1、一元二次方程的应用一元二次方程的应用 之面积问题之面积问题预习指导预习指导1、一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图，它的长为、一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图，它的长为8m，宽为宽为5m如果镜框中央长方形图案的面积为如果镜框中央长方形图案的面积为18m 2，则花边多，则花边多宽宽?2、如图，一块长和宽分别为、如图，一块长和宽分别为60厘米和厘米和40厘米的长方形铁皮，厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为方体水槽，使它的底面积为800平方厘米平方厘米.求截去正方形的边求截去正方形
2、的边长。长。3、学校要建一个面积为、学校要建一个面积为150平方米的长方形自行车棚，为节约平方米的长方形自行车棚，为节约经费，一边利用经费，一边利用18米长的教学楼后墙，另三边利用总长为米长的教学楼后墙，另三边利用总长为35米米的铁围栏围成，求自行车棚的长和宽的铁围栏围成，求自行车棚的长和宽.4、在矩形、在矩形ABCD中中,AB=6cm,BC=12cm,点点P从点从点A开始以开始以1cm/s的速度沿的速度沿AB边向点边向点B移动移动,点点Q从点从点B开始以开始以2cm/s的的速度沿速度沿BC边向点边向点C移动移动,如果如果P、Q分别从分别从A、B同时出发，同时出发，几秒后几秒后 PBQ的面积等
3、于的面积等于8cm2？BACDQP5、等腰直角、等腰直角 ABC中中,AB=BC=8cm,动点动点P从从A点出发点出发,沿沿AB向向B移动移动,通过点通过点P引平行于引平行于BC,AC的直线与的直线与AC,BC分别分别交于交于R、Q.当当AP等于多少厘米时等于多少厘米时,平行四边形平行四边形PQCR的面积的面积等于等于16cm2?QRCBAP一、常见的图形有下列几种：一、常见的图形有下列几种：5xx xx（82x）（52x）8镜框镜框有多宽有多宽?一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图，它的一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图，它的长为长为8m，宽为，宽为5m如果镜框中央长方形图案的面积为如
4、果镜框中央长方形图案的面积为18m2，则花边多宽，则花边多宽?解：设镜框的宽为解：设镜框的宽为xm，则镜框中央长方形图案的长，则镜框中央长方形图案的长为为m,宽为宽为m,得得（82x）（52x）m2例例1.宽为宽为m,得得(8 2x)(5 2x)=18镜框镜框有多宽有多宽?一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图，它的一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图，它的长为长为8m，宽为，宽为5m如果镜框中央长方形图案的面积为如果镜框中央长方形图案的面积为18m2，则镜框多宽，则镜框多宽?解：设镜框的宽为解：设镜框的宽为xm，则镜框中央长方形，则镜框中央长方形图案的长为图案的长为m,（8-2x）（5-2
5、x）例例1.即2X2 13 X 110解解得X11，X25.5(不合题意)答:镜框的宽为镜框的宽为1m.审审设设答答解解列列例例2 2如图，一块长和宽分别为如图，一块长和宽分别为60厘米和厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为槽，使它的底面积为800平方厘米平方厘米.求截去正求截去正方形的边长。方形的边长。例2如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方厘米.
6、求截去正方形的边长。x解：设截去正方形的边长 厘米，则图中虚线部分长等于_厘米，宽等于_厘米60-240-2800 xx 依题意得：1210,40 xx解得：240,1 ,.0 xx不合题意 应舍去经检验答：截去正方形的边长为10厘米。60 2x40-2x 例例3.如图，在长为如图，在长为40米，宽为米，宽为22米的米的矩形地面上，修筑两条同样宽的互相垂矩形地面上，修筑两条同样宽的互相垂直的道路，余下的铺上草坪，要使草坪直的道路，余下的铺上草坪，要使草坪的面积为的面积为760平方米，道路的宽应为多平方米，道路的宽应为多少？少？40米米22米米例例4 学校要建一个面积为学校要建一个面积为150平
7、方米的长平方米的长方形自行车棚，为节约经费，一边利用方形自行车棚，为节约经费，一边利用18米长的教学楼后墙，另三边利用总长米长的教学楼后墙，另三边利用总长为为35米的铁围栏围成，求自行车棚的长米的铁围栏围成，求自行车棚的长和宽和宽.解：设与教学楼后墙垂直的一条边长为解：设与教学楼后墙垂直的一条边长为x米，则与教学米，则与教学楼后墙平行的那条边长为楼后墙平行的那条边长为(35 2x)米，根据题意，得米，根据题意，得 x(35 2x)150解得解得 当当 时，时，35 2x 20 18不合题意，舍去；不合题意，舍去；当当x 10时，时，35 2x 15.符合题意符合题意.答：自行车棚的长和宽分别为
8、答：自行车棚的长和宽分别为15米和米和10米米.1215,10.2xx152x 二二 、有关、有关“动点动点”的面积问题的面积问题”1)1)关键关键 以静代动以静代动 把动的点进行转换把动的点进行转换,变为线段的长度变为线段的长度,2)2)方法方法 时间变路程时间变路程 求求“动点的运动时间动点的运动时间”可以转化为求可以转化为求“动点动点的运动路程的运动路程”，也是求线段的长度，也是求线段的长度;由此由此,学会把动点的问题转化为静点的问题学会把动点的问题转化为静点的问题,是解这类问题的关键是解这类问题的关键.3 3）常找的常找的数量关系数量关系 面积，勾股定理，面积，勾股定理，例例5 在矩形
9、在矩形ABCD中中,AB=6cm,BC=12cm,点点P从点从点A开始以开始以1cm/s的速度沿的速度沿AB边向点边向点B移动移动,点点Q从点从点B开始以开始以2cm/s的速度沿的速度沿BC边向点边向点C移动移动,如果如果P、Q分别从分别从A、B同时出同时出发，几秒后发，几秒后 PBQ的面积等于的面积等于8cm2？BACDQP解：设解：设x秒后秒后 PBQ的面积等于的面积等于8cm2根据题意，得根据题意，得整理，得整理，得解这个方程，得解这个方程，得12(6)82xx2680 xx122,4xx06x所以所以2秒或秒或4秒后秒后 PBQ的的面积等于面积等于8cm2例例6：等腰直角：等腰直角 A
10、BC中中,AB=BC=8cm,动点动点P从从A点出发点出发,沿沿AB向向B移动移动,通过点通过点P引平行于引平行于BC,AC的直线与的直线与AC,BC分别分别交于交于R、Q.当当AP等于多少厘米时等于多少厘米时,平行平行四边形四边形PQCR的面积等于的面积等于16cm2?QRCBAP21216816044xxxxAPcm2解：设AP=x，则PR=x，PB=8-x根据题意得：x 8-x整理得：解这个方程得：答：当时，四边形面积为16cm 练习练习1 有一块长有一块长4米，宽米，宽3米的长方形空地，米的长方形空地，现要在空地中央建一个长方形花坛，四周是现要在空地中央建一个长方形花坛，四周是等宽的草
11、坪，使花坛面积是草坪面积的两倍，等宽的草坪，使花坛面积是草坪面积的两倍，求花坛的长和宽求花坛的长和宽.(精确到精确到0.1米米)2.如图如图,长方形长方形ABCD,AB=15m,BC=20m,四周外四周外围环绕着宽度相等的小路围环绕着宽度相等的小路,已知小路的面积为已知小路的面积为246m2,求小路的宽度求小路的宽度.ABCD解解:设小路宽为设小路宽为x x米，米，则则2015246)215)(220(xx化简得，化简得，01233522xx0)412)(3(xx舍去）(241,321xx答答:小路的宽为小路的宽为3米米.3：有一长方形空地，长：有一长方形空地，长42米，宽米，宽30米，准备米
12、，准备在中间开辟花圃，四周修建等宽的林荫小道，在中间开辟花圃，四周修建等宽的林荫小道，使小道的面积和花圃面积相等，求小道的宽。使小道的面积和花圃面积相等，求小道的宽。（只列方程，不求解）（只列方程，不求解）分析：由题意可知，花圃的面积为长分析：由题意可知，花圃的面积为长方形空地的面积的方形空地的面积的 ，花圃为原长，花圃为原长方形裁去小道后剩余的长方形方形裁去小道后剩余的长方形21解：设小道的宽为x,根据题意得：（422x)(30 2x)=42 302142xxxx30花圃xxxx花圃304.如图是宽为如图是宽为20米米,长为长为32米的矩形耕地米的矩形耕地,要修筑要修筑同样宽的三条道路同样宽
13、的三条道路(两条纵向两条纵向,一条横向一条横向,且互相垂且互相垂直直),把耕地分成六块大小相等的试验地把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验要使试验地的面积为地的面积为570平方米平方米,问问:道路宽为多少米道路宽为多少米?解解:设道路宽为设道路宽为x x米，米，则则570)20)(232(xx化简得，化简得，035362xx0)1)(35(xx1,3521xx其中的其中的 x=35超出了原矩形的宽，应舍去超出了原矩形的宽，应舍去.答答:道路的宽为道路的宽为1米米.练习练习5：（探究性题）一块矩形耕地大小尺寸如图：（探究性题）一块矩形耕地大小尺寸如图（1）所示，要在这块土地上沿东西和南北方向
14、分别）所示，要在这块土地上沿东西和南北方向分别挖挖2条和条和4条小渠，如果小渠的宽相等，而且要保证条小渠，如果小渠的宽相等，而且要保证余下的耕地面积为余下的耕地面积为9600 ，那么水渠应挖多宽？，那么水渠应挖多宽？2m16264（2）分析：这类问题的特分析：这类问题的特点是，挖渠所占面积点是，挖渠所占面积只与挖渠的条数和渠只与挖渠的条数和渠道的宽度有关，而与道的宽度有关，而与渠道的位置无关，为渠道的位置无关，为了研究问题方便可分了研究问题方便可分别把东西和南北方向别把东西和南北方向的渠道移动到一起的渠道移动到一起（最好靠一边），如（最好靠一边），如图（图（2）所示。那么）所示。那么剩余可耕的
15、长方形土剩余可耕的长方形土地的长为（地的长为（162-2x)m,宽为（宽为（64-4x)m解：设水渠的宽为解：设水渠的宽为xm,列方程得：列方程得：（1622x）（）（64-4x)=9600，解得，解得 =1，=96（不合题意，舍去）。答：水渠的宽为（不合题意，舍去）。答：水渠的宽为1m.1x2x16264（1）6.(2003年年,舟山舟山)如图，有长为如图，有长为24米的篱笆，一面利米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度用墙（墙的最大可用长度a为为10米），围成中间隔有米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽AB为为x米，面米，面积为积为S米米2，（
16、1）求）求S与与x的函数关系式的函数关系式;（2）如果要围成面积为）如果要围成面积为45米米2的花圃，的花圃，AB的长是多少米？的长是多少米？【解析】【解析】(1)(1)设宽设宽ABAB为为x x米，米，则则BCBC为为(24-3x)(24-3x)米，这时面积米，这时面积S=x(24-3x)=-3xS=x(24-3x)=-3x2 2+24x+24x(2)(2)由条件由条件-3x-3x2 2+24x=45+24x=45化为：化为：x x2 2-8x+15=0-8x+15=0解得解得x x1 1=5=5，x x2 2=3=30024-3x1024-3x10得得14/3x14/3x8 8xx2 2不合题意，不合题意，AB=5AB=5，即花圃的宽，即花圃的宽ABAB为为5 5米米7.如图，用长为如图，用长为18m的篱笆（虚线部分），两面靠的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃墙围成矩形的苗圃.要围成苗圃的面积为要围成苗圃的面积为81m2,应该应该怎么设计怎么设计?解解:设苗圃的一边长为设苗圃的一边长为xm,则则81)18(xx化简得，化简得，081182xx0)9(2 x答答:应围成一个边长为应围成一个边长为9米的正方形米的正方形.921xx
