1、新课标全国卷新课标全国卷理理科数学分类汇编科数学分类汇编 13坐标系与参数方程坐标系与参数方程 一、解答题一、解答题 【2017，22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 3cos , sin , x y （为参数） ，直线l的参数方程为 4 , 1, xat yt （t为参数） （1）若1a ，求C与l的交点坐标； （2）若C上的点到l的距离的最大值为17，求a 【2016，23】在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 ,sin1 ,cos tay tax t (为参数，)0a在以坐标 原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线cos4: 2 C （）说明 1 C是哪一种曲
2、线，并将 1 C的方程化为极坐标方程； （） 直线 3 C的极坐标方程为 0 ， 其中 0 满足2tan 0 ， 若曲线 1 C与 2 C的公共点都在 3 C上， 求a 【2015，23】在直角坐标系xOy中，直线 1 C：x=2，圆 2 C： 22 121xy，以坐标原点为极 点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （I）求 1 C， 2 C的极坐标方程； （II）若直线 3 C的极坐标方程为 4 R ，设 2 C与 3 C的交点为M,N，求 2 C MN的面积. 【2014，23】已知曲线C： 22 1 49 xy ，直线l： 2 22 xt yt （t为参数）. ()写出曲线C的参数方程，
3、直线l的普通方程； （）过曲线C上任一点P作与l夹角为 o 30的直线，交l于点A，求|PA的最大值与最小值. 【2013，23】已知曲线 C1的参数方程为 45cos , 55sin xt yt (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为 极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 2sin . (1)把 C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求 C1与 C2交点的极坐标(0,02) 【2012，23】已知曲线 1 C的参数方程为 sin3 cos2 y x （为参数） ，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为 极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程是2。正方形 ABCD 的顶点都在 2
4、 C上，且 A，B，C，D 依 逆时针次序排列，点 A 的极坐标为（2， 3 ） 。 （1)求点 A，B，C，D 的直角坐标； （2）设P为 1 C上任意一点，求 2222 |PDPCPBPA的取值范围。 【2011，23】在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 2cos 22sin x y （为参数） M 是 C1上的动点，P 点满足2OPOM uu u vuuuv ,P 点的轨迹为曲线 C2 ()求 C2的方程；()在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 3 与 C1的异于 极点的交点为 A，与 C2的异于极点的交点为 B，求AB. 2011 年年2017 年新
5、课标全国卷年新课标全国卷理理科数学分类汇编科数学分类汇编 13坐标系与参数方程坐标系与参数方程（解析版）（解析版） 一、解答题一、解答题 【2017，22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 3cos , sin , x y （为参数） ，直线l的参数方程为 4 , 1, xat yt （t为参数） （1）若1a ，求C与l的交点坐标； （2）若C上的点到l的距离的最大值为17，求a 【解析】（1）1a 时，直线l的方程为 430xy 曲线C的标准方程是 2 2 1 9 x y， 联立方程 2 2 430 1 9 xy x y ，解得： 3 0 x y 或 21 25 24 25 x y
6、 ，则C与l交点坐标是30，和 2124 2525 ， （2）直线l一般式方程是 440xya 设曲线C上点3cossinp， 则P到l距离 5sin43cos4sin4 1717 aa d ，其中 3 tan 4 依题意得：17 max d，解得16a 或8a 【2016，23】在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 ,sin1 ,cos tay tax t (为参数，)0a在以坐标 原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线cos4: 2 C （）说明 1 C是哪一种曲线，并将 1 C的方程化为极坐标方程； （） 直线 3 C的极坐标方程为 0 ， 其中 0 满足2tan 0
7、， 若曲线 1 C与 2 C的公共点都在 3 C上， 求a 【解析】 ： cos 1sin xat yat （t均为参数）, 2 22 1xya 1 C为以0 1，为圆心，a为半径的圆方程为 222 210xyya 222 sinxyy， , 22 2 sin10a 即为 1 C的极坐标方程 2 4cosC： ,两边同乘 得 2222 4 coscosxyx， 22 4xyx ,即 2 2 24xy , 3 C：化为普通方程为2yx 由题意： 1 C和 2 C的公共方程所在直线即为 3 C ,得： 2 4210xya ，即为 3 C 2 10a , 1a 【2015，23】在直角坐标系xOy中
8、，直线 1 C：x=2，圆 2 C： 22 121xy，以坐标原点为极 点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （I）求 1 C， 2 C的极坐标方程； （II）若直线 3 C的极坐标方程为 4 R ，设 2 C与 3 C的交点为M,N，求 2 C MN的面积. 解析： （I）因为cos ,sinxy，所以 1 C的极坐标方程为cos2 ， 2 C的极坐标方程为 2 2 cos4 sin40. （）将= 4 代入 2 2cos4sin40，得 2 3 240 ，解得 1 =2 2， 2 =2，|MN|= 1 2 =2，因为 2 C的半径为 1，则 2 C MN的面积 o 1 2 1 sin45
9、2 = 1 2 . 【2014，23】已知曲线C： 22 1 49 xy ，直线l： 2 22 xt yt （t为参数）. ()写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程； （）过曲线C上任一点P作与l夹角为 o 30的直线，交l于点A，求|PA的最大值与最小值. 【解析】 ：.() 曲线 C 的参数方程为： 2cos 3sin x y （为参数） ， 直线 l 的普通方程为：260xy （） （2）在曲线 C 上任意取一点 P (2cos,3sin)到 l 的距离为 5 4cos3sin6 5 d， 则 0 2 5 |5sin6 sin305 d PA，其中为锐角且 4 tan 3 . 当sin
10、1时，|PA取得最大值，最大值为 22 5 5 ； 当sin1时，|PA取得最小值，最小值为 2 5 5 . 【2013，23】已知曲线 C1的参数方程为 45cos , 55sin xt yt (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为 极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 2sin . (1)把 C1的参数方程化为极坐标方程； (2)求 C1与 C2交点的极坐标(0,02) 解：(1)将 45cos , 55sin xt yt 消去参数 t，化为普通方程(x4)2(y5)225， 即 C1：x2y28x10y160. 将 cos , sin x y 代入 x2y28x10y1
11、60 得 28cos 10sin 160. 所以 C1的极坐标方程为 28cos 10sin 160. (2)C2的普通方程为 x2y22y0. 由 22 22 810160, 20 xyxy xyy 解得 1, 1 x y 或 0, 2. x y 所以 C1与 C2交点的极坐标分别为 2, 4 ， 2, 2 . 【2012，23】已知曲线 1 C的参数方程为 sin3 cos2 y x （为参数） ，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为 极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程是2。正方形 ABCD 的顶点都在 2 C上， 且 A，B，C，D 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为（2， 3 ）
12、 。 （1)求点 A，B，C，D 的直角坐标； （2）设P为 1 C上任意一点，求 2222 |PDPCPBPA的取值范围。 【解析】 （1）曲线 1 C的参数方程 sin3 cos2 y x 化为 直角坐标方程为 22 1 49 xy ， 曲线 2 C的极坐标方程2化为 直角坐标方程为 22 4xy， 因为点 A 的极坐标为（2， 3 ） ， 所以点 B 的极坐标为（2，5 6 ） ，点 C 的极坐标为（2，4 3 ） ，点 D 的极坐标为（2，11 6 ） ， 因此点 A 的直角坐标为（1，3） ，点 B 的直角坐标为（3，1） ， 点 C 的直角坐标为（1，3） ，点 D 的直角坐标为（
13、3，1） 。 （2）设 P（2cos，3sin） ，则 2222 |PDPCPBPA 2222 (2cos1)(3sin3)(2cos3)(3sin1) 2222 (2cos1)(3sin3)(2cos3)(3sin1) 2222 (2cos1)(3sin3)(2cos3)(3sin1) 2222 (2cos1)(3sin3)(2cos3)(3sin1) 2 20sin3232,52。 因此 2222 |PDPCPBPA的取值范围为32，52。 【2011，23】在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 2cos 22sin x y （为参数） M 是 C1上的动点，P 点满足2OPO
14、M uu u vuuuv ,P 点的轨迹为曲线 C2 ()求 C2的方程；()在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 3 与 C1的异于 极点的交点为 A，与 C2的异于极点的交点为 B，求AB. 解： （I）设,P x y，则由条件知, 2 2 x y M ，由于M点在 1 C上，所以 2cos 2 22sin 2 x y ，即 4cos 44sin x y . 从而 2 C的参数方程为 4cos 44sin x y (为参数). (II)曲线 1 C的极坐标方程为4sin，曲线 2 C的极坐标方程为8sin. 射线 3 与 1 C的交点A的极径为 1 4sin 3 ， 射线 3 与 2 C的交点B的极径为 2 8sin 3 ， 所以 12 2 3AB.
