟低通原型模拟低通原型(prototype)频率变换频率变换综合设计综
35、合设计IIR 滤波器最小阶数的计算滤波器最小阶数的计算离散化离散化利用利用MATLAB实现数字带阻滤波器实现数字带阻滤波器 W Wp1=2.8113rad/s,W Wp2=2.9880rad/s,Ap 1dB ,W Ws1=2.9203rad/s,W Ws2=2.9603rad/s,As 10dBWp=2.813,2.9880;Ws=2.9203,2.9603;Ap=1;As=10;N,Wc=buttord(Wp/pi,Ws/pi,Ap,As)numd,dend=butter(N,Wc,stop)运行结果运行结果N=2numd=0.9522,3.7327,5.5624,3.7327,0.9522dend=1.0000,3.8242,5.5601,3.6412,0.9067432143219067.06412.35601.58241.319522.07327.35624.57327.39522.0)(zzzzzzzzzH思考题思考题1.脉冲响应不变法与双线性变法各有特点？脉冲响应不变法与双线性变法各有特点？2.利用脉冲响应不变法能否设计利用脉冲响应不变法能否设计IIR数字高数字高通或带阻滤波器？通或带阻滤波器？3.IIR数字滤波器的优缺点是什么？数字滤波器的优缺点是什么？作业作业pp154 4-7;4-14;4-15
