1、2022-12-1712022-12-171第第2章章 通信信号分析通信信号分析本章主要内容：本章主要内容：2.1 确知信号分析方法确知信号分析方法2.2 随机信号分析方法随机信号分析方法2.3 随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统12022-12-1722022-12-172 通信信号的通信信号的分类方法分类方法：1.从信号在从信号在时间和幅度时间和幅度上连续或离散的特点，可以上连续或离散的特点，可以分为模拟信号和数字信号；分为模拟信号和数字信号；2.从信号是否可以用明确的从信号是否可以用明确的表达式表达式表示，可以分为表示，可以分为确知信号确知信号（Deterministic Sign
2、al）和）和随机信号随机信号（Random Signal）。确知信号又可以分为周期信）。确知信号又可以分为周期信号和非周期信号。号和非周期信号。3.从信号中是否从信号中是否携带有用信息携带有用信息，可以分为有用信号，可以分为有用信号和噪声信号。和噪声信号。22.1 确知信号分析方法确知信号分析方法2022-12-1732022-12-173 有意义的通信信号应具有有意义的通信信号应具有随机性随机性，但是其中也会，但是其中也会存在确知信号。存在确知信号。（如表示每个数字符号的信号是确知的，另外传（如表示每个数字符号的信号是确知的，另外传输中的有些信号如导频信号本身也是确知信号）。输中的有些信号如
3、导频信号本身也是确知信号）。确知信号和随机信号分析都很必要确知信号和随机信号分析都很必要。确知信号确知信号是指其取值在任何时间都是确定的和可是指其取值在任何时间都是确定的和可预知的信号，通常可以用数学公式表示预知的信号，通常可以用数学公式表示。随机信号随机信号则无法用明确的数学式表示则无法用明确的数学式表示。32.1 确知信号分析方法确知信号分析方法2022-12-1742022-12-174 信号的基本分析方法有信号的基本分析方法有时域分析法时域分析法和和频域分析法频域分析法。1.1.时域分析法时域分析法具有直观体现信号波形的特点，频具有直观体现信号波形的特点，频域分析法则更有利于揭示信号内
4、在的频率特性，从而域分析法则更有利于揭示信号内在的频率特性，从而与通信中信号的频谱、带宽、滤波、调制、频分复用与通信中信号的频谱、带宽、滤波、调制、频分复用等概念相联系。等概念相联系。2.2.在在频域分析法频域分析法中，傅里叶变换是重要的理论基中，傅里叶变换是重要的理论基础和数学工具。对于随机信号分析，还需要用到概率础和数学工具。对于随机信号分析，还需要用到概率论和数理统计。论和数理统计。本节主要讨论信号的频域分析，包括频谱密度、本节主要讨论信号的频域分析，包括频谱密度、功率密度、能量谱密度以及希尔伯特变换。功率密度、能量谱密度以及希尔伯特变换。42.1 确知信号分析方法确知信号分析方法202
5、2-12-1752022-12-175 1 1周期信号和非周期信号周期信号和非周期信号 周期信号和非周期信号、能量信号和功率信号。周期信号和非周期信号、能量信号和功率信号。确知信号有周期的，也有非周期的。确知信号有周期的，也有非周期的。随机信号通常是非周期的。随机信号通常是非周期的。周期信号周期信号是指经过一定时间重复出现的信号。是指经过一定时间重复出现的信号。非周期信号非周期信号不具有周而复始重复的特性。不具有周而复始重复的特性。52.1.1 信号的频谱和频谱密度信号的频谱和频谱密度()()f tf tkT，0,1,2,k 2022-12-1762022-12-176信号信号 的能量的能量E
6、和功率和功率P。2.1.1 信号的频谱和频谱密度信号的频谱和频谱密度 若信号能量有限，即若信号能量有限，即 ，此，此时时 ，则称此信号为则称此信号为能量信号能量信号。若若 ，但信号功率有限，即但信号功率有限，即 ，则称此信号为则称此信号为功率信号功率信号。E00PE P0()f t22lim()()TTTEft dtft dt21lim()2TTTPft dtT2022-12-1772022-12-177 72.1.1 信号的频谱和频谱密度信号的频谱和频谱密度各类信号之间的关系各类信号之间的关系：确知的周期信号和随机信号是功率信号；确知的周期信号和随机信号是功率信号；确知的非周期信号可能是功率
7、信号，也可能是确知的非周期信号可能是功率信号，也可能是能量信号。能量信号。反过来说，功率信号可以是确知的周期、非周反过来说，功率信号可以是确知的周期、非周期信号或随机信号，能量信号是非周期信号。期信号或随机信号，能量信号是非周期信号。2022-12-1782022-12-178确知信号的频率特性由其各个频率分量的分布确知信号的频率特性由其各个频率分量的分布表示。表示。信号的信号的频率特性频率特性具体分为：具体分为：频谱、频谱密度、功率谱密度、能量谱密度。频谱、频谱密度、功率谱密度、能量谱密度。大多数功率信号是周期信号，以下分析功率信大多数功率信号是周期信号，以下分析功率信号时均假设为周期信号，
8、频谱与傅里叶级数的系数号时均假设为周期信号，频谱与傅里叶级数的系数有关。有关。2.1.1 信号的频谱和频谱密度信号的频谱和频谱密度2022-12-1792022-12-179 9 2傅里叶级数傅里叶级数 任何周期为任何周期为T 的周期数的周期数 ，在满足狄里赫利在满足狄里赫利条件时，可以由条件时，可以由三角傅里叶级数三角傅里叶级数表示表示。式中式中 ，2.1.1 信号的频谱和频谱密度信号的频谱和频谱密度 tf 011cos.cos.sin.sin.2nnaf tatan tbtbn t dttfTaTtt1120 dttntfTaTttncos211 dttntfTbTttnsin211202
9、2-12-17102022-12-171010将式中同频率项合并，可写成将式中同频率项合并，可写成还可以由还可以由指数傅里叶级数指数傅里叶级数表示表示：复振幅复振幅 2.1.1 信号的频谱和频谱密度信号的频谱和频谱密度)51.2(cos2)(10nnntnAatf22()nnnnnnAabbarctga jn tnnf tc enc2022-12-17112022-12-1711113功率信号的频谱功率信号的频谱 三角傅里叶级数和指数傅里叶级数都是将一三角傅里叶级数和指数傅里叶级数都是将一个周期信号表示为直流分量和各次谐波分量之和。个周期信号表示为直流分量和各次谐波分量之和。将各分量的振幅将各
10、分量的振幅 和相位和相位 ；或各分量的；或各分量的复振幅，绘成图就得到周期信号的复振幅，绘成图就得到周期信号的频谱图频谱图。具体包括具体包括幅度谱幅度谱、相位谱相位谱、复数振幅谱复数振幅谱。2.1.1 信号的频谱和频谱密度信号的频谱和频谱密度nAn2022-12-17122022-12-171212 例例：脉冲宽度为脉冲宽度为 ，周期为周期为 ，幅度为幅度为 的周期性的周期性矩形脉冲。信号在一个周期内的表达式为矩形脉冲。信号在一个周期内的表达式为 设设 ，用用Matlab绘制出频谱绘制出频谱图图。2.1.1 信号的频谱和频谱密度信号的频谱和频谱密度TE 220Etf telset 5T1202
11、2-12-17132022-12-171313 图图2-1 周期信号的单边幅度谱和相位谱周期信号的单边幅度谱和相位谱 （a）周期性矩形脉冲信号；（）周期性矩形脉冲信号；（b）单边幅度谱；（）单边幅度谱；（c）单边相位谱）单边相位谱 2.1.1 信号的频谱和频谱密度信号的频谱和频谱密度2022-12-17142022-12-171414指数傅里叶级数表示指数傅里叶级数表示式式：图图2-2 周期信号的双边幅度谱和相位谱周期信号的双边幅度谱和相位谱 （a）双边幅度谱；（）双边幅度谱；（b）双边相位谱）双边相位谱 2.1.1 信号的频谱和频谱密度信号的频谱和频谱密度0-10()a()bnCn5 5 s
12、in222nn tEECSa nTn tT2022-12-17152022-12-171515 周期信号频谱具有周期信号频谱具有三个特点三个特点：离散性、谐波性和收敛性离散性、谐波性和收敛性。周期信号由于谐波振幅具有收敛性，信号能周期信号由于谐波振幅具有收敛性，信号能量的量的主要集中在主要集中在低频分量中低频分量中。可以将信号的可以将信号的频带宽度频带宽度定义为定义为：从零频率开始到需保留的最高频率分量之间从零频率开始到需保留的最高频率分量之间的频率范围的频率范围。第一零点带宽第一零点带宽2.1.1 信号的频谱和频谱密度信号的频谱和频谱密度2022-12-17162022-12-1716164
13、能量能量信号的频谱信号的频谱密度密度 能量信号通常是非周期信号，非周期信号不能量信号通常是非周期信号，非周期信号不能直接用傅里叶级数表示。能直接用傅里叶级数表示。设能量信号设能量信号 的傅里叶变换为的傅里叶变换为 。还可表示为还可表示为 频谱密度函数。频谱密度函数。2.1.1 信号的频谱和频谱密度信号的频谱和频谱密度jF f t 112j tj tF jF f tf t edtf tFF jF jed jF jF je jF 频谱函数的模，表示非周期信号中各频频谱函数的模，表示非周期信号中各频率分量幅值的率分量幅值的相对大小相对大小。F j2022-12-17172022-12-171717
14、非周期信号的非周期信号的幅度谱幅度谱。非周期信号的非周期信号的相位谱相位谱。例：例：求单个矩形脉冲信号的频谱。求单个矩形脉冲信号的频谱。矩形脉冲信号表达式矩形脉冲信号表达式 频谱函数频谱函数2.1.1 信号的频谱和频谱密度信号的频谱和频谱密度F j 202Etf tt 22sin/2/2/2j tj tFjf t edtEedtEE Sa2022-12-17182022-12-171818例例：求单位冲激信号的频谱。：求单位冲激信号的频谱。解：时域表达式解：时域表达式 傅里叶变换为傅里叶变换为 2.1.1 信号的频谱和频谱密度信号的频谱和频谱密度 1j tFjt edtt dt f tt 单位
15、冲激函数的单位冲激函数的频谱在整个频率区间频谱在整个频率区间是均匀的，这样的频是均匀的，这样的频谱常称为谱常称为“均匀谱均匀谱”或或“白色谱白色谱”。图图2-4 2-4 冲激信号的频谱冲激信号的频谱(a a)冲激信号时域波形；冲激信号时域波形；(b b)冲激信号频谱密度函数冲激信号频谱密度函数2022-12-17192022-12-171919 和和 的主要的主要区别区别有：有：（1）是连续谱，而是连续谱，而 是离散谱；是离散谱；（2）单位是幅度单位是幅度/频率，而频率，而 单位是幅度；单位是幅度；（这里都是指其频谱幅度）；（这里都是指其频谱幅度）；（3）能量信号的频谱连续地分布在频率轴上，）
16、能量信号的频谱连续地分布在频率轴上，每个频率点上的信号幅度是无穷小的。每个频率点上的信号幅度是无穷小的。周期性功率信号的频谱只有在离散的频率点上周期性功率信号的频谱只有在离散的频率点上有振幅，表示了信号各频率分量的大小。有振幅，表示了信号各频率分量的大小。2.1.1 信号的频谱和频谱密度信号的频谱和频谱密度FjnCFjnCF jnC2022-12-17202022-12-1720 1帕斯瓦尔（帕斯瓦尔（Parseval）定理）定理对于能量信号，在时域中计算的信号总能量，对于能量信号，在时域中计算的信号总能量，等于在频域中计算的信号总能量。即等于在频域中计算的信号总能量。即：称为称为能量谱能量谱
17、，它是沿频率轴的能量分布，它是沿频率轴的能量分布密度密度。对于周期性功率信号有对于周期性功率信号有 202.1.2 信号的功率谱密度和能量谱密度信号的功率谱密度和能量谱密度2221=()2Eft dtFdfFd（)（)22221()TTnnPft dtCT2()F2022-12-17212022-12-172121 2能量谱密度和功率谱密度能量谱密度和功率谱密度 在频域引入在频域引入“密度函数密度函数”的概念的概念：对密度函数积分就是总的能量或功率对密度函数积分就是总的能量或功率。对比对比 1212EGdfGdPPdfPd2.1.2 信号的功率谱密度和能量谱密度信号的功率谱密度和能量谱密度22
18、2()12Eft dtFdfFd（)（)22221()TTnnPft dtCT能量信号的能量信号的能量谱密度能量谱密度为为 2GFJ Hz周期性功率信号的周期性功率信号的功率谱密度功率谱密度 202nPCnW Hz 2022-12-17222022-12-17222.1.2 信号的功率谱密度和能量谱密度信号的功率谱密度和能量谱密度 对于对于非周期功率信号非周期功率信号，采用截短函数求极限：，采用截短函数求极限：根据能量信号帕斯瓦尔定理得，非周期功率根据能量信号帕斯瓦尔定理得，非周期功率信号的功率谱密度：信号的功率谱密度：和和 可直接写成可直接写成 和和 ，区别，区别只是在于横轴标记不同。只是在
19、于横轴标记不同。此外，此外，和和 既可以表示为既可以表示为单边谱单边谱，又，又可表示为可表示为双边谱双边谱。单边谱和双边谱是单边谱和双边谱是等价等价的两种表示方法。的两种表示方法。222211limlimTTTTTPft dtft dtTT 2limTTFPT P G fP fG P G2022-12-17232022-12-17232.1.2 信号的功率谱密度和能量谱密度信号的功率谱密度和能量谱密度例例：求脉宽为：求脉宽为 的单个矩形脉冲信号的能量谱密度。的单个矩形脉冲信号的能量谱密度。解：单个矩形脉冲的频谱解：单个矩形脉冲的频谱能量谱密度定义：能量谱密度定义：单个矩形脉冲的能量谱密度为：单
20、个矩形脉冲的能量谱密度为：/2E SaE Saf 2()()G fF f222()()G fE SafESaf 2022-12-17242022-12-17242.1.2 信号的功率谱密度和能量谱密度信号的功率谱密度和能量谱密度例例：求周期为：求周期为 、脉宽为、脉宽为 、幅度为、幅度为 的周期性矩的周期性矩 形脉冲的功率谱密度。形脉冲的功率谱密度。解：根据前面计算结果解：根据前面计算结果得到周期性矩形脉冲的功率谱密度如下：得到周期性矩形脉冲的功率谱密度如下：TEsin(2)2nEnCTn222222sin(2)()2()2()22sin(2)2()()()(2)()2nnnnnEnPCnnT
21、nEnEnSannTnT 2022-12-17252022-12-1725 希尔伯特变换在通信领域有着非常广泛的应希尔伯特变换在通信领域有着非常广泛的应用，它是信号分析与处理的用，它是信号分析与处理的重要工具重要工具。希尔伯特变换可以用于信号的调制与解调，希尔伯特变换可以用于信号的调制与解调，用来统一描述各种模拟调制方式的原理，揭示这用来统一描述各种模拟调制方式的原理，揭示这些方式之间的内在联系，简化理论分析。些方式之间的内在联系，简化理论分析。2.1.3 希尔伯特变换希尔伯特变换（Hilbert transform）2022-12-17262022-12-17262.1.3 希尔伯特变换（希
22、尔伯特变换（Hilbert transform）1 1希尔伯特变换的希尔伯特变换的定义定义 设实值函数设实值函数 ，其中，其中 ，它的希，它的希尔伯特变换定义为尔伯特变换定义为常记为常记为由于由于 是函数是函数 与与 的卷积积分，故可写成的卷积积分，故可写成 tf,t dtftf tfHtf tf tft1 ttftf12022-12-17272022-12-17272.移相移相 设设 ，由于，由于 ，因此因此 。由由得得 所以所以 是一个是一个 相移系统。相移系统。对正频率产生对正频率产生 的相移。的相移。对负频率产生对负频率产生 相移。相移。因此，希尔伯特变换又称为因此，希尔伯特变换又称为
23、 移相器移相器。2 fFfjfFsgn/1)(tFfFfF2.1.3 希尔伯特变换（希尔伯特变换（Hilbert transform）)()(tfFfF ttftf100,90,01sgn(),90,0jfFtjfjf)(fF2/2/2/2/2022-12-17282022-12-1728 2.2 随机信号分析方法随机信号分析方法2.2.1 随机过程随机过程1 1随机过程的一般概念随机过程的一般概念 随机过程随机过程可看成是一个由全部可能的实现构成的可看成是一个由全部可能的实现构成的总体，每个实现总体，每个实现(样本样本)都是一个确定的都是一个确定的时间函数时间函数。换个角度观察随机过程，它是
24、时间换个角度观察随机过程，它是时间t的函数，在任的函数，在任一时刻观察到的值是一个一时刻观察到的值是一个随机变量随机变量。2022-12-17292022-12-1729 2.2.1 随机过程随机过程定义定义1：随机过程是：随机过程是样本函数的全体样本函数的全体，用，用(t)表示。表示。其中其中xi(t)是样本函数。是样本函数。定义定义2：随机过程是：随机过程是随机变量随机变量关于时间的函数。在任关于时间的函数。在任意一个时刻意一个时刻t1上随机过程的函数值上随机过程的函数值(t1)是一个是一个随机变随机变量量。.,.,21txtxtxtn2022-12-17302022-12-17302 2
25、随机过程的统计特性描述随机过程的统计特性描述1 1）随机过程）随机过程 的一维概率分布函数的一维概率分布函数2 2）随机过程的一维概率密度函数）随机过程的一维概率密度函数3 3）随机过程的）随机过程的n n维概率分布函数维概率分布函数4 4）随机过程的）随机过程的n n维概率密度函数维概率密度函数 t 11111,Fx tptx 2.2.1 随机过程随机过程1111111,Fxtfxtx 12121122,.,;,.,.,nnnnnF x xx t ttPtxtxtx12121212,.,.,;,.,.nnnnnnFx xxfx xx t ttx xx 2022-12-17312022-12-
26、17313随机过程的数字特征随机过程的数字特征 1 1）数学期望）数学期望 随机过程的随机过程的数学期望数学期望是时间是时间t t的函数。的函数。a2(t)可以看成随机过程的可以看成随机过程的直流功率直流功率。2 2）方差）方差方差方差2(t)可以看作随机过程的可以看作随机过程的交流功率交流功率。平均功率平均功率 1 111;a tEtx fx t dx 2.2.1 随机过程随机过程22222()()()()()(;)()DtEtEtEta tx f x t dxt222()()()Eta tt2022-12-17322022-12-17323）自协方差函数自协方差函数B(t1,t2)与自相关
27、函数与自相关函数R(t1,t2)自协方差函数自协方差函数定义为定义为 当当B(t1,t2)=0，表示，表示X(t1)和和X(t2)线性不相关。线性不相关。定义前一项为定义前一项为自相关函数自相关函数R(t1,t2)12112211222121212,;,B t tEta tta txa txa tfx x t tdx dx 121212(,)B t tEtta ta t 1212122121212,;,R t tEttx x fx x t tdx dx 2.2 2.2.1.1 随机过程随机过程2022-12-17332022-12-17332.2.2 平稳随机过程1平稳随机过程概念平稳随机过程
28、概念 随机过程的平稳性分为严平稳和宽平稳。随机过程的平稳性分为严平稳和宽平稳。严平稳严平稳：任何任何n维分布函数或概率密度函数维分布函数或概率密度函数与时间起与时间起点无关点无关。严平稳又称为严平稳又称为严严格格平稳平稳或或狭义平稳狭义平稳。宽平稳又称为宽平稳又称为广义平稳广义平稳12121212,.,;,.,.,;,.,nnnnnnfx xx t ttfx xx ttt2022-12-17342022-12-1734 严平稳随机过程性质：严平稳随机过程性质：一维有一维有 与时间无关与时间无关。二维有二维有仅与时间间隔有关仅与时间间隔有关。严格平稳随机过程的数字特征的特点：严格平稳随机过程的数
29、字特征的特点：数学期望数学期望 ，常数常数。方差方差 ，常数常数。自相关函数自相关函数 仅是时间间隔仅是时间间隔的函数的函数。11111111,fxtfx tfx ；2121221212212,;,;,f x x t tf x x ttf x x;21tt adxxfxtE111 22111Dtx fxdx RttEttR1111,2.2.2 2.2.2 平稳随机过程平稳随机过程宽宽平稳平稳2022-12-17352022-12-17352 2各态历经的平稳随机过程各态历经的平稳随机过程 各态历经性各态历经性:平稳随机过程的一个样本函数在整个时间轴平稳随机过程的一个样本函数在整个时间轴上的上的
30、时间平均值时间平均值可以用来代替其可以用来代替其统计平均值统计平均值。2.2.2 平稳随机过程 21222221221121lim1lim1limTTTTTTTTTax t dtEtaTx tadtDtTRx t x tdtRT2022-12-17362022-12-1736例例：随机相位正弦波：随机相位正弦波(t)=sin(ct+)，其中，其中是是在在(02)内均匀分布的随机变量。求：内均匀分布的随机变量。求：（1）(t)是否广义平稳？是否广义平稳？（2）(t)是否具有各态历经性？是否具有各态历经性？202022001()()sin()sin()21(sincoscossin)21sinco
31、scossin02cccccca tEtEttdttdtdtd ，解：解：2.2.2 平稳随机过程2022-12-17372022-12-17372(,)()()sin()sin()sin()sin()cos()sin()cos()sin()cos()sin()sin()sin2()1cos()2()ccccccccccccccR t tEttEttEttEttEtEtR 2221()()()(0)()2DtEtEtRa t可见，随机相位正弦波满足广义平稳条件。可见，随机相位正弦波满足广义平稳条件。，2.2.2 平稳随机过程2022-12-17382022-12-1738221()limsin
32、()()0TTcTa ttdta tT2022021()sin()sin()11cos(22)cos()21cos()2()TTccTTcccRttdtTtdtTR 当当T趋近于无穷时趋近于无穷时，所以，随机相位正弦波是一个各态历经的随机过程。所以，随机相位正弦波是一个各态历经的随机过程。2.2.2 平稳随机过程2022-12-17392022-12-17393平稳随机过程的自相关函数的性质平稳随机过程的自相关函数的性质 平稳随机过程的自相关函数和时间平稳随机过程的自相关函数和时间t无关，只与无关，只与时间间隔时间间隔有关：有关：性质：性质：1)2)对偶性对偶性3)证明：证明：因为因为 非负非
33、负 所以所以 RR RR0 PtER20 REtt2.2.2 平稳随机过程2()()0Ett2222()2()()()()2 ()()()2(0)()0EttttEtEttEtRR (0)R(0)()RR2022-12-17402022-12-17404)4)证明：证明：当时间间隔很大时，可将当时间间隔很大时，可将(t)和和(t+)看成是统计独看成是统计独立的。立的。5)5)2(0)()RR 2()Ra 平平均均功功率率直直流流功功率率交交流流功功率率2.2.2 平稳随机过程22atEtEtEttER )()(lim)()()(lim)(lim 2022-12-17412022-12-1741
34、4 4功率谱密度功率谱密度非周期功率信号的功率谱公式非周期功率信号的功率谱公式 设随机过程一次实现的截断函数为设随机过程一次实现的截断函数为T(t)，它的，它的傅里叶变换为傅里叶变换为FT()，则该样本函数的功率谱为：，则该样本函数的功率谱为：随机过程的平均功率谱为：随机过程的平均功率谱为：平均功率为平均功率为:2()()limTsTFPT2()()limTTTFPT22()()()()limlimTTTTTFE FPE PETT011()()2TTPPdPd2.2.2 平稳随机过程平稳随机过程2022-12-17422022-12-17425维纳维纳辛钦定理辛钦定理 维纳维纳辛钦定理给出平稳
35、随机过程的自相关辛钦定理给出平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度的关系。函数与功率谱密度的关系。它们互为它们互为傅里叶变换对傅里叶变换对，即：，即：1()()()()F RPFPR2.2.2 2.2.2 平稳随机过程平稳随机过程2022-12-17432022-12-17431 1高斯分布高斯分布 高斯分布高斯分布是最常见和最重要的一种分布，一是最常见和最重要的一种分布，一维概率密度函数如下：维概率密度函数如下：求解误码率时，经常用到以下函数。求解误码率时，经常用到以下函数。误差函数：误差函数：补余误差函数：补余误差函数：221()()exp22xaf x2.2.2.2.3 3 高斯随机过程高
36、斯随机过程a()f xx202()exp()xerf xzdz22()1()exp()xerfc xerf xzdz 2022-12-17442022-12-1744 高斯过程高斯过程是指任意维分布都服从高斯分布的随机是指任意维分布都服从高斯分布的随机过程。过程。1 1）高斯过程的）高斯过程的n维概率密度函数维概率密度函数 第第k个时刻的均值个时刻的均值 第第k个时刻的方差个时刻的方差 第第j个时刻和第个时刻和第k个时刻的归一化协方差函数个时刻的归一化协方差函数 12121 221112(,.,;,.,)11exp()()2(2).nnnnnjjkkjknjkjknfx xx t ttxaxa
37、BBB 2.2.2.2.3 3 高斯随机过程高斯随机过程ka2kjkb2022-12-17452022-12-17451)1)若高斯过程是若高斯过程是宽平稳宽平稳，必将，必将严平稳严平稳。若宽平稳，则均值和方差是常数若宽平稳，则均值和方差是常数,只与时间只与时间间隔有关，即维概率密度函数与时间起点无关，间隔有关，即维概率密度函数与时间起点无关，所以严平稳。所以严平稳。2)2)如果高斯过程中的各随机变量之间是如果高斯过程中的各随机变量之间是互不相关互不相关，必将必将统计独立统计独立。在不同时刻取值不相关，则在不同时刻取值不相关，则 3)3)经过线性变换仍是高斯过程。经过线性变换仍是高斯过程。2.
38、2.2.2.3 3 高斯随机过程高斯随机过程kjbkjbjkjk1;02022-12-17462022-12-17462.2.4 2.2.4 窄带高斯过程窄带高斯过程 1窄带随机过程窄带随机过程 窄带随机过程窄带随机过程满足：满足：中心频率为载频中心频率为载频fc，带宽为，带宽为f，且，且 f 3时，时，Rice分布近似于高斯分布。分布近似于高斯分布。正弦波加窄带高斯过程正弦波加窄带高斯过程相位的概率密度函数相位的概率密度函数：小信噪比时接近于小信噪比时接近于均匀分布均匀分布 大信噪比时主要集中在大信噪比时主要集中在信号相位附近信号相位附近。2001()exp(cos)2I xxd2.2.5
39、正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声220222()p.()02ZZAAZf ZexIZ2022-12-17542022-12-17542.3 随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统2.3.1 2.3.1 信号通过线性系统的信号通过线性系统的不失真条件不失真条件设系统传输函数设系统传输函数 ，输入，输入e(t)，输出，输出r(t)。无失真传输时域关系：无失真传输时域关系：频谱关系为频谱关系为因此因此 54 0r tKe t t 0j tHKe jHHje HjK0t 0()H jK0()2022-12-17552022-12-17552.3 随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统2.3
40、.2 2.3.2 随机过程通过线性系统的特性随机过程通过线性系统的特性 对于对于确知信号确知信号，输入，输入 e(t)经过线性经过线性系统系统h(t)后后,输出输出r(t)可以表示为：可以表示为：频谱关系为：频谱关系为：功率谱密度之间的关系为：功率谱密度之间的关系为：对于对于随机过程随机过程i(t)，输出过程为，输出过程为o(t)。假设假设i(t)平稳，均值为平稳，均值为a。55()()()REH 2()()()rePPH()()*()()()r te th the td ()()*()()()oiitth thtd 2022-12-17562022-12-17561 1）数学期望）数学期望
41、与时间与时间t无关。无关。2 2）输出自相关函数）输出自相关函数 至少广义平稳。至少广义平稳。信息理论与编码560()()()()()()(0)iiEtEhtdhEtdahdaH 00()()()()()()()()()()()()()()()()()()ooiiiiiiiR t tEttEhtdhtdEhhttd dhhEttd dhhRd dR （,)=0()t2.3 随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统2022-12-17572022-12-1757 3 3）功率谱密度）功率谱密度 由维纳由维纳辛钦定理可知，平稳随机过程的自辛钦定理可知，平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度是一对傅里
42、叶变换。相关函数和功率谱密度是一对傅里叶变换。4 4）互相关函数）互相关函数 “互互”指涉及到两个随机过程。指涉及到两个随机过程。5700()*2()()()()()()()()()()()()jiiiiPRedhhRd ddhhPd dPHHPH -j-j（)ee2.3 随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统0(,()()()()()()()()()()()*()iioiiiiiR t tEttEthtdhEttdhRdhR )2022-12-17582022-12-1758 例例1 1：输入是功率谱密度为输入是功率谱密度为N0/2的高斯白噪声，求的高斯白噪声，求其线性网络输入与输出的互相
43、关函数。其线性网络输入与输出的互相关函数。解：高斯白噪声的自相关函数解：高斯白噪声的自相关函数582.3 随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统()2()*()()*()()22oiooioiNRNNRRhhh （)=（)()h t()it()ot相关仪2022-12-17592022-12-1759 例例2 2：随机过程的功率谱密度如图所示，求：随机过程的功率谱密度如图所示，求：（1 1）的自相关函数的自相关函数 ；（2 2）中包含的直流功率等于多少？中包含的直流功率等于多少？（3 3）中包含的交流功率等于多少？中包含的交流功率等于多少？解：解：（1 1）（2 2）直流功率）直流功率 （3
44、 3）平均功率）平均功率 交流功率交流功率 592.3 随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统()t()R()t()t2211()1()1()2222jccccRPedSaf Sa )=()2()1PRd 直(0)1cPRf 平均(0)()(11ccPRRff 交)-2022-12-17602022-12-1760 例例3 3：一个均值为一个均值为a，自相关函数为，自相关函数为R的平稳随机过的平稳随机过程程(t)通过一个线性系统后的输出过程为通过一个线性系统后的输出过程为 ，T 为延迟时间。为延迟时间。（1 1）试画出该线性系统的框图；）试画出该线性系统的框图；（2 2）试求）试求o(t)的
45、自相关函数和功率谱密度。的自相关函数和功率谱密度。解：（解：（1 1）602.3 随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统0()()()tttT相加()t()ot 延时T2022-12-17612022-12-1761（2）设设 根据根据 ，612.3 随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统0120102112212121212(,)()()()()()()()()()()()()()()2()()()Rt tEttEttTttTEttttTtTttTtTRRTRT21tt00()()PR()()RP0()2()()()()(2)2()(1 cos)jjjjPPPePePeePT2022-12-17622022-12-17622章作业 学号学号 思考题思考题 习题习题1,5,9,13,17,21,25,29,33,37 1,5,9,13 42,6,10,14,18,22,26,30,34,38 2,6,10,14 63,7,11,15,19,23,27,31,35,39 3,7,11,15 84,8,12,16,20,24,28,32,36,40 1,4,8,12,10
