1、12022-12-17第一章第一章汪 秉 宏中国科学技术大学中国科学技术大学22022-12-17n1 Newton 1 Newton 力学及其发展力学及其发展n2 2 非线性动力学的研究对象非线性动力学的研究对象n3 3 非线性动力系统模型非线性动力系统模型的建立的建立32022-12-171 力学及其发展n力学的定性研究时期（公元前17世纪中叶）Archimedes，Galileo，Keplern定量研究时期定量研究时期（17世纪中叶世纪中叶19世纪末）世纪末）Newton，Lagrange,Hamilton42022-12-17n基本问题：已知基本问题：已知 的函数形式，的函数形式，求上
2、求上述方程组的解析表达式。数学家可证明其存述方程组的解析表达式。数学家可证明其存在性及唯一性。在性及唯一性。n基本方法微扰论：基本方法微扰论：存在收敛问题。在天体力学中取得很大成功，存在收敛问题。在天体力学中取得很大成功，能够精确预言天体的运动。能够精确预言天体的运动。52022-12-17Lagrange 函数62022-12-171919世纪世纪 HamiltonHamilton 方程方程n引进广义动量引进广义动量Hamilton Hamilton 函数函数72022-12-17nLagrange,Hamilton方程均与Newton方程等价n力学的基本问题、基本方法未变n结论：二百多年来
3、牛顿力学无实质性进展82022-12-171919世纪末、世纪末、2020世纪初发生的世纪初发生的对于牛顿力学的三大变革对于牛顿力学的三大变革92022-12-17太阳系是否稳定？n微扰是否收敛？n许多科学家宣称太阳系是稳定的，但并未给出其证许多科学家宣称太阳系是稳定的，但并未给出其证明。如明。如 Dirichlet。n奥斯卡奖奥斯卡奖1890年授予年授予 Poincare.他证明了所有微扰他证明了所有微扰级数是发散的，因而研究稳定性必须使用新的方级数是发散的，因而研究稳定性必须使用新的方法法 定性方法：几何拓扑，微分拓扑。定性方法：几何拓扑，微分拓扑。n力学的基本问题及基本方法必须彻底改变。
4、力学的基本问题及基本方法必须彻底改变。求解求解析解并不解决问题。析解并不解决问题。102022-12-17新力学的理论特点:力学的基本问题n研究系统在相空间中的轨迹的几何性质。即：研究系统在相空间中的轨迹的几何性质。即：研究研究相轨图相轨图(phase portrait)(phase portrait)n 如何证明如何证明?112022-12-17新力学的理论新力学的理论特点特点基本方法：n定性方法：定性方法：微分拓扑微分拓扑大范围分析大范围分析 代数与群论代数与群论n数值方法：计算机模拟数值方法：计算机模拟n大大拓宽了力学的研究领域大大拓宽了力学的研究领域n发现了许多新的力学现象。如：混沌、
5、发现了许多新的力学现象。如：混沌、分岔、突变、结构稳定性转变分岔、突变、结构稳定性转变122022-12-172 非线性动力学的研究对象非线性动力系统及各种特征系统的现象非线性动力系统及各种特征系统的现象a)什么是非线性动力系统？n线性方程：线性方程：量满足的方程 L()=0若（i）是线性空间中一个元素（矢量）是线性空间中一个元素（矢量）（ii）L(ab)=a L()b L()n非线性动力系统的定义：非线性动力系统的定义：一个动力系统，若其基本力学量的运动由非一个动力系统，若其基本力学量的运动由非线性方程描述，则称作非线性动力学系统。线性方程描述，则称作非线性动力学系统。132022-12-1
6、7非线性动力系统非线性动力系统n若一个动力系统由方程若一个动力系统由方程 描述，其中描述，其中n 也可以用系综概率密度也可以用系综概率密度 (x)的运动描述。的运动描述。n LiuvillLiuvill 方程：是线性的。方程：是线性的。两个方程等价。但两者两个方程等价。但两者的基本力学量不同。的基本力学量不同。n若以若以x x为基本力学量，为基本力学量，F F为非线性时，则系统为非线为非线性时，则系统为非线性性。142022-12-17n考虑一对一变换则非线性方程有可能化为线性的习题习题1：求：求G的显示表达式的显示表达式n有些系统，其相空间不是线性空间，这类系统必定有些系统，其相空间不是线性
7、空间，这类系统必定是非线性的。例如：刚体动力学方程，相空间为是非线性的。例如：刚体动力学方程，相空间为SO3 流形。称为流形。称为运动运动(Kinetic)(Kinetic)非线性。非线性。nF F的非线性称为的非线性称为力学非线性。力学非线性。152022-12-17b)什么是特征非线性现象？什么是特征非线性现象？n例：考虑映射n设 f(x)x 则xn+1 xn 即使 f 是非线性的，没有任何不同于线性系统的有趣特征 limnnx 162022-12-17已知的特征非线性现象：已知的特征非线性现象：混沌、分岔、突变、自组织现象、耗混沌、分岔、突变、自组织现象、耗散结构，分形特征散结构，分形特
8、征 当当 f(x)=r x(1-x)时出现一系列时出现一系列分岔、混沌等非线性现象。分岔、混沌等非线性现象。非线性科学并不研究对于线性非线性科学并不研究对于线性关系的偏离，而必须研究质关系的偏离，而必须研究质的变化。的变化。172022-12-173 非线性动力系统模型的建立实际系统往往包含巨大数目自由度实际系统往往包含巨大数目自由度 s1023，从中得出基本力学量及其遵循的方程从中得出基本力学量及其遵循的方程n微观描述微观描述 为控制参量，表示外界的影响为控制参量，表示外界的影响182022-12-17n亚宏观描述亚宏观描述引进集体运动变量：引进集体运动变量：忽略连续系统运动的涨落，可由微观
9、描忽略连续系统运动的涨落，可由微观描述得到述得到 涨落耗散定理 涨落项192022-12-17宏观描述宏观描述 在长时间后，绝大多数集体运动模式在长时间后，绝大多数集体运动模式由于耗散而衰减掉，可以考虑剩余运动模式。由于耗散而衰减掉，可以考虑剩余运动模式。n设长时间后只剩下设长时间后只剩下 x1,xm 的运动，则在的运动，则在 t 时有时有nHakenHaken称之为随动原理称之为随动原理(slaving principle).(slaving principle).代入前一方程，代入前一方程，消去消去 xj j ,j=m+1,j=m+1,n,n 得得 xj j ,j=1,j=1,m,m 称作序参量（基本力学量）称作序参量（基本力学量）n绝热消除法：绝热消除法：中心流形中心流形 惯性流形惯性流形202022-12-17n IP address：202.38.83.243n User name：guestn Password：guestThanks for Thanks for AttentionAttention！Thanks for Thanks for AttentionAttention！
