1、经济应用数学经济应用数学第五章第五章 经济总量问题分析经济总量问题分析1234案例分析案例分析知识讲解知识讲解例题分析例题分析课堂练习课堂练习第四节第四节 经济总量计算模型经济总量计算模型5应用模型应用模型20004000.05,i 【投投资资问问题题】某某公公司司一一次次性性投投入入万万元元投投资资一一项项目目,并并与与一一年年后后建建成成投投产产,开开始始取取得得经经济济效效益益.每每年年取取得得的的收收益益为为均均匀匀货货币币流流万万元元,假假设设银银行行的的年年利利率率问问几几年年后后可可以以收收回回投投资资？分分析析 如如果果不不考考虑虑资资金金的的时时间间价价值值,显显然然五五年年
2、后后可可以以收收回回投投资资,但但如如果果考考虑虑资资金金的的时时间间价价值值,问问题题就就没没有有那那么么简简单单了了.设设T T年年后后可可以以收收回回投投资资,此此时时,需需要要分分别别计计算算投投资资和和收收益益在在T T年年末末时时的的终终值值,收收回回投投资资那那就就意意味味着着两两者者的的终终值值至至少少应应该该相相同同.案例分析案例分析 000.0500.05-0.05-02000,400,(1)2000(2),400,400,4001400-0.05rttrTTTT tTTT tTTPAPP eTPP eet tdtdt TdPeTPedtP 由由题题意意设设投投资资收收益益
3、货货币币流流为为根根据据连连续续复复利利本本利利和和计计算算模模型型得得年年末末的的投投资资总总价价值值为为用用微微元元法法计计算算收收益益的的总总价价值值 取取时时间间段段区区间间内内的的收收益益货货币币流流为为年年末末的的总总价价值值微微元元为为因因此此年年末末收收益益的的总总价价值值为为计计算算可可得得：0.05-0.0500.050.05-80008000-800080002000,6TT tTTTeeeeT令令化化简简，解解得得即即，七七年年后后可可以以收收回回投投资资.一、牛顿莱布尼兹公式一、牛顿莱布尼兹公式（微积分基本公式）（微积分基本公式）()()F bF a()baf x d
4、x()baF x 注注()(),()()()aFxf xf x dxF bF a b b如如果果则则（1）N-L公式揭示了积分学两类基本问题公式揭示了积分学两类基本问题不定积不定积分与定积分两者之间的内在联系分与定积分两者之间的内在联系（2）求定积分问题转化为求原函数的问题）求定积分问题转化为求原函数的问题.5.2(),(1),;(2),()()baf xa bxxxtxabtf x dxftt dt 二二、定定积积分分的的换换元元积积分分法法定定理理设设函函数数在在区区间间上上连连续续 令令如如果果在在区区间间上上有有连连续续的的导导数数当当 从从 变变到到 时时从从 单单调调地地变变到到则
5、则有有 上面的公式称为定积分的换元公式，利用公式计算定积分，在作变量代换的同时，相应地替换积分的上、下限，这样在计算时就可以不用代回原来的变量了，从而使计算过程变到简便.5.3()(),bbbaaau xv xa budvuvvdu定定理理设设函函数数和和在在区区间间上上均均有有连连续续导导数数 则则有有三、定积分的分部积分法三、定积分的分部积分法例例1 1、求定积分、求定积分120 x dx 3103x 13 解：解：120 x dx 例例2 2、求定积分、求定积分1lnexdxx 211ln2ex 12 解：解：1lnexdxx 1lnlnexdx 例例3 3、求定积分、求定积分312xd
6、x -5.解：解：2312(2)(2)x dxxdx-22231211(2)(2)22xxxx 11422312xdx -22222xxxxx 2422000200,2,02,04,21211112ln 12 2ln3xttdxtdttxdxtdtdtttxtt 解解 设设则则当当 从从 变变到到 时时从从 变变到到405.1dxx 例例 求求定定积积分分 332200101333420100cossin-coscoscos,10,0,211coscos-44xxdxxdxtxtxxdxt dtt dtt 解解 因因为为设设当当 从从 变变到到 时时从从 变变到到所所以以3204cossinx
7、xdx 例例 求求定定积积分分 2222222111122211lnlnlnln222132ln2-2ln22ln2244xxxxxxdxxddxxdxx 解解 1111000010-11xxxxxxe dxxdexee dxe eee解解 106.xxe dx 例例求求定定积积分分 217ln.xxdx 例例求求定定积积分分 00,i TtTi TtTitTATFPTdFAdteTFAedtPAedt 设设 年年内内有有一一均均匀匀货货币币流流 年年流流量量为为年年末末的的资资金金总总价价值值为为现现值值为为则则 年年末末的的总总价价值值微微元元为为所所以以可可得得 年年末末总总价价值值的的
8、终终值值为为：总总价价值值的的现现值值为为：均匀货币流的终值和现值计算模型 【分期付款问题分期付款问题】小周准备化小周准备化300万买一幢别墅，如万买一幢别墅，如以分期付款方式购买，则每年付款以分期付款方式购买，则每年付款21万元，万元，20年付清，年付清，银行的存款年利率为银行的存款年利率为4%，按连续复利计息，请你帮小，按连续复利计息，请你帮小周作一个决策：是选择一次性付款还是分期付款？周作一个决策：是选择一次性付款还是分期付款？200.04000.04200.8021215255250.045251-0.8525420,.TitttFAedtedtee 所所以以 小小周周应应该该选选择择一一次次性性付付款款
