1、反比例函数及其应用一、反比例函数解析式的三种形式一、反比例函数解析式的三种形式1.y=_(k01.y=_(k0，k k为常数为常数).).2.y=k_(k02.y=k_(k0，k k为常数为常数).).3.xy=_(k03.xy=_(k0，k k为常数为常数).).kxx x-1-1k k二、反比例函数的图象与性质二、反比例函数的图象与性质1.1.反比例函数反比例函数y=(ky=(k为常数，为常数，k0)k0)的图象是的图象是_，且关，且关于于_对称对称.kx双曲线双曲线原点原点2.2.反比例函数反比例函数 (k (k为常数，为常数，k0)k0)的图象和性质的图象和性质函数函数图象图象所在象限
2、所在象限性质性质(k(k为为常数，常数，k0)k0)k0k0_象限象限(x(x，y y同号同号)在每个象限内，在每个象限内，y y随随x x增大而增大而_k0k0)(k0)的图象的图象上，则上，则y y1 1，y y2 2的大小关系为的大小关系为y y1 1y0k=210，所以函数，所以函数的图象在第一、三象限，在每个象限内的图象在第一、三象限，在每个象限内y y随随x x的增大而减小的增大而减小.答案：答案：21yx21721yx(2)(2)若函数若函数 的图象在同一象限内，的图象在同一象限内，y y随随x x的增大而增大，的增大而增大，则则m-10m-10，所以，所以m1m1，所以，所以m
3、 m的值可以是的值可以是0.0.答案：答案：0(0(答案不惟一答案不惟一)m 1yx【规律方法规律方法】比较反比例函数上的点的坐标值的大小比较反比例函数上的点的坐标值的大小先要判断是同一象限还是不同象限内的点，同一象限内的先要判断是同一象限还是不同象限内的点，同一象限内的点可根据函数的增减性进行比较；不同象限内的点，可根据纵点可根据函数的增减性进行比较；不同象限内的点，可根据纵坐标的正、负性进行比较；更直观的方法是利用函数图象进行坐标的正、负性进行比较；更直观的方法是利用函数图象进行比较比较.【真题专练真题专练】1.1.若反比例函数若反比例函数 的图象位于第二、四象限，则的图象位于第二、四象限
4、，则k k的取值的取值可能是可能是()A.0A.0B.2B.2C.3C.3D.4D.4【解析解析】选选A.A.因为因为k-10k-10，所以，所以k1k1，在，在4 4个选项中，只有个选项中，只有A A适合适合.k1yx2.2.函数函数 (a0)(a0)与与y=a(x-1)(a0)y=a(x-1)(a0)在同一坐标系中的大致在同一坐标系中的大致图象是图象是()ayx【解析解析】选选A.A.当当a0a0a0时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，而双曲线分布在时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，而双曲线分布在第一、三象限，第一、三象限，A A选项符合题意，故应选选项符合题意，故应选A.A.【
5、方法技巧方法技巧】根据反比例函数的图象确定根据反比例函数的图象确定k k的取值的方法的取值的方法一看所在象限：若双曲线两个分支在第一、三象限，则一看所在象限：若双曲线两个分支在第一、三象限，则k0k0；若双曲线两个分支在第二、四象限，则若双曲线两个分支在第二、四象限，则k0.k0k0；若双曲线在两个分支的每个分支中，；若双曲线在两个分支的每个分支中，y y随随x x的的增大而增大，则增大而增大，则k0.k0.3.3.关于反比例函数关于反比例函数 的图象，下列说法正确的是的图象，下列说法正确的是()A.A.图象经过点图象经过点(1(1，1)1)B.B.两个分支分布在第二、四象限两个分支分布在第二
6、、四象限C.C.两个分支关于两个分支关于x x轴成轴对称轴成轴对称D.D.当当x0 x0=20，图象的每个分支，都有图象的每个分支，都有y y随随x x的增大而减小的增大而减小.热点考向二热点考向二 确定反比例函数的解析式确定反比例函数的解析式【例例2 2】反比例函数反比例函数 的图象经过点的图象经过点(-2(-2，3)3)，则，则k k的值的值为为()A.6A.6B.-6B.-6C.C.D.D.【思路点拨思路点拨】将点的坐标代入反比例函数的解析式求解将点的坐标代入反比例函数的解析式求解.12kyx7272【自主解答自主解答】选选C.C.将点的坐标将点的坐标(-2(-2，3)3)代入得代入得
7、，解得解得 .12k327k2【规律方法规律方法】用待定系数法求反比例函数解析式的四个步骤用待定系数法求反比例函数解析式的四个步骤1.1.设出解析式设出解析式 (k(k是常数，是常数，k0).k0).2.2.把已知的一对把已知的一对x x，y y的值代入解析式，得到关于待定系数的值代入解析式，得到关于待定系数k k的的方程方程.3.3.解这个方程求出待定系数解这个方程求出待定系数k.k.4.4.将所求得的待定系数将所求得的待定系数k k的值代回所设的解析式中的值代回所设的解析式中.kyx【真题专练真题专练】1.1.已知反比例函数已知反比例函数 的图象经过点的图象经过点(2(2，3)3)，那么下
8、列四个，那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是点中，也在这个函数图象上的是()A.(-6A.(-6，1)1)B.(1B.(1，6)6)C.(2C.(2，-3)-3)D.(3D.(3，-2)-2)kyx【解析解析】选选B.B.根据反比例函数根据反比例函数 的图象经过点的图象经过点(2(2，3)3)，可，可得得k=6k=6，所给的四个选项中横纵坐标的乘积等于，所给的四个选项中横纵坐标的乘积等于6 6的只有的只有B B选项选项中的中的(1(1，6)6)，故，故(1(1，6)6)也在这个函数图象上也在这个函数图象上.kyx2.2.如图，已知直线如图，已知直线y=-x+2y=-x+2分别与分别与x x
9、轴，轴，y y轴交于轴交于A A，B B两点，两点，与双曲线与双曲线 交于交于E E，F F两点，若两点，若AB=2EFAB=2EF，则，则k k的值是的值是()A.-1A.-1B.1B.1C.C.D.D.kyx1234【解析解析】选选D.D.直线直线y=-x+2y=-x+2分别与分别与x x轴，轴，y y轴交于轴交于A A，B B两点，则两点，则点点A(2A(2，0)0)，点，点B(0B(0，2)2)，AOBAOB是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，AB=.AB=.又又AB=2EFAB=2EF，EF=.EF=.设点设点E E的横坐标为的横坐标为x x1 1，点，点F F的横坐标为的横坐标为x
10、 x2 2，则，则x x1 1-x-x2 2=1.=1.x x2 2-2x+k=0.-2x+k=0.2 22yx2kyx，xx1 1，x x2 2是方程是方程x x2 2-2x+k=0-2x+k=0的两个根，的两个根，x x1 1+x+x2 2=2=2，x x1 1x x2 2=k=k，(x(x1 1-x-x2 2)2 2=(x=(x1 1+x+x2 2)2 2-4k-4k，1=4-4k1=4-4k，解得，解得 .3k4【知识拓展知识拓展】利用待定系数法求反比例函数的解析式的注意利用待定系数法求反比例函数的解析式的注意事项事项如果如果y y与与x x成反比例，则可设成反比例，则可设 ；若是；若
11、是y y与与x x2 2成反比例，则要成反比例，则要设为设为 .同理，如果同理，如果y y与与x+1x+1成反比例，则应该设为成反比例，则应该设为 .kyx2kyxkyx13.3.已知反比例函数已知反比例函数 ，当，当x=2x=2时，时，y=3.y=3.(1)(1)求求m m的值的值.(2)(2)当当3x63x6时，求函数值时，求函数值y y的取值范围的取值范围.5myx【解析解析】(1)(1)把把x=2x=2，y=3y=3代入代入 得到得到5-m=65-m=6，所以，所以m=-1.m=-1.(2)(2)当当x=3x=3时，由时，由 得得y=2y=2；x=6x=6时，由时，由 得得y=1.y=
12、1.当当3x63x6时，时，y y随随x x的增大而减小，的增大而减小，所以函数值的范围是所以函数值的范围是1y2.1y2.5myx6yx6yx热点考向三热点考向三 反比例函数的应用反比例函数的应用【例例3 3】在一个可以改变体积的密闭容器内在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变体积时，气体的密度也会随之改变.密度密度(单位：单位：kg/mkg/m3 3)与体积与体积V(V(单位：单位：m m3 3)满足函数关系式满足函数关系式 (k(k为常数，为常数，k0)k0)，其图象如图所示，其图象如图所示，则
13、则k k的值为的值为()A.9A.9B.-9B.-9C.4C.4D.-4D.-4kV【思路点拨思路点拨】分析函数图象可知过点分析函数图象可知过点A(6A(6，1.5)1.5)，把，把(6(6，1.5)1.5)代入代入 即可求得即可求得k k的值的值.kV【自主解答自主解答】选选A.A.把把V=6V=6，=1.5=1.5代入代入 得，得，k=9.k=9.【规律方法规律方法】建立反比例函数模型解决实际问题的两种思路建立反比例函数模型解决实际问题的两种思路1.1.通过问题提供的信息，知道变量之间有什么关系，在这种情通过问题提供的信息，知道变量之间有什么关系，在这种情况下，可先设出函数表达式，再由已知
14、条件确定表达式中的字况下，可先设出函数表达式，再由已知条件确定表达式中的字母系数即可母系数即可.2.2.问题本身的条件中不知道变量间是什么函数关系，此时要通问题本身的条件中不知道变量间是什么函数关系，此时要通过分析，找出变量间的关系并确定函数表达式过分析，找出变量间的关系并确定函数表达式.【真题专练真题专练】1.1.如图，边长为如图，边长为1 1的正方形的正方形ABCDABCD中，点中，点E E在在CBCB延长线上，连接延长线上，连接EDED交交ABAB于点于点F F，AF=x(0.2x0.8)AF=x(0.2x0.8)，EC=y.EC=y.则在下面函数图象中，则在下面函数图象中，大致能反映大
15、致能反映y y与与x x之间函数关系的是之间函数关系的是 ()【解析解析】选选C.C.由题意知，由题意知，ADFADFBEFBEF，所以，所以 ，即即 所以所以 ，y y与与x x之间的函数之间的函数关系是反比例函数，所以选关系是反比例函数，所以选C.C.ADAFBEBF1x1xBEBE1xx，1x1y1xx 2.2.已知矩形的面积为已知矩形的面积为36cm36cm2 2，相邻两条边长分别为，相邻两条边长分别为xcmxcm和和ycmycm，则则y y与与x x之间的函数图象大致是之间的函数图象大致是()【解析解析】选选A.A.依题意，依题意，xyxy=36=36，其图象为位于一、，其图象为位于
16、一、三象限的双曲线，且在每个象限内三象限的双曲线，且在每个象限内y y随随x x的增大而减小的增大而减小.又又x0 x0，图象为第一象限的一个分支，故选图象为第一象限的一个分支，故选A.A.36yx热点考向热点考向 与反比例函数有关的综合题与反比例函数有关的综合题【例】【例】如图，在直角坐标系如图，在直角坐标系xOyxOy中，中，直线直线y=y=mxmx与双曲线与双曲线 相交于相交于A(-1A(-1，a)a)、B B两点，两点，BCxBCx轴，垂足为轴，垂足为C C，AOCAOC的面积是的面积是1.1.(1)(1)求求m m，n n的值；的值；(2)(2)求直线求直线ACAC的解析式的解析式.
17、nyx【思路点拨思路点拨】(1)(1)(2)(2)待定系数法确定解析式待定系数法确定解析式A(-1A(-1，2)2)C(1C(1，0)0)【自主解答自主解答】(1)(1)直线直线y=y=mxmx与双曲线与双曲线 相交于相交于A(-1A(-1，a)a)，B B两点，两点，A A，B B两点关于原点两点关于原点O O对称对称.A(-1A(-1，a)a)，B B点横坐标为点横坐标为1 1，而，而BCxBCx轴，轴，C(1C(1，0).0).AOCAOC的面积为的面积为1 1，A(-1A(-1，2).2).将将A(-1A(-1，2)2)代入代入y=y=mxmx，可得可得m=-2m=-2，n=-2.n=
18、-2.nyxnyx(2)(2)设直线设直线ACAC的解析式为：的解析式为：y=kx+b(k0).y=kx+b(k0).y=y=kx+bkx+b经过点经过点A(-1A(-1，2)2)，C(1C(1，0)0)，解得解得k=-1k=-1，b=1.b=1.直线直线ACAC的解析式为的解析式为y=-x+1.y=-x+1.kb2kb0，【规律方法规律方法】一次函数与反比例函数的综合应用的三个方面一次函数与反比例函数的综合应用的三个方面1.1.探求同一坐标系下两函数的图象常用排除法探求同一坐标系下两函数的图象常用排除法.2.2.探求两函数解析式常利用两函数图象的交点坐标探求两函数解析式常利用两函数图象的交点
19、坐标.3.3.探求两图象交点坐标，常利用解方程探求两图象交点坐标，常利用解方程(组组)的方法求解的方法求解.【真题专练真题专练】1.1.如图，正比例函数如图，正比例函数y y1 1与反比例函数与反比例函数y y2 2相交于点相交于点E(-1E(-1，2)2)，若，若y y1 1yy2 200，则，则x x的取值范围在数轴上表示正确的是的取值范围在数轴上表示正确的是()【解析解析】选选A.A.正比例函数正比例函数y y1 1与反比例函数与反比例函数y y2 2相交于点相交于点E(-1E(-1，2)2)，根据图象可知当根据图象可知当y y1 1yy2 200时时x x的取值范围是的取值范围是x-1
20、x-1，在数在数轴上表示为：轴上表示为：，故选，故选A.A.2.2.已知反比例函数已知反比例函数 (k0)(k0)和一次函数和一次函数y=x-6y=x-6，(1)(1)若一次函数与反比例函数的图象交于点若一次函数与反比例函数的图象交于点P(2P(2，m)m)，求，求m m和和k k的的值值.(2)(2)当当k k满足什么条件时，两函数的图象没有交点？满足什么条件时，两函数的图象没有交点？kyx【解析解析】(1)(1)把点把点P(2P(2，m)m)代入代入y=x-6y=x-6，得，得m=-4m=-4，P(2P(2，-4).-4).将将P(2P(2，-4)-4)代入反比例函数代入反比例函数 ，得，
21、得k=-8.k=-8.(2)(2)由由 得得 =x-6=x-6，x x2 2-6x-k=0-6x-k=0，两函数的图象没有交点，两函数的图象没有交点，(-6)(-6)2 2+4k0+4k0，即，即k-9.k01-2m0，解得，解得m .m .mm的取值范围是的取值范围是m .m0)(x0)和和 (x0)(x0)的图象交于点的图象交于点P P、点、点Q.Q.(1)(1)求点求点P P的坐标的坐标.(2)(2)若若POQPOQ的面积为的面积为8 8，求，求k k的值的值.6yxkyx【解析解析】(1)(1)由题可知，当由题可知，当y=2y=2时，时，解得解得x=3.x=3.点点P P的坐标是的坐标
22、是(3(3，2).2).(2)(2)由题可知：由题可知：OM=2.OM=2.SSPOQPOQ=QPQPOM=8OM=8，QPQP2=82=8，解得，解得QP=8.QP=8.点点P P的坐标是的坐标是(3(3，2)2)，点点Q Q的坐标是的坐标是(-5(-5，2).2).点点Q Q在在 的图象上，的图象上，k=-10.k=-10.62x1212kyx【典例典例】如图，直线如图，直线y=2xy=2x与双曲线与双曲线 在第一象限的交点为在第一象限的交点为A A，过点，过点A A作作ABxABx轴于点轴于点B B，将，将ABOABO绕点绕点O O旋旋转转9090，得到，得到ABOABO，则点，则点AA
23、的坐标为的坐标为.2yx【误区警示误区警示】错误错误分析分析 解题时没有注意旋转方向，只考虑到一种情况，漏掉解题时没有注意旋转方向，只考虑到一种情况，漏掉另一种情况另一种情况.正确正确解答解答 解方程组解方程组 得得 或或A A点在第一象限，点在第一象限，A(1A(1，2)2)，AB=2AB=2，BO=1BO=1，当，当ABOABO绕点绕点O O顺时针旋顺时针旋转转9090得到得到ABOABO时，有时，有AB=AB=2AB=AB=2，BO=BO=BO=1BO=1，点点A(2A(2，-1)-1)；当当ABOABO绕点绕点O O逆时针旋转逆时针旋转9090得到得到ABOABO时，时，有有AB=AB=2AB=AB=2，BO=BO=1BO=BO=1，点点A(-2A(-2，1).1).答案：答案：(2(2，-1)-1)或或(-2(-2，1)1)11x1y2，22x1y2 ，y2x2yx，【规避策略规避策略】当遇到与旋转有关求点的坐标变化的题目时，若旋转方向不明当遇到与旋转有关求点的坐标变化的题目时，若旋转方向不明确，为避免漏解需运用分类讨论思想来求解确，为避免漏解需运用分类讨论思想来求解.
