1、7-5 电场力的功电场力的功 电势电势 前面从电荷在电场中受力的角度出发，引入了前面从电荷在电场中受力的角度出发，引入了物理量物理量电场强度。由高斯定理证明了静电场是电场强度。由高斯定理证明了静电场是有源场有源场。本节要从电场对电荷作功的角度引入物理量本节要从电场对电荷作功的角度引入物理量电势，从而证明静电场是电势，从而证明静电场是无旋场无旋场。niiSqSE101dE0dllEq 一、电场力的功一、电场力的功 0qrl dEqdA0lrrqqd 40200cosdd0llrrdldrdarabrbE在点电荷在点电荷q的电场中，把另一的电场中，把另一点电荷点电荷q0由由a点点b点点(沿路径沿路
2、径L)过程中，电场力作的功过程中，电场力作的功1.1.点电荷的电场点电荷的电场barrrrqqA2004d)11(400barrqq 200d 4rrqqdA结论：结论：电场力作的功只取决于被移动电荷的起始、电场力作的功只取决于被移动电荷的起始、终末的位置，与移动的路径无关。终末的位置，与移动的路径无关。2.2.点电荷组的电场点电荷组的电场nEEEE21nqqq,21点电荷组点电荷组 产生电场产生电场 在电场中把试验电荷从在电场中把试验电荷从a移至移至b电场力所做的功电场力所做的功 babaabl dEql dFA0结论：结论：每项均与路径无关，只与位置有关。所每项均与路径无关，只与位置有关。
3、所以电场力对电荷作的功也与路径无关。以电场力对电荷作的功也与路径无关。bal dEq10l dEEEqnba)(210bal dEq20banl dEq0结论：结论：在任何电场中移动试验电荷时，电场力在任何电场中移动试验电荷时，电场力所做的功除了与电场本身有关外，只与试验电所做的功除了与电场本身有关外，只与试验电荷的大小及其起点、终点有关，与移动电荷所荷的大小及其起点、终点有关，与移动电荷所走过的路径无关走过的路径无关.静电力是保守力，静电场是保守力场。静电力是保守力，静电场是保守力场。3.任意带电体的电场任意带电体的电场 可以将带电体无限分割成微元，每一个微可以将带电体无限分割成微元，每一个
4、微元均为一点电荷元均为一点电荷 点电荷组点电荷组二、静电场的环路定理二、静电场的环路定理E0dllEa12b在任意电场中取一闭合回路在任意电场中取一闭合回路L ，将试验电荷沿路，将试验电荷沿路径从径从aba，电场力所做的功为，电场力所做的功为llEqAd0abbalEqlEq2010ddbabalEqlEq2010dd00llEqd00q结论：结论：电场强度沿任意闭合回路的线积分恒等电场强度沿任意闭合回路的线积分恒等于零于零.llEd 静电场的环路定理与静电场力做功与路径静电场的环路定理与静电场力做功与路径无关完全等价。无关完全等价。无旋场无旋场称为电场强度的环流；在静电场称为电场强度的环流；
5、在静电场中，电场强度的环流为零，这就是电场的中，电场强度的环流为零，这就是电场的环路环路定理定理.0dllE 对静电场，存在着一个由电场中各点的位置对静电场，存在着一个由电场中各点的位置决定的标量函数决定的标量函数电势电势.三、电势能三、电势能1.1.电势能差电势能差 在力学中，曾经给出保守力作功和势能增在力学中，曾经给出保守力作功和势能增量的关系量的关系pbpaabEEAbabaabWWlEqAd0由此可得出电场力作功和电势能增量的关系由此可得出电场力作功和电势能增量的关系 q0在电场中在电场中a、b两点两点电势能之差电势能之差等于把等于把 q0自自a点移至点移至b点过程中电场力所作的功。点
6、过程中电场力所作的功。abWW ,0abWW ,0 电势能的变化与试验电荷电势能的变化与试验电荷q0有关有关,电势能应电势能应属于属于q0和产生电场的源电荷系统共有。和产生电场的源电荷系统共有。abAbaabWWA2.2.电势能电势能bbaaWlEqWd0babalEqWWd0电势能差是绝对值电势能差是绝对值电势能是相对值电势能是相对值若令若令0bWbaalEqWd0 试验电荷试验电荷 在电场中某点的电势能，在数值在电场中某点的电势能，在数值上就等于把它从该点移到零势能处静电场力所作上就等于把它从该点移到零势能处静电场力所作的功的功.0q零势能零势能的选择的选择：理论上可以任意选择。通常情：理
7、论上可以任意选择。通常情况下，场源电荷分布在有限范围内时，况下，场源电荷分布在有限范围内时，零势能零势能一般选在无穷远。一般选在无穷远。aalEqWd01.1.电势差电势差 四、电势差和电势四、电势差和电势babalEqWWd0与试验电荷与试验电荷q0有关有关babalEqWqWd00与试验电荷与试验电荷q0无关无关baVV 00qWqWbaa,b两点的电势差就是单位正电荷的电势能差。两点的电势差就是单位正电荷的电势能差。定义为定义为a,b两点之间的电势差两点之间的电势差2.2.电势电势 若选若选b点做为电势零点点做为电势零点0bVbaalEVd 电场中电场中a点的电势，就是把单位正电荷从点的
8、电势，就是把单位正电荷从点点a移到零电势位置时，静电场力所作的功移到零电势位置时，静电场力所作的功.baVV balEda,b两点的电势差就是从两点的电势差就是从a点到点到b点移动单位正点移动单位正电荷时电场力所作的功电荷时电场力所作的功.0qWVaaa点电势点电势 电场中某点的电势等于单位正电荷在该点具有电场中某点的电势等于单位正电荷在该点具有的电势能。的电势能。0qWVbbb点电势点电势电势零点选取电势零点选取 1 1）有限带电体以无穷远为电势零点）有限带电体以无穷远为电势零点 2 2）实际问题中常选择地球电势为零）实际问题中常选择地球电势为零.aalEVd1 1）电势差是绝对的，与电势零
9、点的选择无关；）电势差是绝对的，与电势零点的选择无关；2 2）电势大小是相对的，与电势零点的选择有关）电势大小是相对的，与电势零点的选择有关.注意：注意：以无穷远为电势零点时，以无穷远为电势零点时，a点的电势点的电势3 3）静电场力的功）静电场力的功J10602.1eV119原子物理中能量单位原子物理中能量单位)(0babaabVVqWWAppl dEV 1 1、点电荷的电势、点电荷的电势五、电势的计算五、电势的计算qrE020 4rrqE选无穷远处为电势零点，设电场中任一选无穷远处为电势零点，设电场中任一p点到点到点电荷的距离为点电荷的距离为rp，p点的电势点的电势点电荷的电场强度点电荷的电
10、场强度prdrrq0204 rrd00,0VqprpdrrqV204rdprrdrq2040,0VqpprqV04 点电荷的电势点电荷的电势距离点电荷越远，电势越低距离点电荷越远，电势越低.距离点电荷越远，电势越高距离点电荷越远，电势越高.2 2、点电荷系电场中的电势、点电荷系电场中的电势各自在场点各自在场点p产生的电场为产生的电场为设源电荷是由设源电荷是由n个点电荷个点电荷q1、q2、q3 qn,组成组成,nEEEE.21nEEE.,21电场中电场中p点的电势点的电势pplEVdplEd1 piil dEplEd2pnlEd.总电场总电场注意：注意：必须是同一个电势零点。必须是同一个电势零点
11、。pnpppVVVV.21nnrqrqrq02021014.44 iiiprqV04 ri是是p点距电荷点距电荷qi的距离的距离电势叠加原理：电势叠加原理：由若干带电体产生的电场中，某由若干带电体产生的电场中，某点的电势等于各个带电体单独存在时在该点的电点的电势等于各个带电体单独存在时在该点的电势的代数和。势的代数和。对于电荷连续分布的带电体，取电荷元对于电荷连续分布的带电体，取电荷元dqqqdrPdV由电荷元在由电荷元在p点激发的电势点激发的电势rdqdV0 4由电势的叠加原理，整个带由电势的叠加原理，整个带电体在电体在p点激发的电势为：点激发的电势为：rqVp04 d3 3、带电体电场中的
12、电势、带电体电场中的电势VqddlPrdlrqV00 4 4dsqddlqdd均匀带电线均匀带电线均匀带电面均匀带电面sPrdsrqV00 4 4d均匀带电体均匀带电体VPrdVrqV00 4 4drqVP0 4d1)1)利用利用2)2)若已知在积分路径上若已知在积分路径上 的函数表达式，的函数表达式，则则ElEVVAAd0点（利用了点电荷电势（利用了点电荷电势 ，这一结果已选无限远处为电势零点，带电这一结果已选无限远处为电势零点，带电体必须为有限大。）体必须为有限大。）rqV0 4/求解电势的两种方法求解电势的两种方法电场具有对称分布时使用方便电场具有对称分布时使用方便例例1 1 计算电偶极
13、子电场中任一点的电势。计算电偶极子电场中任一点的电势。rqrqVP0044式中式中r+与与r-分别为分别为+q和和-q到到P点的距离，由图可知点的距离，由图可知解解 ：设电偶极子如图放置，电设电偶极子如图放置，电偶极子的电场中任一点偶极子的电场中任一点P的电的电势为势为cos2errrcos2errrypx re/2re/2r+r r+20204cos4cosrprqrVeep由于由于r re，所以，所以p点的电势可写为点的电势可写为cos21cos2140eeprrrrqV因此因此电势的计算例题电势的计算例题220cos2cos4errlq+Rr 例例3 3 正电荷正电荷q均匀分布在半径为均
14、匀分布在半径为R的细圆环上的细圆环上.求圆环轴线上任一点的电势求圆环轴线上任一点的电势.qdxPoyzx解：解：在轴线上取任一点在轴线上取任一点p，圆环上电荷元，圆环上电荷元dq在在p点点的电势的电势 drdqVP04RlrqVP d 2402204RxqVp Rq 2线电荷密度线电荷密度dldqdlRqrVP2410 drq04 RqVx00 40，xqVRxP0 4，220 4RxqVP Rq04xoV讨论讨论点电荷的电势点电荷的电势ORq解：解：由高斯定理知，电场分布为由高斯定理知，电场分布为.ERr 0Rrrqo241当当r R 时时rrdEVrq041Q.rrodrrq241电势分布
15、曲线电势分布曲线场强分布曲线场强分布曲线结论：结论：均匀带电球面，球内的电势等于球表面的均匀带电球面，球内的电势等于球表面的电势，球外的电势等效于将电荷集中于球心的点电势，球外的电势等效于将电荷集中于球心的点电荷的电势。电荷的电势。EVRrrOO204RqRq04r121rR例例7 两个均匀带电球面同心放置，半径分别为两个均匀带电球面同心放置，半径分别为R1和和R2，且且R1R2，如图所示。所带电量分别为如图所示。所带电量分别为q1，q2，求电势分布。求电势分布。R1R2（1）1Rr)()(2211RVRVV场点在两个球面内部场点在两个球面内部202101 4 4RqRq（2）21RrR)()(221RVrVV（3）2Rr)()(21rVrVV场点在内球面外部，外球面的内部场点在内球面外部，外球面的内部场点在两个球面的外部场点在两个球面的外部20201 4 4Rqrqrqrq0201 4 4
