1、经济应用数学经济应用数学第二章第二章 极限与变化趋势分析极限与变化趋势分析1234案例分析案例分析知识讲解知识讲解例题分析例题分析课堂练习课堂练习第二节第二节 极限运算极限运算5应用模型应用模型 【产品价格预测产品价格预测】假设某产品价格满足假设某产品价格满足0.5()2020tP te lim()tP t 0.50.50.5lim()lim(2020)lim 20lim 202020lim2020020ttttttttP teee 案例分析一案例分析一请对价格做一长期预测请对价格做一长期预测.分析：可以通过分析分析：可以通过分析t无限变化时价格的变化趋势，以对无限变化时价格的变化趋势，以对该
2、产品的价格做长期预测，即计算该产品的价格做长期预测，即计算计算可得：计算可得：【产品销量的变化趋势产品销量的变化趋势】某新产品一上市销量迅速上某新产品一上市销量迅速上升，随着时间的延长，销量逐渐减少，其销量和时间的函升，随着时间的延长，销量逐渐减少，其销量和时间的函数关系为数关系为2200,()100tQQtt 为为销销量量，为为时时间间222002000limlimlim0.10010011tttttQtt 案例分析二案例分析二分析该产品的长期销售前景分析该产品的长期销售前景.计算可得：计算可得：一、极限的运算法则一、极限的运算法则1 1、定理、定理2.2 2.2 极限运算极限运算lim()
3、,lim(),f xAg xB 设则有(1)lim()()lim()lim();f xg xf xg xA B (2)lim()()lim()lim();f xg xf xg xA B()lim()(3)lim,lim()0.()lim()f xf xAg xg xg xB其中一、极限的运算法则一、极限的运算法则2 2、推论、推论1111lim()()lim()lim();lim()()lim()lim();nnnnfxfxfxfxfxfxfxfxlim();Cf xCA lim();lim()nnnnf xAf xA思考：什么时候不能用法则？125lim(3)?lim4?lim?10 xxx
4、xxx 00000000()()()0()()lim()()lim()()xxxxf xg xg xf xf xf xf xg xg x 当、有意义，且时，有，3 3、求、求极限的基本方法极限的基本方法方法一：代入法方法一：代入法相关例题相关例题00lim()lim()0()()xxxxf xg xf xg x 当=时，可以通过恒等变形的方法消去中极限为零的因子3 3、求、求极限的基本方法极限的基本方法方法二：消去零因子法方法二：消去零因子法相关例题相关例题代数变形代数变形(约分约分)代入法代入法()()()()nmnmP xxxQxP xQx 当时，函数的分子和分母可同除 的最高次幂，利用无
5、穷小求极限和为多项式3 3、求、求极限的基本方法极限的基本方法方法三：无穷小分出法方法三：无穷小分出法相关例题相关例题00101101()limlim0()nnnnmmxxmmamnbPxa xa xamnQxb xb xbmn 例例1 1、求下列极限、求下列极限3211(2)lim35xxxx 221(2)lim(35)13 1530,xxx 332211112lim.3513 153xxxx +解：解：211)lim 321)（xxx21(1)lim 321)xxx（23 12 11=2.=224712(1)lim54xxxxx例2、求下列极限2723(2)lim49xxx 44(3)(4
6、)lim(1)(4)31lim13xxxxxxxx 27(23)(23)lim(49)(23)xxxxx 71lim(7)(23)xxx 1.56 例例3 3、求下列极限求下列极限2223(1)lim31xxx 2332(2)lim423xxxxx21(3)lim1xxxx 222232lim133lim(2)1lim(3)202.303xxxxxxx 2323312lim23400.4xxxxxx 2211111lim.xxxxx 2112lim()11xxx 例4、求2112lim()11xxx 112lim(1)(1)xxxx 11lim1xx 1.2 解：解：错解：221111212l
7、im()limlim0.1111xxxxxxx 例例5 5、).21(lim222nnnnn 求求解：解：222221lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 22212lim()0000nnnnn错解：01limsin.xxx例6、求解：解：11sin1sinxx 因为，所以是有界变量；0lim0,0 xxxx又因为所以当时，为无穷小；01limsin0.xxx 所以，注：有界变量与无穷小的乘积极限为零有界变量与无穷小的乘积极限为零 222210232011(1)lim(2)lim2111221(3)lim(4)lim11xxxxxxx
8、xxxxxxxx 一、计算下列极限一、计算下列极限课堂练习课堂练习 21112(1)lim(2)lim1122xnnnxxxn 二、计算下列极限二、计算下列极限应用模型：等比级数应用模型：等比级数 22111,.nnnna aq aqaqaaqaqaqaq 已已知知等等比比数数列列将将式式子子称称为为等等比比级级数数或或几几何何级级数数=2121,lim,.nnnnnSaaqaqaqSSSSaaqaqaq 设设若若则则称称级级数数收收敛敛为为等等比比级级数数或或几几何何级级数数的的和和，记记作作否否则则称称级级数数发发散散(1)lim1nnaqSq 111aqqq 发发散散计算可得：计算可得：【级数的敛散性及其和级数的敛散性及其和】判别下列级数是否收敛，若收敛判别下列级数是否收敛，若收敛则求其和则求其和.12(1)(-1)3nnn 1(2)2nn +223.2513S (2)21,.q 因为所以级数发散2(1)1,3q 因为所以级数收敛，其和为解：解：
