1、1.a或表示法:向量的模:向量的大小,21MM记作向量:(又称矢量).1M2M既有大小,又有方向的量称为向量向径(矢径):自由向量:与起点无关的向量.起点为原点的向量.单位向量:模为 1 的向量,.a或记作 a零向量:模为 0 的向量,.00或，记作有向线段 M1 M2,或 a,a或.a或第二节 矢量代数2规定:零向量与任何向量平行;若向量 a 与 b大小相等,方向相同,则称 a 与 b 相等,记作 ab;若向量 a 与 b 方向相同或相反,则称 a 与 b 平行,ab;与 a 的模相同,但方向相反的向量称为 a 的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称 两向量共线.若 k
2、(3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此 k 个向量共面.记作a;36.2.1 矢量运算1.矢量的加法矢量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律:交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加.bbabbacba)()(cbacbaabcba cb)(cbacba)(aaba ba 4s3a4a5a2a1a54321aaaaas52.矢量的减法矢量的减法三角不等式ab)(ab有时特别当,ab aa)(aababaabababa0baba6aa3.数量与矢量的乘法数量与矢量的乘法 是一个数,.a规定:时，0，同向与aa,0时,0时.0a;aa;1aa可见;1aa;aa 与 a 的乘积是一个新向
3、量,记作，反向与aa总之:运算律:结合律)(a)(aa分配律a)(aa)(baba,0a若a则有单位向量.1aa因此aaa 7空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影u AA 过过点点A作作轴轴u的的垂垂直直平平面面，交交点点A 即即为为点点A在在轴轴u上上的的投投影影.4.矢量的射影矢量的射影8空间一向量在轴上的投影空间一向量在轴上的投影uAA BB 已知向量的起点已知向量的起点A和终点和终点B在在轴轴u上的投影分别为上的投影分别为BA ,那那么轴么轴u上的有向线段上的有向线段BA 的的值，称为向量在轴值，称为向量在轴u上的投影上的投影.9ABjuPr.BA 向量向量AB在轴在轴u上的投影记
4、为上的投影记为关于向量的关于向量的投影定理（投影定理（1 1）向向量量AB在在轴轴u上上的的投投影影等等于于向向量量的的模模乘乘以以轴轴与与向向量量的的夹夹角角的的余余弦弦：ABjuPr cos|AB 证证uABA B B ABjuPrABju Pr cos|AB u 10定理定理1 1的说明：的说明：投影为正；投影为正；投影为负；投影为负；投影为零；投影为零；uabc(4)相等向量在同一轴上投影相等；相等向量在同一轴上投影相等；0)1(,2 2)2(,)3(,2 115.矢量的分解与矢量的坐标矢量的分解与矢量的坐标在空间直角坐标系下,设点 M,),(zyxM则沿三个坐标轴方向的分向量分向量.
5、kzjyixr),(zyxxoyzMNBCijkA,轴上的单位向量分别表示以zyxkji的坐标为此式称为向量 r 的坐标分解式坐标分解式,rkzjyix称为向量,r任意向量 r 可用向径 OM 表示.NMONOMOCOBOA,ixOA,jyOBkzOC126.矢量的模方向余弦方向数 1.向量的模与两点间的距离公式向量的模与两点间的距离公式222zyx),(zyxr 设则有OMr 222OROQOPxoyzMNQRP由勾股定理得),(111zyxA因AB得两点间的距离公式:),(121212zzyyxx212212212)()()(zzyyxx对两点与,),(222zyxB,rOM作OMr OR
6、OQOPBABAOAOBBA13oyzx 方向角与方向余弦方向角与方向余弦设有两非零向量,ba任取空间一点 O,aOA作,bOBOAB称 =AOB(0 )为向量 ba,的夹角.),(ab或类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.,0),(zyxr给定与三坐标轴的夹角,rr称为其方向角方向角.cosrx222zyxx方向角的余弦称为其方向余弦方向余弦.记作),(ba14oyzxrcosrx222zyxxcosry222zyxycosrz222zyxz1coscoscos222方向余弦的性质:的单位向量向量 rrrr)cos,cos,(cos15 作业：作业：p-25 习题习题6.1-6.2 10，18
7、，161M沿与力夹角为的直线移动,W1.定义定义设向量的夹角为,称 记作数量积(点积).引例引例.设一物体在常力 F 作用下,F位移为 s,则力F 所做的功为cossFsFW2Mbacosba的与为baba,s6.2.2 两矢量的数量积17,0时当a上的投影为在ab记作故,0,时当同理babj rPb数量积的基本性质数量积的基本性质为两个非零向量,则有baj rPcosbbabaaj rPba1)000.A BABAB，或，或,A B特别0A BABba0ba则2),(ba0,0ba182)交换律3)结合律),(为实数abbaba)()(ba)(ba)()(ba)(ba)(ba4)分配律cbc
8、acba事实上,当0c时,显然成立;时当0cc)(ba babcj rPacj rPcbabacj rPc cbaccj rPj rPacj rP cbcj rPccacb)(j rPbac19ABCabc例例1.证明三角形余弦定理cos2222abbac证证:则cos2222abbac如图.设,aBC,bACcBAbac2c)()(babaaabbba22a2bcos2baccbbaa,20)(MB,)(MA BM例例2.已知三点,)2,1,2(),1,2,2(,)1,1,1(BAM AMB.A解解:,1,1 0,1,01则AMBcos10022213AMB求MBMAMA MB故21引例引例
9、.设O 为杠杆L 的支点,有一个与杠杆夹角为OQOLPQ符合右手规则OQFFsinOPsinOPMFOPOPM M矩是一个向量 M:的力 F 作用在杠杆的 P点上,则力 F 作用在杠杆上的力FoPFMFM 6.2.3 两矢量的矢量积22定义定义定义向量方向:(叉积)记作且符合右手规则模:向量积,，的夹角为设ba,c,acbccsinabbac称c的与为向量babacba引例中的力矩FOPM思考思考:右图三角形面积abba21S234.数量积的坐标表示数量积的坐标表示设则,10zzyyxxbababa当为非零向量时,cos zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbb由于 bac
10、osba,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(kajaiazyx)(kbjbibzyxii jjkk jikjikbaba baba,两向量的夹角公式,得242.性质性质为非零向量,则，0sin或即01)0AA2),A B0A BA B,0,0时当baba0basinab05)分配律4)结合律B A cba)(cbca3)A B证明证明:ba)()(ba)(ba25)(kajaiazyx)(kbjbibzyx4.向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式设则,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(iibaxx)(jibayx)(kibazx)(ijbaxy)(kjbazy)
11、(ikbaxz)(jkbayzibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)()(jjbayy)(kkbazzijk26向量积的行列式计算法向量积的行列式计算法kjixayazaxbybzb,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaabaibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)(kajaiaazyxkbjbibbzyx27例例4.已知三点,)7,4,2(),5,4,3(,)3,2,1(CBA角形 ABC 的面积 解解:如图所示,CBASABC21kji222124)(21,4,622222)6(42114sin21AB AC21ACAB求三28
12、一点 M 的线速度例例5.设刚体以等角速度 绕 l 轴旋转,导出刚体上 的表示式.Ml解解:在轴 l 上引进一个角速度向量使a其在 l 上任取一点 O,O作它与则点 M离开转轴的距离a且符合右手法则的夹角为,sinar,rOM vsinr,vr rvvv方向与旋转方向符合右手法则,r向径291.定义定义 已知三向量称数量混合积混合积.记作几何意义几何意义 为棱作平行六面体,底面积高h故平行六面体体积为hAV coscba)(cba,cba的为cba,Abaccba,以则其cosbaccba)(bacba cba6.2.4 两矢量的混合积30zyxzyxbbbaaaxcyczckji2.混合积的
13、坐标表示混合积的坐标表示设xayazaxbybzbzxzxbbaayxyxbbaacba)(ba,),(zyxaaaa cbazyzybbaa,),(zyxbbbb),(zyxcccc,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaaxcyczc313.性质性质(1)三个非零向量共面的充要条件是0(2)轮换对称性:(可用三阶行列式推出)cbacba,a b cab ca bcabc32例例6.已知一四面体的顶点),(kkkkzyxA,3,2,1(k4),求该四面体体积.1A2A3A4A解解:已知四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体体积的,61故 61V6112xx 12yy 12zz 13
14、xx 13yy 13zz 14xx 14yy 14zz,21AA,31AA41AA413121AAAAAA33例例7.证明四点,)3,3,2(),6,5,4(,)1,1,1(CBA共面.解解:因0)17,15,10(DABCD34512291416故 A,B,C,D 四点共面.ADACAB34内容小结内容小结设1.向量运算加减:数乘:点积:),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(,),(,),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa叉积:kjixayazaxbybzbba35混合积:2.向量关系:xxabyyabzzab0zzyyxxbabababa/ba 0bazyxzyxzyxcccbbbaaacba)(cba共面cba,0zyxzyxzyxcccbbbaaa0)(cba0ba
