1、 第三章边值问题的变分形式1 1 二次函数的极值二次函数的极值2 2 两点边值问题两点边值问题3 3 二阶椭圆型边值问题二阶椭圆型边值问题1 1 二次函数的极值二次函数的极值 niiiTnTnnnnnnTnTnnyxyxyaaaaaaaaaAbbbbxRn1212122221112112121),(,),()(),(),(的的内内积积为为定定义义，的的转转置置。令令表表示示括括号号内内向向量量或或矩矩阵阵：中中引引入入向向量量、矩矩阵阵记记号号维维欧欧氏氏空空间间在在 ),(),(),()(:11,21xbxAxbaFxFnniiinjijiijn 个个变变量量的的二二次次函函数数考考虑虑.,
2、2,10)(),(:),(1)0()0()0()0(1)0()0()0(1022nkbaaFxnikkiikkTinn 取取得得极极值值的的必必要要条条件件是是它它在在.,2,121)0(nkbaAaanikkikiiki 为为对对称称矩矩阵阵，则则，即即假假定定 的的解解是是线线性性方方程程组组：取取得得极极值值的的必必要要条条件件是是于于则则二二次次函函数数若若令令)2.1()()1.1(),(),(21)(00bAxxxxJxbxAxxJ 取取极极小小值值于于即即，取取极极小小值值，则则对对任任何何于于若若维维非非零零向向量量是是任任一一其其中中二二次次函函数数的的量量的的极极值值性性质
3、质，考考虑虑实实变变为为了了进进一一步步研研究究0)(),0()()()(0)(.)()()(0000 xJxxJxxJnxxxJxJ 取取极极小小值值于于即即）（，零零向向量量取取极极小小值值，则则对对任任何何非非于于反反之之，若若000)(),()0(1)(0)(xxJxJxxJx ),(2),(2),(),(2)()()(2000 xAxxbxAxxAxxJxJ 显显然然条条件件。存存在在极极小小值值的的充充分分必必要要现现在在研研究究)3.1(),(2),()()()(2000 xAxxbAxxJxxJA 是是对对称称矩矩阵阵，故故因因为为 必必为为正正定定矩矩阵阵。故故对对任任意意非
4、非零零向向量量的的解解。又又是是，这这说说明明从从而而对对任任意意取取极极小小值值，则则于于若若ARxxAxxbAxRxxbAxxxJnn ,0),()0()2.1(00),()0()(0000 取取极极小小值值。于于这这说说明明得得则则由由，即即的的解解，是是方方程程组组是是正正定定矩矩阵阵，反反之之，设设022000)(0,0),0(),(2)0(),(2)()()3.1(0)2.1(xxJxxAxxAxxJbAxxA 定理定理1.1 设矩阵设矩阵A对称正定，则下列两对称正定，则下列两个问题等价：个问题等价：定定义义的的二二次次函函数数。是是由由其其中中使使求求)1.1()()4.1()(
5、min)()1(000 xJxJxJRxnRxn .),(),(21)()()5.1()2(决决定定它它由由向向量量，项项决决定定；第第二二部部分分是是一一次次，它它由由矩矩阵阵次次项项分分是是二二由由两两部部分分组组成成：第第一一部部或或简简称称泛泛函函数数。泛泛函函数数泛泛函函次次函函数数，称称为为上上的的二二次次是是定定义义在在全全空空间间上上的的二二求求下下列列方方程程组组的的解解：bxbAxAxxJxJbAx 2 2 两点边值问题两点边值问题作作用用下下弦弦的的平平衡衡位位置置。表表示示在在荷荷载载用用上上，发发生生形形变变。荷荷载载垂垂直直向向下下作作用用在在弦弦的的外外。设设有有
6、强强度度为为和和的的弦弦，其其两两端端固固定定在在点点考考察察一一根根长长为为弦弦的的平平衡衡)()()()0,()0,0(1.2xfxuuxflBAl uxxlAB0 ).2.2(),1.2()2.2(0)(,0)0(0),()1.2()(边边值值问问题题就就归归结结为为解解两两点点这这样样，求求弦弦的的平平衡衡位位置置和和边边值值条条件件是是弦弦的的张张力力。满满足足微微分分方方程程根根据据力力的的平平衡衡条条件件，luuTlxxfuTxu)4.2()(min)()()3.2(2)(21)(21)(),()(*02002*uJuJxuudxufuTudxfdxuTWWuJxuuxuuull
7、l 是是下下列列变变分分问问题题的的解解：据据极极小小位位能能原原理理，它它的的总总位位能能为为最最小小。设设弦弦任任意意位位置置可可能能位位置置中中，使使位位能能是是满满足足边边值值条条件件的的一一切切位位置置小小位位能能原原理理”弦弦的的平平衡衡另另一一方方面面，由由力力学学“极极 )(,),()(,),()(.,),()(2.2221222ILfdxffffILgfgdxfgfIILbaIbaIIHSobolevbabam 范范数数内内积积数数组组成成的的空空间间。上上的的平平方方可可积积的的可可测测函函在在表表示示由由定定义义用用设设空空间间空空间间。是是是是完完全全内内积积空空间间，
8、因因此此关关于于”运运算算是是线线性性空空间间，关关于于“加加法法”及及“数数乘乘HilbertILIL)()(,)(22 ffnffILfmnffCauchyILfILILCauchynnnmnn lim)(0)(),(0)()()(2222记记为为使使则则必必有有条条件件：度度量量）满满足足（即即按按如如果果关关于于度度量量，中中任任一一函函数数列列成成立立。就就是是说说，收收敛敛定定理理在在所所谓谓的的完完全全，是是指指gfgfILgfILSchwarz ),(),()(12且且，则则乘乘积积设设不不等等式式)5.2()()()()()()(,)(00 babadxxxfdxxxfICx
9、fbabaIIC ，用用分分部部积积分分法法，有有和和任任意意函函数数一一次次连连续续可可微微的的于于零零的的函函数数类类。对对于于任任一一与与具具体体函函数数有有关关）等等于于某某一一邻邻域域内内（邻邻域域大大小小的的无无穷穷次次可可微微，且且在在端端点点表表示示于于用用广义导数概念广义导数概念)()()()()6.2()()()()()()()(022xgdxdfxfxgIxfICdxxxfdxxxgILgILfbaba ，记记为为有有广广义义导导数数于于恒恒成成立立，则则说说，对对任任意意，使使等等式式，若若存存在在设设 一一定定成成立立。导导数数，相相反反的的结结论论则则不不在在广广义
10、义意意义义下下的的也也是是，则则导导数数的的在在通通常常意意义义下下有有属属于于显显然然，若若)()()()()(2xfxfxfILxf 的的广广义义导导数数计计算算例例xxf)(1的的广广义义导导数数。就就是是其其中中对对任任意意解解：)(10,1,01,1)(,)()()()()()()(),(1101100110110 xfxxxgdxxxgdxxdxxdxxxdxxxdxxxIC 引理引理2.1 （变分法基本引理）（变分法基本引理）。几几乎乎处处处处为为则则对对任任意意设设0)(),(,0)()()(02xfICdxxxfILfba .0)(0)(0),()(0)(.0)()(0000
11、内内也也大大于于邻邻域域充充分分小小的的必必在在，则则由由连连续续性性例例如如，不不等等于于于于，不不妨妨设设假假若若事事实实上上就就证证明明引引理理。这这时时只只就就证证明明bxxxaxxfxfbaxxfxfxfICf 与与假假设设矛矛盾盾。），且且（则则在在别别处处取取0)(1exp()()()(,0,),)(1exp()(2020020200 dxxxxfdxxxfICxxxxxbaxx 导导数数几几乎乎处处处处相相等等。的的不不同同的的广广义义可可以以证证明明利利用用变变分分法法的的基基本本引引理理)(xf?10,1010)(2是是否否有有广广义义导导数数，讨讨论论阶阶梯梯函函数数例例
12、 xxxf.)7.2()()()0(,),(,).()()()(),0()()()()()()()(011220101111）（对对任任意意不不等等式式则则由由实实际际上上不不属属于于函函数数。今今证证函函数数，称称为为从从而而）（对对任任意意，则则有有广广义义导导数数假假设设解解：ICgdxxxgSchwarzILgILxgDiracxxgICdxxdxxxfdxxxgxgxf ，就就导导致致矛矛盾盾。并并令令以以此此代代入入），（则则在在别别处处当当，取取特特别别对对0)7.2()0(0)12exp(2)/(12exp(,)0()(,0,),)/(11exp()()(1010222102
13、dttdxxeICxxxxx 1)(0,0,0)()2(dttttt 定定义义：，起起重重要要作作用用。量量和和集集中中量量之之间间关关系系时时源源等等。在在讨讨论论连连续续分分布布荷荷、点点质质量量、点点热热理理上上集集中中的的量量，如如点点电电函函数数的的引引入入：反反映映了了物物函函数数）单单位位脉脉冲冲函函数数（1)(,0),(dxxxx 则则于坐标原点于坐标原点只有一个单位质量集中只有一个单位质量集中设线密度为设线密度为其示意图，曲线的峰无限高，但无限窄，但曲线下的面积为其示意图，曲线的峰无限高，但无限窄，但曲线下的面积为1。为偶函数。为偶函数。这种函数的提出首先是物理的要求，如质点
14、概念，有质量，体这种函数的提出首先是物理的要求，如质点概念，有质量，体积为零，所以密度为无穷，但密度对体积的积分却是一个有限积为零，所以密度为无穷，但密度对体积的积分却是一个有限值，即质量。可以用这种函数描述质点密度值，即质量。可以用这种函数描述质点密度。t)(t Sobolev空间空间空空间间。空空间间，称称之之为为因因此此是是）是是完完全全的的内内积积空空间间，（可可以以证证明明，和和范范数数内内积积）引引进进（于于）是是线线性性空空间间。（的的广广义义导导数数。显显然然是是其其中中）（定定义义SobolevHilbertIH).(dx)ff()f,f(f).(dxgffg)g,f(IHI
15、Hff)I(Lf),I(LffIHbaba12122111112219282 .),(),()(0)9.2()(),()8.2()()(),(00202102)(0)()(ffgfgfILIHmdxxffffdxxgxfgfIHSobolevmmkbakmmmkbakkmm 空空间间，）就就是是（时时，当当和和范范数数内内积积）（空空间间阶阶的的同同样样可可定定义义 。或或的的子子空空间间，记记为为的的函函数数类类构构成成，件件中中所所有有满满足足齐齐次次边边界界条条极极小小位位能能原原理理101011)()(0)(,0)0()2.2()(3.2HIHIHluuIH )(min)()4.2(1
16、0*10*10uJuJHuHHu 使使精精确确地地叙叙述述为为：求求把把问问题题间间。我我们们可可以以就就是是我我们们要要找找的的函函数数空空 lldxdxduTudxdxudTuLuWdxudTLuuJ0222022)(21)(21),(21)(内内则则微微分分算算子子的的结结构构，引引进进我我们们进进一一步步分分析析位位能能 数数。相相应应的的二二次次泛泛函函或或泛泛函函和和边边值值问问题题为为亦亦称称的的有有相相似似的的结结构构，我我们们和和便便知知比比较较与与于于是是外外)2.2).(1.2()()()(:)1.1(),(),(21)(),(100uJxJuJbfALRHufuLuuJ
17、fudxufWnl 例子1 等等价价的的变变分分问问题题。试试建建立立与与两两点点边边值值问问题题例例)12.2(0)(,0)()11.2(),(,)(1 buaubaxfqudxdupdxdLudxfudxqudxdxdupdxfudxqudxdxdupudxdupdxfudxquudxdxdupdxdufuLuuJbabababababababababa 2222221)(21)(21)(21),(),(21)(构构造造泛泛函函数数解解 ）（使使求求相相应应的的变变分分问问题题：成成的的子子空空间间。考考虑虑和和的的函函数数组组中中满满足足左左边边值值条条件件为为设设便便得得令令15.2)
18、(min)()12.2)(11.2(0)()14.2(),(),(21)()13.2(),(1*1*11uJuJHuauHHufuuauJdxquvdxdvdxdupvuaEHuEEba 或或双双线线性性形形式式。，所所以以称称为为双双线线性性泛泛函函是是常常数数都都是是线线性性泛泛函函，即即分分别别对对显显然然),(),(),(),(),(),(),(,),(212211221122112211ccvuacvuacvcvcuavuacvuacvucucavuvua 的的对对称称性性决决定定的的。的的对对称称性性是是由由微微分分算算子子，对对任任意意是是对对称称形形式式，即即首首先先LvuaI
19、Hvuuvavuavua),().(,),(),(),()11 两个基本性质两个基本性质.)17.2(),(),(),(,)16.2(),()(),(),12.2(),(,2称称为为对对称称算算子子如如此此的的以以后后，等等式式右右端端不不变变，所所对对调调则则且且满满足足边边值值条条件件设设LLvuuLvvLuvuvuadxquvdxdvdxdupdxquvvdxdupdxdvLuIcvubaba )18.2()()(),(2min22 babadxdxdupdxqudxdupuua其其次次 babaxababaxaxaxaxaxaxaEdttuabdttudxaxdxdttuaxdxxud
20、ttuaxdttudtdttuxuSchwarzdttuxuHu2222222212212221)()(21)()()()()()()()()1()()(,)()(不不等等式式则则由由可可表表为为如如果果注注意意到到任任一一 121min221222222)20.2(,),(,)19.2(),18.2(.0)(1,21min()19.2()(21)()(1)()(21)(EbababababaHuuuuapabudxxudxxuabdxxudxxudxxu 对对任任意意得得并并令令联联结结其其中中因因而而 是是正正定定算算子子。因因此此也也说说得得时时，由由且且满满足足边边值值条条件件特特别别
21、当当。的的双双线线性性形形式式为为正正定定的的我我们们称称满满足足不不等等式式LuuLuICu212),()20.2(,)16.2()12.2()()20.2(为为连连续续性性条条件件。无无关关常常数数。称称是是与与）（满满足足不不等等式式不不等等式式知知最最后后，由由)21.2(,21.2,),(),(111vuMHvuvuMvuavuaSchwarz )22.2).(,(2),(),()()(),(),(),(),(2),(),(2),(21),(),(21)()()15.2(2*2*1vvavfvuauJvuvfufvvauvavuauuavufvuvuavuJHvE 的的对对称称性性，
22、得得由由的的函函数数实实变变量量考考虑虑。任任取取现现在在回回到到变变分分问问题题定理定理2.1.)12.2(),11.2(,)()()12.2(),11.2(),(*12*2*的的解解是是边边值值问问题题则则达达到到极极小小值值使使达达到到极极小小值值；反反之之，若若使使则则的的解解，是是边边值值问问题题设设uuJHCuuJuCuICfE ).()()()()23.2(),(),(*112*bvbubpvdxfuLvdxfqudxdupdxdvdxdupdxfvvqudxdvdxdupvfvuaHvHCubabababaEE 时时，注注意意当当证证明明.)()(),(2)()(0,),()2
23、2.2()23.2(,0),(),()0(,0)(,0)12.2)(11.2(*2*1*达达到到极极小小值值使使这这说说明明时时的的正正定定性性，当当及及），由由（注注意意对对任任意意从从而而的的解解，则则是是边边值值问问题题如如果果uJuuJvvauJvuJvovuaHvvfvuabufLuuE 1*,0).()()(24.2),(),()0()23.2)(22.2(.)(EbaHvbvbubpvdxfuLvfvuauJu 对对任任意意）（得得则则由由达达到到极极小小值值使使反反之之，若若 0)(0)(,)(0)(,0).()()()24.2(0).(,0)(*11*0*0 buubvHva
24、xxvbpHvbvbubpfLuuICvvdxfuLICvEEba必必须须满满足足右右边边条条件件可可见见，且且则则，取取注注意意对对任任意意化化为为于于是是满满足足方方程程根根据据变变分分法法基基本本引引理理，对对任任意意，则则特特别别取取为为极极小小位位能能原原理理。所所以以也也称称定定理理恒恒表表示示能能量量，二二次次泛泛函函因因为为在在力力学学、物物理理学学中中1.2)(uJ边边值值条条件件。该该条条件件，因因此此称称为为自自然然足足取取极极小小值值，则则它它必必然然满满使使数数件件提提出出，只只要要函函后后者者不不必必对对函函数数作作为为条条质质边边值值条条件件称称为为强强制制边边值
25、值条条件件或或本本在在的的函函数数类类上上，必必须须强强加加在在变变分分问问题题所所有有重重要要区区别别，前前者者右右边边值值条条件件和和知知道道左左边边值值条条件件从从定定理理)()(.0)(0)(1.2*uJxubuau 非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理等等价价的的变变分分问问题题。值值问问题题试试建建立立与与非非齐齐次次两两点点边边例例 )(,)(),(,)(2buaubaxfqudxdupdxdLu 0)(,0)(),(,)()()()()(,)(),()()(bvavbaxqwdxdwpdxdfqvdxdvpdxdLuvaxxwbwawxvxwxu满满足足则则此此题题其其中中
26、一一般般令令件件齐齐次次化化，方方法法之之一一是是先先使使边边界界条条解解 2.4 2.4 虚功原理虚功原理 bababafvdxvdxqudxdupdxdLuvdxbaxfqudxdupdxdLubav)()11.2(),(,)(,)11.2(积积分分，得得两两端端，沿沿区区间间乘乘方方程程以以0)(dxfvquvdxdvdxdupfvdxquvdxdxdxdvdxdupfvdxquvdxdxdxdvdxdupvdxdupfvdxvdxqudxdupdxdbabababababababababa 的的变变分分形形式式。这这是是边边值值问问题题则则上上式式可可写写成成，的的表表达达式式注注意意
27、到到双双线线性性形形式式)12.2(),11.2()26.2(0),(),()13.2(),(vfvuavua。反反之之亦亦然然。满满足足的的解解，则则对对任任意意是是边边值值问问题题假假若若左左端端，方方程程根根据据，对对)26.2(,)12.2(),11.2().()()(),(),()26.2()23.2(1112uHvubvbubpvdxfuLvfvuaHvHCuEbaEE 定理定理2.2112,0),().()27.2()12.2(),11.2(,EEHvvfvuaHuuCu 对对任任意意且且满满足足变变分分方方程程充充要要条条件件是是：的的解解的的是是边边值值问问题题则则设设问问题
28、题的的广广义义解解。称称这这样样的的解解为为边边值值还还允允许许非非古古典典解解，我我们们变变分分方方程程的的解解像像位位能能原原理理一一样样，是是变变分分方方程程，它它也也是是边边值值问问题题的的古古典典解解时时为为虚虚功功原原理理。当当称称定定理理左左端端表表示示虚虚功功，所所以以也也在在力力学学里里，)27.2()27.2(2.2)27.2(u定理定理2.3 0)(,0)()(,2buaufqudxdurdxdupdxdLuuCu满满足足则则设设.,0,),(,0),(),(2min1112LfCqpCpdxquvvdvdurdvdvdvdupvuaHvvfvuaHCuEE 其其中中对对
29、任任意意且且满满足足变变分分方方程程：的的充充要要条条件件是是：3 3 二阶椭圆型边值问题二阶椭圆型边值问题.,.),(,0),(),(),()(1.3的的某某一一邻邻域域内内恒恒等等于于零零数数必必在在具具有有紧紧致致支支集集的的函函显显然然具具有有紧紧致致支支集集于于，则则说说的的支支集集如如果果支支集集包包的的闭闭称称集集合合，上上的的任任一一函函数数闭闭包包，对对于于是是线线，是是按按段段光光滑滑的的简简单单闭闭曲曲界界是是有有界界平平面面区区域域，其其边边本本节节总总假假定定空空间间 GuGuuGyxyxuyxyxuGGGGGGHSobolevm21220),(),(dxdyffff
30、dxdygfgfGGLGGCGG 和和范范数数内内积积函函数数空空间间，上上的的平平方方可可积积的的可可测测）是是定定义义在在（函函数数类类，支支集集的的无无穷穷次次可可微微并并具具有有紧紧致致）表表示示于于（用用dxdyyfdxdyhdxdyxfdxdygGLhgGLfGGGG ）使使等等式式（如如果果存存在在）（对对22,导导数数。类类似似地地可可定定义义高高阶阶广广义义，记记成成的的一一阶阶广广义义导导数数和和对对的的一一阶阶广广义义导导数数有有对对成成立立，则则说说对对任任意意hyffgxffhygxfGCyx )(0 空空间间。空空间间，称称之之为为）是是（则则和和范范数数内内积积）
31、引引进进（的的广广义义导导数数。于于是是其其中中）（像像一一维维情情形形一一样样，定定义义SobolevHilbertGHffffffdxdygfgffggfGHfffGLfffyxfGHyxGyyGxxyxyx121222111121)2.3()(),()1.3(),(,)(,),(是是非非负负整整数数。）（空空间间及及类类似似可可以以定定义义高高阶阶导导数数mGHSobolevm,我们学习过我们学习过Green第一公式：第一公式：的的方方向向导导数数。沿沿是是单单位位外外法法向向，的的取取正正向向的的边边界界曲曲线线的的是是其其中中有有有有二二阶阶连连续续偏偏导导数数，则则在在上上及及函函
32、数数围围成成，由由分分段段光光滑滑的的曲曲线线闭闭区区域域设设nunuDnvdsnudxdyyvyuxvxudxdyvuyxvyxuLDLDD )()(),(),(3.2 3.2 极小位能原理极小位能原理dsnuvdxdyyvyuxvxudsynyuvxnxuvdxdyyvyuxvxudxdyyuvyxuvxdxdyyvyuxvxuvdxdyuyvyuyuvyvyuxvxuxuvxvxuvdxdyyuxuvdxdyuGGGGGGG )(),cos(),cos()()()()()()(,)()(22222222注注意意证证明明：。算算子子是是其其中中题题考考虑虑方方程程的的第第一一边边值值问问2
33、222)4.3(,0)3.3(),(),(yxLaplaceuGyxyxfu GGGGGGudxdyfdxdyyuyuxuxuudxdyfudSnudxdyyuyuxuxuudxdyfudxdyuufuuuJ)(21)(21)(21),(),(21)(作作泛泛函函)9.3),(),(21)()8.3()(),(（可可将将泛泛函函写写成成定定义义双双线线性性形形式式ufuuauJdxdyyvyuxvxuvuaG .)4.3()()()4.3(.)()(),()(11021的的函函数数组组成成的的子子空空间间满满足足中中一一切切表表示示。以以下下用用边边值值条条件件满满足足第第一一此此外外要要求求
34、有有意意义义，则则表表示示位位能能。只只要要在在力力学学上上，GHGHuuJGLfGHuuJ ).(,),(),(.)1(1GHvuuvavua ，对对任任意意即即对对称称性性两个基本性质两个基本性质正正定定。这这说说明明无无关关的的常常数数。于于是是是是和和其其中中类类似似，可可建建立立不不等等式式与与对对于于正正定定性性),()12.3()(,),(0)11.3()(,)19.2()()(),().(.)2(1021102122222210uuaGHuuuuauGHuuuuuudxdyyuxuuuaGHuyxyxG 为为对对称称正正定定算算子子。对对称称正正定定，也也称称由由于于，件件）满
35、满足足不不等等式式（连连续续性性条条其其次次，对对于于 ),()13.3(),(),().(,211vuavuvuavuaGHvu)15.3(.0),(),(),()8.3(),7.3()()()22.2()14.3(),(2),(),()(),(),(21)()().(,*12*2*1*ufuufuuaGHGCuuuaufuuauJuufuuuuuuJGHvu得得出出，则则由由进进一一步步假假设设有有完完全全相相同同的的形形式式。它它和和的的函函数数考考虑虑实实参参数数对对于于 的的解解。时时，必必为为当当其其属属于于，达达到到极极小小值值的的类类似似，可可证证明明使使与与定定理理达达到到极
36、极小小值值。使使这这说说明明对对任任意意从从而而对对任任意意则则的的解解是是边边值值问问题题设设)4.3(),3.3()()()(1.2)(0),(,0)14.3()(),(2)()()(0),(),(),()0(,)4.3(),3.3(12*10*2*10*GHGCuuJuJuGHuuuJuuauJuuJGHuufuufuuau 定理定理3.1.()4.3(),3.3(,)()()()()4.3(),3.3()(*12*2*古古典典解解）的的解解是是边边值值问问题题则则达达到到极极小小值值使使达达到到极极小小值值；反反之之，若若使使则则的的解解，是是边边值值问问题题设设uuJGHGCuuJu
37、GCuE 为为极极小小位位能能原原理理。所所以以也也称称定定理理恒恒表表示示能能量量，二二次次泛泛函函因因为为在在力力学学、物物理理学学中中1.3)(uJ广广义义解解。问问题题的的的的解解，我我们们称称之之为为边边值值还还允允许许不不属属于于），而而变变分分问问题题（要要求求注注意意定定理理)(10.3)(1.322*GCGCu 导导出出等等价价的的变变分分问问题题。方方程程的的非非齐齐次次边边值值条条件件考考虑虑例例 )16.3()(),()3.3(),(),(11CyxuGyxyxfuPoisson 000200),(),(21)(0),(),(),(),(),(ufFvFvvvJvufv
38、yxuGCuyxuyxuyxv 其其中中构构造造的的二二次次泛泛函函则则满满足足方方程程：其其中中令令。非非齐齐次次边边界界条条件件齐齐次次化化解解.2)()(21)()()(21)()()(21)()(21)(000220020200220常常数数 GGGGGGGGGGudxdyudxdyyuyuxuxuudxdyfdxdyfuyuxudxdyuuufdxdyyuyuxuxuvdxdyufdxdyyvxvvdxdyufvdxdyvvJ.)17.3()(min)()(min)()()(.0*)(*00000110uuvuJuJvJvJuJvJdsnudsnuudxdyyuyuxuxuudxdy
39、uGreenuGHuHvGG 等等价价，且且和和由由此此可可见见，变变分分问问题题常常数数足足见见常常数数第第一一公公式式由由 3.33.3自然边界条件自然边界条件导导出出等等价价的的变变分分问问题题。方方程程的的第第三三边边值值条条件件考考虑虑例例 )18.3(0,0)3.3(),(),(2aaunuGyxyxfuPoisson GGGGfudxdydsaudxdyyuxufudxdydsnuudxdyyuxuufuuuJGreen2222221)()(2121)()(21),(),(21)(第第一一公公式式由由解解 )21.3()(),(),(),()6.3()()()20.3(),(),
40、(21)()19.3(,),(*12 udsnuauufuaufuuaGHuGCuufuuauJauvdsdxdyyvyuxvxuvuaG，我我们们有有由由公公式式，设设定定义义。由由其其中中的的函函数数考考虑虑实实参参数数)19.3(),()22.3(),(2),(),()(),(),(21)(,),()(*2*1*uuauuaufuuauJuufuuuuGHvuuuJ 定理定理3.2的的解解。题题，则则也也是是边边值值问问反反之之，变变分分问问题题的的解解使使问问题题的的解解：求求是是下下列列变变分分的的解解边边值值问问题题)184.3(),3.3()()23.2()(min)()()18
41、.3(),3.3(2*1*2*1GCuuJuJHuGCuHu 题题的的广广义义解解。变变分分问问题题则则称称为为边边值值问问是是若若)23.3()(2*GCu 件件。边边值值条条件件为为自自然然边边值值条条值值条条件件。而而第第二二、第第三三件件为为本本质质边边。我我们们称称第第一一类类边边值值条条类类边边值值条条件件的的重重大大区区别别条条件件与与第第一一，这这是是第第二二、第第三三边边值值却却自自动动满满足足的的解解它它满满足足任任何何边边值值条条件件，而而并并不不要要求求注注意意：变变分分问问题题)18.3()23.3(*uu3.4 3.4 虚功原理虚功原理导导出出等等价价的的变变分分问
42、问题题。条条件件：上上满满足足第第二二或或第第三三边边值值在在上上满满足足第第一一边边值值条条件件：在在。和和分分成成不不相相交交的的两两部部分分：如如图图，设设边边界界的的混混合合边边值值问问题题。方方程程考考虑虑)25.3(0,0)24.3(0)3.3(212121 aaunuuPoissonG2 1)29.3(0),(),()26.3()(),(0)(0)()26.3(0)()3.3(22 vfvuaauvdsdxdyyvyuxvxuvuafvdxdyauvdsdxdyyvyuxvxufvdxdyvdsnudxdyyvyuxvxudxdyfvvuGvGGGGGG写写成成则则可可将将定定义
43、义双双线线性性形形式式上上积积分分，得得两两端端并并在在乘乘方方程程以以.3.3)30.3()(),(),()6.3(),().29.3(.)24.3()()(2121111推推出出定定理理与与定定理理的的证证法法类类似似，可可得得则则由由设设满满足足对对一一切切，使使求求今今提提如如下下变变分分问问题题：的的函函数数组组成成的的子子空空间间中中满满足足第第一一边边值值条条件件表表示示以以vdsaunuvdxdyfuvfvuaHvGCuHvuHuGHGHGEEEE 为为虚虚功功原原理理。亦亦称称定定理理，故故左左端端在在力力学学中中表表示示虚虚功功因因为为方方程程满满足足变变分分，且且对对任任
44、意意的的充充要要条条件件是是：满满足足，则则设设定定理理3.3)29.3().29.3()25.3(),24.3(),3.3()(3.3112EEHvHuuGCu .二次函数的极值、变分法的基本引理，二次函数的极值、变分法的基本引理，二次泛函、广义导数与二次泛函、广义导数与Sobolev空间的概念；空间的概念；.极小位能原理与虚功原理；两个定理极小位能原理与虚功原理；两个定理在偏微分方程中的应用；在偏微分方程中的应用；（重点重点）.如何用极小位能原理与虚功原理将微分如何用极小位能原理与虚功原理将微分方程建立等价的变分问题方程建立等价的变分问题（难点难点）主要内容主要内容重点：重点：难点：难点：
45、极小位能原理与虚功原理极小位能原理与虚功原理如何利用极小位能原理与虚功原理将微分如何利用极小位能原理与虚功原理将微分方程建立等价的变分问题方程建立等价的变分问题G.Green(G.Green(格林格林)简介简介 1793.7.14生于诺丁汉，生于诺丁汉，1841.5.31卒于剑卒于剑 桥桥童年在父亲的磨坊干活；同时自修数学、物理；童年在父亲的磨坊干活；同时自修数学、物理；32岁，出版了小册子岁，出版了小册子数学分析在电磁学中的数学分析在电磁学中的应用应用，其中有著名的，其中有著名的Green公式。公式。父亲去世后，父亲去世后，1833年以自费生的身份进入剑桥大年以自费生的身份进入剑桥大学科尼斯学院学习，学科尼斯学院学习，1837年获学士学位，年获学士学位，1839年年聘为剑桥大学教授。在数学物理方面有出色成就。聘为剑桥大学教授。在数学物理方面有出色成就。他是第一个沿欧洲大陆的研究方法前进英国数学他是第一个沿欧洲大陆的研究方法前进英国数学家，其工作开创了庞大的剑桥物理学派。家，其工作开创了庞大的剑桥物理学派。Stokes,Thomson,Maxwell等等
