1、第十二章第十二章 卷积码卷积码主要内容和重点主要内容和重点n基本概念n卷积码的图解表示n树状图n网格图n状态图和状态转移图n卷积码的解析表示n延时算子多项式表示n半无限矩阵表示12.1 基本概念基本概念 n按照信息码元和监督码元之间的约束方式不同分为n(n,k)分组码：每个码组的(n-k)个校验位仅与本码组的k个信息位有关，而与其他码组无关n为了达到一定的纠错能力和编码效率（Rc=k/n），n通常较大，编译码时存储信息码产生的时延随n增大而线性增加n(n,k,N)卷积码：在任何一段规定时间内产生的n个码元，不仅取决于这段时间中的k个信息位，而且取决于前(N-1)段时间内的信息位n也是把k个信息
2、比特编成n个比特，但k和n很小，延时小n编码过程中相互关联的码元为Nn个n纠错能力随N的增加而增大。在编码器复杂性相同的情况下，卷积码的性能优于分组码n未有严格的数学手段有规律地联系纠错性能和码的构成，采用计算机搜索好码nN（或Nn）定义为卷积码的约束长度n编码效率Rc=k/n12.1 基本概念基本概念 n表示方法：n解析法：延时算子多项式表示、半无限矩阵表示n图解法：树状图、网格图、状态图n译码方法：n门限译码：即大数逻辑译码n性能最差，但硬件简单nViterbi（维特比）译码：属最大似然译码n具最佳性能，但硬件实现复杂n序列（序贯）译码：属最大似然译码n在性能和硬件方面介于两者之间12.1
3、 基本概念基本概念 n卷积码编码器的一般形式nN段组成的输入移位寄存器，每段k级，共Nk位寄存器nn个模2和相加器nn级组成的输出移位寄存器12.1 基本概念基本概念 n卷积码编码器的一般形式（续）n由图可知：n个输出比特不但与当前k个输入比特有关，而且与以前的(N-1)k个输入信息比特有关n整个编码过程可看成：输入信息序列与移位寄存器和模2和连接方式所决定的另一个序列的卷积 12.2 卷积码的图解表示卷积码的图解表示n主要内容n树状图n网格图n状态图和状态转移图 12.2 卷积码的图解表示卷积码的图解表示n树状图n(2,1,3)卷积编码器：输出移位寄存器用转换开关代替，每输入1个信息比特经编
4、码产生2个输出比特n设移位寄存器初始状态为全0n第1个输入比特：为0，输出比特=00；为1，输出比特=11n第2个比特输入，第1个比特右移1位，输出比特同时受当前输入比特和前一个输入比特的影响n第3个比特输入，第1、2个比特各右移1位，输出比特同时由这3位移位寄存器存储的比特共同决定n第4个比特输入，第1个比特移出移位寄存器，不对后续编码产生影响 12.2 卷积码的图解表示卷积码的图解表示n树状图（续）：(2,1,3)卷积编码器n移位过程可用树状图表示n用a、b、c、d表示移位寄存器mj-2mj-1的4种可能状态：00、01、10和11n树状图用mj=0和mj-2mj-1=00作起点，即从a点
5、出发n随着移位寄存器和输入比特的不同，树状图陆续分成4条支路，2上、2下。上支路对应于输入比特为0，下支路对应于输入比特为1n每条支路（树叉）上标注的码元为输出比特，每个节点上标注的a、b、c、d为移位寄存器的状态n对j个输入信息比特，有2j条支路，但在j=N3时，树状图的节点自上而下开始重复出现4种状态（相当于移位超过移位寄存器长度，状态已重复出现）12.2 卷积码的图解表示卷积码的图解表示n树状图（续）树状图分析：n第1个输入比特m1=0时，输出比特x1,1x2,1=00；m1=1时x1,1x2,1=11。即从a点出发有2条支路（树叉）可选：m1=0取上支路，下一节点mj-2mj-1=00
6、（为a）；m1=1取下支路，下一节点mj-2mj-1=01（即b）12.2 卷积码的图解表示卷积码的图解表示n树状图（续）(2,1,3)卷积编码器树状图分析：n输入第2个比特，移位寄存器右移1位后，上支路情况下移位寄存器状态mj-2mj-1仍为00，即a，下支路mj-2mj-1=01，即bn对a，mj-2mj-1=00。若m1=0时，x1,1x2,1=00，下一节点mj-2mj-1=00（为a）；m1=1时x1,1x2,1=11，下一节点mj-2mj-1=01（为b）n对b，mj-2mj-1=01。若m1=0时，x1,1x2,1=10，下一节点mj-2mj-1=10（为c）；m1=1时x1,1
7、x2,1=01，下一节点mj-2mj-1=11（为d）n输入第3个比特（a、b的情况重复，故可不考虑）n对c，mj-2mj-1=10。若m1=0时，x1,1x2,1=11，下一节点mj-2mj-1=00（为a）；m1=1时x1,1x2,1=00，下一节点mj-2mj-1=01（为b）n对d，mj-2mj-1=11。若m1=0时，x1,1x2,1=01，下一节点mj-2mj-1=10（为c）；m1=1时x1,1x2,1=10，下一节点mj-2mj-1=11（为d）12.2 卷积码的图解表示卷积码的图解表示n网格图n按照码树中的重复性，可得一种更为紧凑的图形表示n把码树中具有相同状态的节点合并在一
8、起 12.2 卷积码的图解表示卷积码的图解表示n网格图（续）n码树中的上支路（对应输入比特0）用实线表示，下支路（对应输入比特1）用虚线表示 12.2 卷积码的图解表示卷积码的图解表示n网格图（续）n支路上标注的码元为输出比特，自上而下4行节点分别表示a、b、c、d四种状态。通常有2N-1种状态，从第N节开始，图形开始重复而完全相同 12.2 卷积码的图解表示卷积码的图解表示n状态图和状态转移图n取出已达到稳定状态的一节网格，可得到状态图n再把目前状态与下一行状态重叠起来，可得到反映状态转移的状态转移图 12.2 卷积码的图解表示卷积码的图解表示n例：对上述(2,1,3)卷积编码器，若起始状态
9、为a，输入序列为1101 1100 1000，求输出序列和状态变化路径n解：由该卷积码的网格图表示，找出编码时网格图中的路径如图所示，由此可得到输出序列和状态变化路径，画在同一图中 12.2 卷积码的图解表示卷积码的图解表示n对于(n,k,N)卷积码的一般情况，有如下结论n对应于每组k个输入比特，编码后产生n个输出比特n树状图中每个节点引出2k条支路n网格图和状态图（状态转移图）都有2k(N-1)种可能的状态。每个状态引出2k条支路，同时也有2k条支路从其它状态或本状态引入 12.3 卷积码的解析表示卷积码的解析表示n主要内容n延时算子多项式表示n半无限矩阵表示 12.3 卷积码的解析表示卷积
10、码的解析表示n延时算子多项式表示n将编码器中移位寄存与模2和的连接关系以及输入、输出序列都表示为延时算子D的多项式n如输入序列1101110表示为 M(D)=1+D+D3+D4+D5+n哑变量D的幂次等于相对于时间起点的单位延时数目，时间起点通常选在第1个输出比特n通常，输入序列可表示为 M(D)=m1+m2D+m3D2+m4D3+n其中，m1、m2、m3、m4为输入比特的二进制表示（1或0）12.3 卷积码的解析表示卷积码的解析表示n延时算子多项式表示n用D算子多项式表示移位寄存器各级与各模2和连接关系时，若某级寄存器与某模2和相连，则多项式中相应项的系数为1，否则为0（表示无连接线）n(2
11、,1,3)卷积码编码器中，左、右两个模2和与寄存器各级的连接关系可表示为 G1(D)=1+D+D2 G2(D)=1+D2 12.3 卷积码的解析表示卷积码的解析表示n延时算子多项式表示（续）n把表示移位寄存器与模2和连接关系的多项式称为生成多项式n由生成多项式用多项式相乘可计算出输出序列n以输入序列1101110为例，可得 x1(D)=G1(D)M(D)=(1+D+D2)(1+D+D3+D4+D5+)=1+D5+D7+x2(D)=G2(D)M(D)=(1+D2)(1+D+D3+D4+D5+)=1+D+D2+D4+D6+D7+)n由此，输出序列 x1=(x1,1,x1,2,x1,3,)=1000
12、0101 x2=(x2,1,x2,2,x2,3,)=11101011 x=(x1,1,x2,1,x1,2,x2,2,x1,3,x2,3,)=11 01 01 00 01 10 01 11n结果与前面图解法所得结果相同 12.3 卷积码的解析表示卷积码的解析表示n延时算子多项式表示（续）n常用二进制或八进制序列表示生成多项式。如上例：G1(D)=1+D+D2 g1=(111)=(7)8 G2(D)=1+D2 g2=(101)=(5)8n这种表示主要是为了方便 12.3 卷积码的解析表示卷积码的解析表示n半无限矩阵表示n输入信息序列和输出序列都用半无限矢量表示n以(2,1,3)卷积码为例，有 M=
13、m1 m2 m3 X=x1,1 x2,1 x1,2 x2,2 x1,3 x2,3 n当第1个信息比特输入时，若移位寄存器起始状态为全0，两个输出比特为nx1,1=m1 x2,1=m1n当第2个信息比特输入时，移位寄存器右移1位，输出为nx1,2=m2+m1 x2,2=m2n当第3个信息比特输入时，有nx1,3=m3+m2+m1 x2,3=m3+m1 12.3 卷积码的解析表示卷积码的解析表示n半无限矩阵表示n当第j个信息比特输入时，输出为nx1,j=mj+mj-1+mj-2 x2,j=mj+mj-2n上式写成矩阵形式，即nmj mj-1 mj-2A=x1,j x2,jn其中 111011A 1
14、2.3 卷积码的解析表示卷积码的解析表示n半无限矩阵表示n当第1、2信息比特输入时存在过渡过程 m1 0 0T1=x1,1 x2,1 m1 m2 0T2=x1,2 x2,2n其中，1110000T2101100T 12.3 卷积码的解析表示卷积码的解析表示n半无限矩阵表示n把上述编码过程综合起来，可得矩阵表示如下 X=MGn其中，G为生成矩阵（半无限，矩阵的空白区元素均为0）121110110011101100001110111110111110.11.TTAAGAA 12.3 卷积码的解析表示卷积码的解析表示n半无限矩阵表示n生成矩阵和生成多项式之间存在确定关系n已知(2,1,3)卷积码的生
15、成序列为 g1=(111)=(g11 g12 g13)g2=(101)=(g21 g22 g23)n把生成序列g1、g2按如下方法交错排列，即可得生成矩阵112233121212112233121212112233121212.ggggggggggggGgggggg 12.3 卷积码的解析表示卷积码的解析表示n半无限矩阵表示n生成矩阵和生成多项式之间存在确定关系（续）n结果与前面表示的生成矩阵相同，上式可表示为 其中，每个子矩阵Gi（i=1,2,3）由一行二列组成：G1=(g11 g21)G2=(g12 g22)G3=(g13 g23)123123123.GGGGGGGGGG 12.3 卷积码
16、的解析表示卷积码的解析表示n半无限矩阵表示n推广：对于(n,k,N)码，有X=MGn其中，M=m1,1 m2,1 m3,1 mk,1 m1,2 m2,2 m3,2 mk,2 X=x1,1 x2,1 x3,1 xn,1 x1,2 x2,2 x3,2 xn,2 n已知该码的生成序列一般表达式为 gi,j=(gi,j1 gi,j2 gi,jl gi,jN)i=1,2,k;j=1,2,n;l=1,2,Nn其中gi,jl表示了每组k个输入比特中第i个比特经l-1组延迟后的输出与每组n个输出比特中第j个模2和的输入端的连接关系，gi,jl=1表示有连线，gi,jl=0表示无连线n则生成矩阵的一般形式为 1
17、23123123.NNNGGGGGGGGGGGGG 12.3 卷积码的解析表示卷积码的解析表示n半无限矩阵表示n 式中，Gl（l=1,2,N）是k行n列子矩阵，有1,11,21,31,2,12,22,32,1,2,3,.llllnllllnlllllkkkk nggggggggGgggg差错控制编码复习思考题1.在通信系统中采用差错控制的目的是什么？2.什么是随机信道？什么是突发信道？什么是混合信道？3.常用的差错控制方法有哪些？试比较其优缺点。4.什么试分组码？其构成有何特点？5.试述码重、码距、编码效率的定义、6.一种编码的最小码距与其检错和纠错能力有什么关系？7.什么是奇偶监督码？其检错
18、能力如何？8.什么是线性码？它具有哪些重要性质？9.什么是循环码？循环码的生成多项式如何确定？10.卷积码和分组码之间有何异同点？卷积码是否为线性码？11.什么是卷积码的树状图、网格图和状态图？差错控制编码复习计算方面的考点基本计算（1）抗干扰能力e，t与dmin之间的关系（2）对线性分组码，dmin=Wmin（3）奇偶监督码编码（4）汉明码参数（n=2r-1，r=3）（5）编码效率Rk/n线性分组码（1）编码A=MG，典型阵G=IkQ（2）监督AHT=O，典型阵H=PIr（3）纠错S=BHT=EHTQ=PT，GHT=O差错控制编码复习计算方面的考点循环码（1）生成多项式g(D)（2）g(D)
19、G典型G典型（同线性分组码）（3）编码：A(D)=Dn-kM(D)+r(D)（4）译码：卷积码(n,k,N)（1）约束长度N的含义：相互关联的码段总数（2）根据编码器原理图写出yimi关系式（3）根据输入信码求出卷积码，有如下多种方法：n根据输出、输入关系式：yimin根据生成多项式gin根据各种图形：树状图、网格图、状态图（4）状态图画法()()B Dg D 可以整除练习题1、已知三个码组为(001010),(101101),(010001)。若用于检错，能检出几位错码？若用于纠错，能纠正几位错码？若同时用于检错和纠错，各能纠、检几位错码？根据三个码组可知该码的最小码距dmin4。当用于检错
20、时，由dmine+1可得e=3，即能检出3位错码；当用于纠错时，由dmin 2t+1可得t=1，即能纠正1位错码；当同时用于检错和纠错时，由dmin e+t+1（e t）可得t=1,e=2，即能纠正1位错码，同时检测2位错码。练习题2、设一线性分组码的错码图样如表所示。试：（1）确定(n,k)中的n,k值（2）求监督矩阵H；（3）求生成矩阵G；（4）写出全部码组；（5）求dmin；（6）若接收码组B=(0111111)，试纠正之。（7）若编码器输出码元速率为350Bd，求其输入码元速率。错码位置S1S2S3a6110a5101a4011a3111a2100a1010a0001无错000解：1、
21、由表可知a为a6a0，故n=7。又S为rbit，得r=3，于是k=4，此为（7，4）码。2、表中内容为HT（除全0外），故有：3、111 110101011P ,100 001101011 110101011即H1111000110010010100100110001 P TkIG解：4、有两个方法：a：A=MG，然后从00001111排列出16种信息码，分别与G相乘。b:在生成矩阵中取一行，两行之和，三行之和，四行之和，以及取零行（全0码），组成全部码组，共有C40C41C42C43C4416种。5、dmin=Wmin=36、1111111A0111000100011111101010111
22、1111106有错，故查表知aBHST7、编码效率 Rk/n=4/7 输入码元速率R输出码元速率（4/7）350200Bd练习题3、已知(7,3)循环码的全部码组为(0000000),(0011101),(0111010),(1110100),(1101001),(1010011),(0100111),(1001110)。试求：（1）生成多项式g(D)；（2）典型生成矩阵G；（3）典型监督矩阵H；（4）列出错码图样表；（5）是否为汉明码？解：1、根据生成多项式含义找到题中的第二码组（0011101），对应有：g(D)=D4+D3+D2+12、3、100011001000110010111000
23、1101101110011100100111001,1011100010111000101111)()()()(23434524562rTkIQHQIGGDDDDDDDDDDDDgDDgDgDDG典型阵即解：4、dmin=Wmin=4，所以t=1。列出错码图样如下图：5、由于不满足n=2r-1，因而它不是汉明码。错码位置S1S2S3S4a61110a50111a41101a31000a20100a10010a00001无错0000练习题4、已知D7+1=(D3+D2+1)(D3+D+1)(D+1)。另g1(D)=D3+D2+1,g2(D)=D3+D+1,g3(D)=D+1。分别讨论：（1）g(
24、D)=g1(D)g2(D)（2）g(D)=g2(D)g3(D)两种情况下，由g(D)生成的7位循环码的检错与纠错能力。练习题5、设有一（3,1,4）卷积码，其编码器输出y与m1,m2,m3,m4之间的关系为：Y1=m4;Y2=m1+m2+m3;Y3=m2+m3+m4并给定输入信码为110100，试：（1）画出编码器原理图（2）根据题目给定的关系式求输出序列（3）采用生成多项式计算输出序列；（4）画出该卷积码编码器的状态图；（5）根据状态图求输出序列。1、2、假设零初始条件，即m1=m2=m3=m4=0。当第1个信码进入时，m4=1，y1=m4=1,y2=m1+m2+m3=0,y3=m2+m3+m4=1。当第2个信码进入时，有m4=1,m3=1,m2=m1=0。于是有：y1=1,y2=1,y3=0。以此类推。可得：输入信息码：1 1 0 1 0 0输出卷积码：101 110 000 100 001 011为系统码。3、生成多项式为：g1(D)=1,g2(D)=D3+D2+D,g3(D)=D2+D+1又知信息码多项式m(D)=D3+D+1,因此，Y1(D)=m(D)g1(D)=D3+D+1 (110100)Y2(D)=m(D)g2(D)=D6+D5+D (0100011)Y3(D)=m(D)g3(D)=D5+D4+1 (1000110)
