1、计算机在材料科学与工程中的应用计算机在材料科学与工程中的应用第三章第三章 材料科学与工过程中的材料科学与工过程中的数学模型数学模型和和数值分析数值分析引言陈文豪,周晚林,张付军.GH4169合金涡轮盘锻造成型的数值模拟和分析,计算机辅助工程,23(2014)68-72.大型复杂铝合金压铸件成形数值模拟及工艺优化-李世钊-硕士论文-华中科技大学 引言引言数值模拟主要内容：3.1 数学模型的基本知识3.2 材料科学与工程研究中数学模型3.3 常用的数值计算方法依赖于数学模型建模求解3.1 数学模型的基本知识3.1 数学模型的基本知识3.1 数学模型的基本知识什么叫数学模型？数学模型（mathema
2、tical model)：用数学语言描述的实际 现象，用数学语言描述现象特征的数学关系式（包括完整的方程组及全部单值条件），是实际现象的数学简化。主要具有解释、判断、预见三大功能。3.1 数学模型的基本知识3.1.1 1.按照模型的应用领域按照模型的应用领域(或所属学科或所属学科)分分如人口模型、交通模型、环境模型、生态模 型、城镇规划模型、水资源模型、再生资源 利用模型、污染模型等。范畴更大一些则形 成许多边缘学科如生物数学、医学数学、地 质数学、数量经济学、数学社会学等。2.按照建立模型的数学方法按照建立模型的数学方法(或所属数学分支或所属数学分支)分分如初等数学模型、几何模型、微分方程模
3、型、图论模型、马氏链模型、规划论模型等。数学模型分类3.1 数学模型的基本知识3.1.1 数学模型分类3.按照模型的表现特性又有几种分法：按照模型的表现特性又有几种分法：确定性模型和随机性模型确定性模型和随机性模型 取决于是否考虑随机因素的 影响。近年来随着数学的发展，又有所谓突变性模型和 模糊性模型。静态模型和动态模型静态模型和动态模型 取决于是否考虑时间因素引起的变化。线性模型和非线性模型线性模型和非线性模型 取决于模型的基本关系，如微分方程是否是线性的。离散模型和连续模型离散模型和连续模型 指模型中的变量(主要是时间变量)取为离散还是连续的。3.1 数学模型的基本知识3.1.1 数学模型
4、分类4.按照建模目的分类按照建模目的分类有描述模型、分析模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型等5.按照对现象的认识程度分类按照对现象的认识程度分类 白箱模型白箱模型：又称机理模型，是根据相关的基本原理直接建立的模型。（机理研究的目标机理研究的目标）灰箱模型灰箱模型：以相关的定律为基础，同时包含一定的经验假设或参数的模型，又称半经验模型。黑箱模型黑箱模型：在分析一些复杂体系时，如果缺乏对过程性质和内部构造的了解，不了解过程的机理，则把过程体系看成一个黑箱，并设法用数学公式表述体系的输入输出参数之间的关系 的数学模型。3.1 数学模型的基本知识3.1.2 数学建模的过程数学建模的过程3.1
5、 数学模型的基本知识3.1.2 数学建模的过程1.模型准备（初步研究）模型准备（初步研究）了解问题的实际背景，明确建模的目的搜集建模必需的各种信息如现象、数据等，尽量弄清对象的特征,由此初步确定用哪一类模型，可能的建模方法等。2.模型假设模型假设根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化简化，用精确的语言做出假设假设。3.模型构成模型构成根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量(常量和变量)之间的等式(或不等式)关系 或其他数学结构。3.1 数学模型的基本知识3.1.2 数学建模的过程4.模型求解模型求解可以采用解方程、画图形、证明定理、逻
6、辑运算、数值计算等各种 传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。5.模型分析模型分析对模型解答进行数学上的分析，有时要根据问题的性质分析变量间的依赖关系或稳定状况，有时是根据所得结果给出数 学上的预报，有时则可能要给出数学上的最优决策或控制，不论哪种情况还常常需要进行误差分析、模型对数据的稳定性或灵敏性分析等。6.模型检验模型检验把数学上分析的结果翻译回到实际问题，并用实际的现象、数据与之比较，检验模型的合理性和适用性。7.模型应用模型应用应用的方式自然取决于问题的性质和建模的目的.3.1 数学模型的基本知识3.1.3 数学模型的特点1 1）模型的逼真性和可行性（）模型的逼真性和可行性（“费
7、用费用”与与“效益效益”）l一方面希望模型尽可能逼近研究对象；l另一方面，越逼真的模型常常越复杂，即使能数学上能处理，“费用”高2 2）模型的渐进性）模型的渐进性建模过程的反复迭代，由简到繁，删繁就简，以获得越来越满意的模型3 3）模型的强健性）模型的强健性当观测数据（或其他信息）有微小改变时，模型结构和参数只有微小变化，并且一般也应导致模型求解的结果有微小变化。4 4）模型的可转移性）模型的可转移性模型是现实对象抽象化、理想化的产物，它不为对象的所属领域所独有，可以转移到另外的领域。数学模型的特点3.1 数学模型的基本知识3.1.3 数学模型的特点5 5）模型的非预制性）模型的非预制性许多应
8、用广泛的模型，但实际问题时各种各样、变化万千的，不可能要求把各种模型做成预制品供建模时使用。6 6）模型的条理性）模型的条理性促使对现实对象的分析更全面、更深入、更具条理性。7 7）模型的技艺性）模型的技艺性经验、想象力、洞擦力、判断力以及直觉、灵感等在建模过程中起较大作用比起一些具体的数学知识。8 8）模型的局限性）模型的局限性模型是现实对象简化、理想化的产物人们的认识能力和科学技术，包括数学本身发展水平的限制有些领域的问题尚未能用建模方法寻求数量规律3.1 数学模型的基本知识3.1.4 1 1）理论分析法）理论分析法应用自然科学中的定理和定律，对被研究系统的有关因素进行分析、演绎、归纳，从
9、而建立系统的数学模型。2 2）模拟方法）模拟方法如果模型的系统，结构和性质相同，而且构造出来的模型也类似，就可把另一种模型看作是原来模型的模拟。3 3）类比分析法）类比分析法根据两个（或两类）系统某些属性或关系的相似，去猜想两者的其他属性或关系也有可能相似的一种方法。4 4）数据分析法）数据分析法当有若干能表征系统规律、描述系统状态的数据可以利用时，就可以通过描述系统功能的数据分析来连接系统的结构模型。数学模型的建立方法3.2 材料科学与工程研究中数学模型3.2 材料科学与工程研究中数学模型3.2 材料科学与工程研究中数学模型理论分析法 1 理论分析法 理论分析法是指应用自然科学中的定理和定律
10、,对被研究系统的有关因素进行分析、演绎、归纳，从而建立系统的数学模型。理论分析这是人们在一切科学研究中广泛使用的方法。在工艺比较成熟、对机理比较了解时，可采用此法。根据问题的性质可直接建立模型。例.在渗碳工艺过程中通过平衡理论找出控制参量与炉气碳势之间的理论关系式。甲醇加煤油渗碳气氛中，描述炉气碳势和CO2含量的关系的实际数据如下表：2/%CO/%Cc模型假设渗碳过程中的炉气化学反应：模型假设渗碳过程中的炉气化学反应：22FeCCOCO可求平衡常数，由上式可得：可求平衡常数，由上式可得：22222COCOCOCCOCPKPP其中，其中，P P为总压，设为总压，设P=1atmP=1atm，、分别
11、为分别为COCO、COCO2 2气体的分压，气体的分压，分别为分别为COCO、COCO2 2所占的体积百分数。所占的体积百分数。K K2 2为平衡常数，为平衡常数，为碳的活度。为碳的活度。COP2COP2COCO、C则则2221COCCOK又又CCCACC其中，其中，表示平衡碳浓度，即炉气碳势。表示平衡碳浓度，即炉气碳势。表示加热到温度表示加热到温度T T时奥氏体中的时奥氏体中的饱和碳浓度。饱和碳浓度。CCCAC同样，可得：同样，可得：222CACOCCOCCK3.2 材料科学与工程研究中数学模型理论分析法对上式两边取对数，可得：对上式两边取对数，可得：222lglglglglgCCACOCO
12、CCK由于在温度一定时，由于在温度一定时，和和 均为常数，上式右边前两项也应为常数。即，可均为常数，上式右边前两项也应为常数。即，可设设 。而对于。而对于 这两项，由于这两项，由于 、与与 有关有关，且要建立，且要建立 和和 之间的数学模型，于是令之间的数学模型，于是令CAC2K2lglgCACKa22lglgCOCOCO2COCCCC2CO222lglglgCOCOCOb设设 ，可得：，可得：2lg,lgCCOCYxYabx利用表中的实验数据进行回归，求得：利用表中的实验数据进行回归，求得：0.2336,0.41077ab 于是于是0.23360.41077Yx 即即20.410770.58
13、39()CCOC上式即为碳势控制的单参数数学模型。上式即为碳势控制的单参数数学模型。3.2 材料科学与工程研究中数学模型理论分析法 2 模拟方法 模型的结构及性质已经了解，但其数量描述及求解却相当麻烦。如果有另一种系统，结构和性质与其相同、而且构造出的模型也类似，就可以把后一种模型看成是原来模型的模拟，而对后一个模型去分析或实验并求得其结果。例如，研究钢铁材料小裂纹在外载荷作用下尖端的应力、应变分布，可以通过弹塑性力学及断裂力学知识进行分析计算，但求解非常麻烦。此时可以借助实验光测力学的手段来完成分析。首先，根据定比例，采用模具将环氧树脂制备成具有同样结构的模型，并根据钢铁材料小裂纹形式在环氧
14、树脂模型加工出裂纹；随后，将环氧树脂模型放入恒温箱内，对环氧树脂模型在冻结温度下加载，并在载荷不变的条件下缓缓冷却到室温卸载；3.2 材料科学与工程研究中数学模型模拟方法 将已冻结应力的环氧树脂模型在平面偏振光场或圆偏振光场下观察，环氧树脂模型中将出现一定分布的条纹，这些条纹反应了模型在受载时的应力、应变情况，用照相法将条纹记录下来并确定条纹级数、再根据条纹级数计算应力；最后，根据相似原理、材料等因素确定定的比例系数，将计算出的应力换算成钢铁材料中的应力，从而获得了裂纹尖端的应力、应变分布。3.2 材料科学与工程研究中数学模型模拟方法5522110,0iiiieeab3.2 材料科学与工程研究
15、中数学模型模拟方法得：3.2 材料科学与工程研究中数学模型模拟方法3 类比分析法 若两个不同的系统，可以用同一形式的数学模型来描述，则此两个系统就可以互相类比。类比分忻法是根据两个(或两类)系统某些属性或关系的相似，去猜想两者的其他属性或关系也可能相似的种方法。在聚合物的结晶过程聚合物的结晶过程中，结晶度随时间的延续不断增加，最后趋于该结晶条件下的极限结晶度。现期望在理论上描述这一动力学过程（即推导Avrami方程）采用类比分析法。聚合物的结晶过程包括成核和晶体长大两个过程，这一下雨时雨滴落在水面上生成一个个圆形水波向外扩展的情形相类似，因此可通过水波扩散模型来推导聚合物结晶时的结晶度与时间的
16、关系。3.2 材料科学与工程研究中数学模型类比分析法在水面上任选一参考点，根据概率分析，在时间0t时刻范围内通过该点的水波数为m的概率P(m)为Poisson分布（假设落下的雨滴数大于m，从0到t时刻通过任意点P的水波数的平均值为水波数的平均值为E）(1,2,3,.)!mEEP memm则有0()1mP m()mmP mE把水波扩散模型作为结晶前期的模拟来讨论薄层熔体形成“二维球晶”的情况。雨滴接触水面相当于形成晶核，水波相当于二维球晶的生长表面，当m=0时，意味着所有的球晶面都不经过P点，即P点仍处于非晶态。根据式（3.41）可知其概率为（3.41）（3.42）（3.43）(0)EPe设此时
17、球晶部分占有的体积分数为 ，则有c1(0)EcPe3.2 材料科学与工程研究中数学模型类比分析法假定：从0到t时刻水波前进的距离为r。那么，以P点为中心，以r为半径的圆面内所有的雨滴所产生的水波都将通过P点。这个圆面积称为有效面积，通过P点的水波数就等于在这个有效面积内落入的雨滴数。图3.3 有效面积示意图prdr3.2 材料科学与工程研究中数学模型类比分析法求平均值求平均值E，应为时间的函数。，应为时间的函数。二维形核的两种情况二维形核的两种情况（1）一次性同时成核的情况所有水滴同时落入水面（2）晶核不断形核的情况雨滴不断落入（1）一次性同时成核的情况）一次性同时成核的情况所有水滴同时落入水
18、面所有水滴同时落入水面设单位面积内的平均雨滴数为N，当时间由t增加到t+dt时，有效面积的增量即图中阴影部分的面积为2rdr，平均值E的增量为2dENrdr（3.46）图3.3 有效面积示意图prdr若水波前进速度即球晶径向生长速度为v，则r=vt，对式（3.46）作积分得平均值同t的关系为2 2002EvtEdENrdrNv t（3.47）代入式（3.45），得2 221Nv tce（3.48）该式表示晶核密度为N，一次性成核时体系中的非晶部分与时间的关系。3.2 材料科学与工程研究中数学模型类比分析法设单位时间内单位面积上平均产生的晶核数即晶核生成速度为I，到t时刻产生的晶核数（相当于生成
19、的水波）则为It。时间增加dt，有效面积的增量仍为2rdr，其中，只有满足tr/v的条件下产生的水波才是有效的，因此有2rdEI trdrv（3.49）积分得2 3023vtrEI trdrIv tv（3.50）代入可得2 331Iv tce同样的方法可用来处理三维晶球，三维晶球，这时把圆环确定的有效面积增量用球壳确定的有效体积增量 来代替，对于同时成核体系（N为单位体积的晶核数），则24 r dr23 30443vtENr drNv t（3.51）（3.52）3.2 材料科学与工程研究中数学模型类比分析法（2）晶核不断形核的情况）晶核不断形核的情况雨滴不断落入雨滴不断落入同时形核同时形核：同
20、样的方法可用来处理三维晶球，三维晶球，这时把圆环确定的有效面积增量用球壳确定的有效体积增量 来代替，对于同时成核体系（N为单位体积的晶核数），则24 r dr23 30443vtENr drNv t（3.52）3.2 材料科学与工程研究中数学模型类比分析法三维形核三维形核不断不断成核成核体系体系：定义I为单位时间、单位体积中产生的晶核数，则23 4043vtrEI tr drIv tv将上述情况进行归纳，可用一通式可用一通式：1nktce式中，k是同核密度及晶体一维生长速度有关的常数，称为结晶速度倍数；n是与成核方式及核结晶生长方式有关的常数。该式称为Avrami方程。（3.53）（3.54）
21、模型检验模型检验：图3.4为尼龙1010等温结晶体数据的Avrami处理结果，可见在结晶前期实验同理论相符，在结晶的最后部分同理论发生了偏离。解释解释：因为生长着的球晶面相互接触后，接触区的增长即停止。在前期球晶尺寸较小，非晶部分多，球晶之间不致发生接触，随时间延长，球晶增长到满足相互接触的体积时，总体的结晶速度就要降低，Avrami方程将出现偏差。3.2 材料科学与工程研究中数学模型类比分析法3.2 材料科学与工程研究中数学模型数据分析法4 数据分析法数据分析法当系统的结构性质不大清楚，无法从理论分析中得到系统的规律，也不便于类比分析，但有若干能表征系统规律、描述系统状态的数据可利用时，就可
22、以通过描述系统功能的数据分忻来连接系统的结构模型。回归分析是处理这类问题的有利工具。求一条通过或接近一组数据点的曲线，这一过程叫曲线拟合，而表示曲线的数学式(称为回归方程。求系统回归方程的一般方法如下：设有一未知系统，已测得该系统有n个输入、输出数据点为3.2 材料科学与工程研究中数学模型数据分析法 5 利用利用计算机软件计算机软件(Origin软件软件)建立数学模型建立数学模型例，在日常生活中时我们常要用热水，例如我们口渴了要喝开水，冬天洗澡要用热水，等等。热水的温度比周围环境的温度要高，因此热水和周围的环境存在热传递，其温度会逐渐地下降，直至与环境的温度一致。一杯热水在自然的条件下与周围的
23、环境发生热传递，其温度的下降有什么规律？能用数学公式表达吗？（1）猜想与假设猜想与假设：由日常生活获得的经验：热水在冬天降温快，在夏天降温慢，因此降温速度跟热水与环境的温差有关温差有关；一杯水比一桶水降温快，因此速度与热水的体积有关体积有关，体积越小速度就越快。（2）制定计划制定计划：如图3-4所示,以不同体积的热水作为探究的对象。将体积分别为50mL、100mL和200mL的水加热至沸腾，然后利用实验室的Multilog Pro数据采集器和温度探头（DT092）对其降温过程进行监测，记录其温度变化数据，以便利用计算机作进一步的分析处理。3.2 材料科学与工程研究中数学模型利用Origin D
24、T029是用感温半导体电阻制成的温度传感器，其外壳是导热性能极佳的金属，具有很强的抗化学腐蚀性能。工作原理：(p57)（3）实验步骤：1)用量筒量取50mL水并将其注入圆底烧瓶，将水加热至沸腾。2)将一个温度传感器（DT029）连接到Multilog Pro的I/O1端口，用以采集热水的降温数据；另一个连接到I/O2端口，用以采集环境的温度数据。开启数据采集器，设置采样频率为1per sec，采样总数为10 000。3)将一个探头置于沸水中，另一个置于实验装置旁。约30sec后停止加热，同时开启按钮开始采集数据。4)重复上述步骤依次采集体积为100mL和200mL的热水的降温过程温度变化数据。
25、图3-4 实验装置图3.2 材料科学与工程研究中数学模型利用Origin5)利用Db-lab软件将实验数据从Multilog Pro下载到计算机并完成降温曲线绘制，用科学计算绘图软件Origin对数据进行数学建模。（4）数据处理,实验结果如图3-5所示.-100001000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000110002030405060708090100110Temperature/?Time/sec B 50 mL C 100 mL D 200 mL Room Temperature图图3-5 热水降温曲线热水降温曲线3.2 材料科学
26、与工程研究中数学模型利用Origin 从图3-5可以看出，降温的初期热水的温度高，与环境的温差大，曲线很陡，这说明温差越大降温速度就越快，与第一个猜想吻合；体积为50mL的热水的降温曲线最陡，100mL的次之，200mL的最平，这说明热水的体积越小降温越快，体积越大降温越慢。这与我们的第二个猜想吻合。表3.3是三个不同体积的水实验的特征数据。表表 3.3 实验特征数据实验特征数据起始温度起始温度()()过程平均室温过程平均室温()()温差温差()()50mL50mL100.08100.0830.9130.9169.1769.17100mL100mL100.31100.3130.6830.686
27、9.6369.63200mL200mL100.23100.2331.2631.2668.9768.973.2 材料科学与工程研究中数学模型利用Origin（5 5）数学建模）数学建模:3.2 材料科学与工程研究中数学模型利用Origin 因此A就是热水与环境的最大温差。基于上面分析，可以将数据输入到科学计算绘图软件Origin（version 7.0）中进行曲线拟合.如图3-6所示,拟合的过程如下：在Origin 7.0中打开工作簿中的数据（扩展名为.xls，其创建的方法是：先由Db-lab输出一个.csv文件，此文件可以由Microsoft Excel 2000打开，再利用Excel将其保存
28、为Microcal Origin 7.0可以处理的.xls文件，或者直接将数据复制到Origin的工作簿中）；分别绘制三组数据的散点图得到三个曲线图Graph1、Graph2和Graph3，击活Graph1为当前工作窗口。在菜单中选择Analysis-Non-linear Curve Fit，打开NLSF的Select Function对话框，选择ExpDec1，单击Start Fitting，此时分析系统会弹出对话框要求用户选择拟合的数据，用户只须单击active dataset，因为之前已将数据击活；3.2 材料科学与工程研究中数学模型利用Origin1）设定参数：从表3.3中将当前拟合的
29、相应参数（y0为室温、A为温差）输入到文字框中，将y0、A后的Vary选项的去掉，因为这两个参数已经经过分析确定，无须拟合。2）开始迭代：单击1 Iter进行一次迭代，对应于当前参数的理论曲线将显示在Graph1窗口，多次单击10 Iter，以使拟合的曲线与数据曲线最大程度地吻合，单击Done完成拟合。三组数据拟合的结果如图3-7到3-9所示：图图3-6 3-6 参数设置界面参数设置界面3.2 材料科学与工程研究中数学模型利用Origin-100001000200030004000500060007000800030405060708090100110 50mL water ExpDec1 f
30、it of Data1_BData:Data1_BModel:ExpDec1 Chi2=2.37856R2=0.98878 y030.910A169.170t11082.735051.46743Temperature/?Time/sec图图3-7 50mL3-7 50mL热水降温拟合曲线热水降温拟合曲线020004000600080001000030405060708090100110Data:Data1_CModel:ExpDec1 Chi2=2.70509R2=0.98793 y030.680A169.630t11582.38941.87956Temperature/Time/sec 10
31、0mL waterExp Dec1 fit of data1_C图图3-8 100mL3-8 100mL热水降温拟合曲线热水降温拟合曲线020004000600080001000030405060708090100110Data:Data1_DModel:ExpDec1 Chi2=4.69825R2=0.98142 y031.260A168.970t12911.919473.44868Temperature/?Time/sec 200mLwater Exp Dec1 fit of data_1D图图3-9 200mL3-9 200mL热水降温拟合曲线热水降温拟合曲线 三条降温曲线经过拟合，参数
32、显示在图中，表3.4归纳了三条曲线的数学模型。如果忽略三组实验中由于仪器（DT092）误差而造成的细微差异，那么y0 和A1 这两个参数在三组实验中完全一致，可见在本实验所处的条件下，t是与热水的体积有关的一个参数，体积越大，t的值就越大。表3.4 曲线的数学模型V/mLV/mLy y0 0A At t505030.9130.9169.1769.171082.741082.7410010030.6830.6869.6369.631582.391582.3920020031.2631.2668.9768.972911.922911.92假设t是体积v的函数，t=f(v)，用Origin对表3.4
33、中V、t进行分析，发现t与v成线性关系，如图3-10所示。通过数学建模得出其关系为：t=417.98+12.35V3.2 材料科学与工程研究中数学模型利用Origin417.98 12.350 xVyyAe417.98 12.350tVTTAe因此（因此（3.623.62）式可表示为）式可表示为，用，用T T、T T0 0、t t分别替换分别替换y y、y y0 0、x x有：有：。其中。其中T T为热水的实时温度，为热水的实时温度，T T0 0为环境的温度，为环境的温度，A A是热水和环境的最大温差（开始温差），是热水和环境的最大温差（开始温差），t t为时间，为时间，V V为热水的体积。为
34、热水的体积。40608010012014016018020022010001500200025003000Y=417.975+12.35179 XY Axis TitleX Axis Title t Linear fit of data2_t图3-10 t与v的线性关系3.2 材料科学与工程研究中数学模型利用Origin热水温度下降的速度跟热水与环境的温差有关，温差越大温度下降就越快，反之则越慢；热水温度下降的速度与热水的体积有关，体积越大温度下降就越慢，反之则越快；在本实验所处的条件下，热水降温过程可以用如下公式描述417.98 12.350tVTTAe3.2 材料科学与工程研究中数学模型利
35、用Origin3.3 常用的数值计算方法3.3 常用的数值计算方法 在材料科学与工程中的许多工程分析问题，如弹性力学中的位移场和应力场分析、塑性力学中的位移速度场和应变速率场分析、电磁学中的电磁场分析、传热学中的温度场分析、流体力学中的速度场和压力场分析等，都可归结为在给定边界条件下求解其控制方程的问题。控制方程的求解有解析和数值两种方法。（1）解析方法。根据控制方程的类型，采用解析的方法求出问题的精确解。该方法只能求解方程性质比较简单，且边界条件比较规则的问题。（2）数值方法。采用数值计算的方法，利用计算机求出问题的数值解。该方法适用于各种方程类型和各种复杂的边界条件及非线性特征。通俗来讲：
36、解析解：严格的公式，是一个求解公式，适用于所有这类方程的求解。数值解：是利用有限元法、数值逼近法、插值方法等的求解。数学模型的数值求解数学模型的数值求解3.3 常用的数值计算方法 许多的力学问题和物理问题人们已经得到了它们应遵循的基本规律（微分方程）和相应的定解条件。但是只有少数性质比较简单、边界比较规整的问题能够通过精确的数学计算得出其解析解。大多数问题是很难得到解析解的。对于大多数工程技术问题，由于物体的几何形状比较复杂或者问题的某些特征是非线性的，解析解不易求出或根本求不出来，所以常常用数值方法求解。对工程问题要得到理想或满足工程要求的数值解，必须具备高性能的计算机（硬件条件）和合适的数
37、值解法。3.3 常用的数值计算方法 数值模拟通常由前处理、数值计算、后处理三部分组成。（1）前处理。前处理主要完成下述功能：实体造型将研究问题的几何形状输入到计算机中；物性赋值将研究问题的各种物理参数（力学参数、热力学参数、流动参数、电磁参数等）输入到计算机中；定义单元类型根据研究问题的特性将其定义为实体、梁、壳、板等单元类型；网格剖分将连续的实体进行离散化，形成节点和单元。（2）数值计算。数值计算主要完成下述功能：施加载荷定义边界条件、初始条件；设定时间步对于瞬态问题要设定时间步；确定计算控制条件对求解过程和计算方法进行选择；求解计算软件按照选定的数值计算方法进行求解。（3）后处理。后处理主
38、要完成下述功能：显示和分析计算结果图形显示体系的应力场、温度场、速度场、位移场、应变场等，列表显示节点和单元的相关数据；分析计算误差；打印和保存计算结果。3.3 常用的数值计算方法 解决这类问题通常有两种途径：（1）对方程和边界条件进行简化，从而得到问题在简化条件下的解答；（2）采用数值解法。第一种方法只在少数情况下有效，因为过多的简化会引起较大的误差，甚至得到错误的结论。目前，常用的数值解法大致可以分为两类：有限差分法和有限元法。应用有限差分法和有限元法求解数学模型最终归结到求解线性方程组。3.3 常用的数值计算方法nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa2211222
39、2212111212111线性方程组计算机计算（迭代）线性方程组计算机计算（迭代）在自然科学和工程技术中很多问题的解决常常归结为求解线性代数方程组在自然科学和工程技术中很多问题的解决常常归结为求解线性代数方程组.若其系数矩阵为非奇异阵，且若其系数矩阵为非奇异阵，且aii0（i=1,2，），将方程组（），将方程组（3.62）改写）改写为为3.62111221331112221 12332221 122(1)110.10.1.0nnnnnnnnn nnnnxba xa xa xaxba xa xa xaxba xa xaxa3.3 常用的数值计算方法3.3.1线性方程组计算机计算（迭代）1()()
40、()111221331111()()()2221 12332221()()()1 122(1)110.10.1.0kkkknnkkkknnkkkknnnnn nnnnxba xa xa xaxba xa xa xaxba xa xaxa通过简单迭代可得式（通过简单迭代可得式（3.63）（3.63）简写为简写为1()1111,2,.,;0,1,2,.nkkiiiijiiijxba xin ka （3.64）对于式（对于式（3.63），式（），式（3.64），给定一组），给定一组初始值初始值 后，后，(0)(0)(0)(0)12,.,Tnxxxx经反复迭代得到一向量系列：经反复迭代得到一向量系列：
41、()()()()12,.,TkkkknXxxx如果如果 收敛于收敛于()kx()()()()12,.,TnXxxx其中，其中，是方程组（是方程组（3.62）的解，式（）的解，式（3.64）被称为）被称为雅可比迭代格式雅可比迭代格式。如果不收敛，则迭代失败。如果不收敛，则迭代失败。()1,2,.,xin3.3 常用的数值计算方法3.3.1线性方程组计算机计算（迭代）赛德尔迭代法赛德尔迭代法：一般地，计算一般地，计算 时，使用时，使用 代替代替 能使收敛快些。能使收敛快些。1()()()111221331111()()()2221 12332221()()()1 122(1)110.10.1.0k
42、kkknnkkkknnkkkknnnnn nnnnxba xa xa xaxba xa xa xaxba xa xaxa11(1)()1111,2,.,;0,1,2,.nnkkkiiiijiijjj iiixba xa xin ka 为确定计算是否终止，设为允许的绝对误差限，当满足为确定计算是否终止，设为允许的绝对误差限，当满足 时，停止时，停止计算。计算。(1)(2)kixni(1)kpx()(1)kpxnp(1)()1maxkkiii nxx 3.3 常用的数值计算方法3.3.1线性方程组计算机计算（迭代）3.3 常用的数值计算方法3.3.1线性方程组计算机计算（迭代）3.3 常用的数值计
43、算方法3.3.1线性方程组计算机计算（迭代）有限差分法是数值求解微分问题的一种重要工具，很早就有人在这方面作了一些基础性的工作。到了1910年，L.F.Richardson在一篇论文中论述了Laplace方程、重调和方程等的迭代解法，为偏微分方程的数值分析奠定了基础。但是在电子计算机问世前，研究重点在于确定有限差分解的存在性和收敛性。这些工作成了后来实际应用有限差分法的指南。20世纪 40年代后半期出现了电子计算机，有限差分法得到迅速的发展，在很多领域（如传热分析、流动分析、扩散分析等）取得了显著的成就，对国民经济及人类生活产生了重要影响，积极地推动了社会的进步。有限差分法有限差分法初等模型初
44、等模型-为采用简单而且初等的方法建立问题的数学模型。为采用简单而且初等的方法建立问题的数学模型。微分方程模型微分方程模型-指的是在所研究的现象或过程中取一局部或指的是在所研究的现象或过程中取一局部或一瞬间，然后找出一瞬间，然后找出有关变量有关变量和和未知变量的微分（或差分）之未知变量的微分（或差分）之间间的关系式，从而获得系统的数学模型。的关系式，从而获得系统的数学模型。3.3 常用的数值计算方法3.3.2 有限差分法求解在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出
45、包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。3.3 常用的数值计算方法3.3.2 有限差分法求解物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数。也就是说，凡是这类问题都不是简单地去也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或者几个求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或者几个未知的函数未知的函数。解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似，也是要把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关也是要把研究的
46、问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来系找出来，从列出的包含未知函数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式。但是无论在方程的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面，都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。在数学上，解这类方程，要用到微分和导数的知识微分和导数的知识。因此，凡是表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。3.3 常用的数值计算方法3.3.2 有限差分法求解 有限差分法有限差分法在材料成形领域的应用较为普遍，与有限元法一起成为材料成形计算机模拟技术的主要两种数值分析方法。目前材料加工中的传热分析（如铸造成形过程的传热凝固、塑性成形中的传热、焊接成形中的热量传
47、递等）、流动分析（如铸件充型过程，焊接熔池的产生、移动，激光熔覆中的动量传递等）都可以用有限差分方式进行模拟分析。特别是在流动场分析方面，与有限元相比，有限差分法有独特的优势，因此目前进行流体力学数值分析，绝大多数都是基于有限差分法。另外，一向被认为是有限差分法的弱项应力分析，目前也取得了长足进步。一些基于差分法的材料加工领域的应力分析软件纷纷推出，从而使得流动、传热、应力统一于差分方式下。3.3 常用的数值计算方法3.3.2 有限差分法求解 有限差分法是数值计算中应用非常广泛的一种方法。有限差分法（Finite Differential Method）是基于差分原理差分原理的一种数值计算法。
48、其实质是以有限差分代替无限微分有限差分代替无限微分、以差分代数方差分代数方程代替微分方程程代替微分方程、以数值计算代替数学推导数值计算代替数学推导的过程，从而将连续函数离散化连续函数离散化，以有限的有限的、离散的离散的数值代替连续的函数分布代替连续的函数分布。3.3 常用的数值计算方法3.3.2 有限差分法求解3.3 常用的数值计算方法3.3.2 有限差分法求解3.3 常用的数值计算方法3.3.2 有限差分法求解3.3 常用的数值计算方法3.3.2 有限差分法求解3.3 常用的数值计算方法3.3.2 有限差分法求解3.3 常用的数值计算方法3.3.2 有限差分法求解3.3 常用的数值计算方法3
49、.3.2 有限差分法求解3.3 常用的数值计算方法3.3.2 有限差分法求解间接法间接法111221331112221 12332221 1221 122././:./:./nnnniiiiinniinnnnnnnnnxba xa xa xaxba xa xa xaxba xa xa xaxba xa xa xa对于线性方程组Ax=b，构造一个 值，将 代入，得出新的值 ，再将结果代入得到更新的 ，依次迭代下去，即可使其迭代值收敛于该方程组的精确解 。根据选择 的方法不同，又可以分为简单迭代法（同步迭代法）和Guass-Seidel迭代法。对线性方程组Ax=b，当 时，可表示为()kx()kx
50、(1)kx(2)kxX()kx0iia（3.89）可改写为,1/1,2,.,niiijjiiji jxba xa in（3.90）3.3 常用的数值计算方法3.3.2 有限差分法求解欲求解方程组，首先假设一个解 ，代入式（3.90）的右端，计算出解的一次迭代值，即(0)(1,2,.,)ixin(1)(0),1/1,2,.,niiijjiiji jxba xa in再将 代入式子的右端，得到第二次迭代值，以此类推，得到第k次迭代值(1)ix()(1),1/1,2,.,nkkiiijjiiji jxba xa in(1)()(0)kkiixxc 即可认为迭代已经满足精度要求。其中c为某适当小的量，
