1、教材教材：概率论与数理统计概率论与数理统计（经管类）（经管类）本课程的重点章是第本课程的重点章是第1、2、3、4、7、8章章.（1）试题的难度可分为：易，中等偏易，中等偏难，难。）试题的难度可分为：易，中等偏易，中等偏难，难。它们所占分数依次大致为：它们所占分数依次大致为：20分，分，40分，分，30分，分，10分。分。（2）试题的题型有：选择题）试题的题型有：选择题(10*2=20分分)、填空题、填空题(15*2=30分分)、计算题计算题(2*8=16分分)、综合题综合题(2*12=24分分)、应用题应用题(1*10=10分分)。（3）在试题中，概率论和数理统计内容试题分数的分布大）在试题中
2、，概率论和数理统计内容试题分数的分布大 致是致是75分和分和25分分.概率论是研究什么的？概率论是研究什么的？序序 言言目目 录录第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率(重点重点)第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布(重点重点)第三章第三章 多维随机变量及其概率分布多维随机变量及其概率分布(重点重点)第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征(重点重点)第五章第五章 大数定律及中心极限定理大数定律及中心极限定理第六章第六章 统计量及其抽样分布统计量及其抽样分布第七章第七章 参数估计参数估计(重点重点)第八章第八章 假设检验假设检验(重点重点)第九章第九章 回归分析
3、回归分析第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 1.1 1.1 随机事件随机事件 1.2 1.2 概率概率 1.3 1.3 条件概率条件概率 1.4 1.4 事件的独立性事件的独立性 1.1.1 随机现象随机现象 现象按照必然性分为两类现象按照必然性分为两类：一类是确定性现象确定性现象；一类是随机现象随机现象。在一定条件下，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，我们预先无法断言，这类现象成为随机现象随机现象。1.1 随机事件随机事件 1.1.2 随机试验和样本空间随机试验和样本空间试验的例子试验的例子E1:抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况；E2:掷一颗骰子，观察出现的点数；E3
4、:记录110报警台一天接到的报警次数；E4:在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命；E5:记录某物理量的测量误差；E6:0 1，在区间 上任取一点，记录它的坐标。上述试验的特点：上述试验的特点：1.试验的可重复性试验的可重复性可在相同条件下重复进行可在相同条件下重复进行；2.一次试验结果的随机性一次试验结果的随机性一次试验之前无法确定具体一次试验之前无法确定具体 是哪种结果出现，但能确定所有的可能结果。是哪种结果出现，但能确定所有的可能结果。3.全部试验结果的可知性全部试验结果的可知性所有可能的结果是预先可知所有可能的结果是预先可知 的。的。在概率论中，将具有上述三个特点的试验成为在概率论中，
5、将具有上述三个特点的试验成为随机试验随机试验，简称简称试验试验。随机试验常用。随机试验常用E表示。表示。1、样本空间样本空间:试验的试验的所有可能结果所有可能结果所组成的所组成的集合集合称为称为试验试验E的样本空间的样本空间,记为记为.样本空间样本空间2、样本点样本点:试验的试验的每一个可能出现的结果每一个可能出现的结果成为一个成为一个样本点样本点,用字母用字母表示表示.1H,T；kE下面分别写出上述各试验下面分别写出上述各试验 所对应的样本空间所对应的样本空间21 2 3 4 5 6，；301 2 3，；4|0；t t 5|，；t t 6|01，.t t 1.1.3 随机事件随机事件1.定义
6、定义 样本空间的任意一个子集子集称为随机事件随机事件,简称“事件”.记作A、B、C等。例在试验E2中，令A表示“出现奇数点”，A就是一个随机事件。A还可以用样本点的集合形式表示，即A=1，3，5.它是样本空间的一个子集。事件发生事件发生：例如，在试验E2中，无论掷得1点、3点还是5点，都称这一次试验中事件A发生了。基本事件基本事件：样本空间仅包含一个样本点的单点子集。例例，在试验E1中H表示“正面朝上”，就是个基本事件基本事件。两个特殊的事件两个特殊的事件必然事件：；不可能事件：.既然事件是一个集合，因此有关事件间的关系、运算及运算规则也就按集合间的关系、运算及运算规则来处理。1.包含关系与相
7、等包含关系与相等：“事件事件 A发生必有事件发生必有事件B发发生生”，记为，记为A B。AB A B且且B A.1.1.4、事件之间的关系、事件之间的关系A BAB2.和事件：和事件：“事件事件A与事件与事件B至少有一个发生至少有一个发生”，记作，记作A B或或A+B。推广：推广：n个事件个事件A1,A2,An至少有一个发生，记作至少有一个发生，记作iniA1显然：1.A A B，B A B；2.若若A B，则，则A B=B。3.积事件积事件:事件事件A与事件与事件B同时发生，记作同时发生，记作 A B 或或AB。推广：推广：n个事件个事件A1,A2,An同时发生，记作同时发生，记作 A1A2
8、An显然：1.AB A，AB B；2.若若A B，则，则AB=A。4.差事件差事件：AB称为称为A与与B的差事件的差事件,表示事件表示事件 A发生而事件发生而事件B不发生不发生显然：显然：1.A-B A；2.若若A B，则，则A B=。5.互不相容事件（也称互斥的事件）互不相容事件（也称互斥的事件）即事件即事件A与与事件事件B不可能同时发生不可能同时发生。AB 。ABAB=6.对立对立事件事件 A B ,且且AB ，称称为为A A的的对对立立事事件件;A A记记作作B B 思考思考：事件事件A和事件和事件B互不相容与事件互不相容与事件A和事件和事件B互互为对立事件的区别为对立事件的区别.显然有
9、：显然有：1.AA2.,.3.ABABAAB事件的运算律事件的运算律1、交换律：、交换律：ABBA，ABBA。.,kkkkkkkkAAAABAABBABA可推广2、结合律、结合律：(AB)C=A(BC)，(AB)CA(BC)。3、分配律、分配律：(AB)C(AC)(BC)，(AB)C(AC)(BC)。4、对偶、对偶(De Morgan)律律：(1)ABC(2)ABC例例1-4、设A、B、C表示三个事件，试以A，B，C的运算表示以下事件：（1）仅A发生；（2）A，B，C都发生；（3）A，B，C都不发生；（4）A，B，C不全发生；（5）A，B，C恰有一个发生。(3)ABC(4)ABC(5)ABCA
10、BCABC解解1123123123；BA A AA A AA A A0123；BA A A 2123123123；BA A AA A AA A A例例1-5 某射手向一目标射击3次,Ai表示“第i次射击命中目标”,i=1,2,3.Bj表示“三次射击恰命中目标j次”,j=0,1,2,3.试用 A1,A2,A3的运算表示Bj,j=0,1,2,3.3123.BA A A 解解例例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A A、B B、C C分分别表示甲、乙、丙命中目标，试用别表示甲、乙、丙命中目标，试用A A、B B、C C的运算关系表示下的运算关系表示下列事
11、件：列事件：:654321“三人均未命中目标”“三人均命中目标”“最多有一人命中目标“恰有两人命中目标”“恰有一人命中目标”“至少有一人命中目标AAAAAACBACBACBACBACBABCACABBACACBABCCBA 本节课主要讲授：本节课主要讲授：1.随机现象；随机现象；2.随机试验和样本空间；随机试验和样本空间；3.随机事件的概念；随机事件的概念；4.随机事件的关系和运算（随机事件的关系和运算（重点重点）。）。小小 结结).(A.,)(,).(,.,AfAfnAfAnnAnAnnnnAA的概率就是事件其实这个值的稳定值我们称这个常数为频率数越来越稳定于某一个常会频率的大量增加着试验重
12、复次数通过实践人们发现，随并记成发生的频率称为事件比值发生的频数称为事件次数发生的事件次试验中在这次试验进行了在相同的条件下1.2 概概 率率1.2.1 频率与概率频率与概率nAn)(Afn频率的性质：频率的性质：111 012013.nnnnnnnnnnkkkfAffABfABfAfBfAfA （）（）；（）（），（）；（）若若与与互互不不相相容容，有有（）（）（）同同理理可可有有：（）（）试验者试验者德.摩根204810610.5181蒲丰404020480.5069K.皮尔逊1200060190.5016K.皮尔逊24000120120.5005111 012013.mmkkkP APP
13、ABP ABP AP BPAP A （）（）；（）（），（）；（）若若 与与互互不不相相容容，有有（）（）（）同同理理可可有有：（）（）频率是概率的近似值，概率频率是概率的近似值，概率P(A)也应有类似特征也应有类似特征：2.2.等可能性等可能性：每个基本事件发生的可能性相同.1.2.2 古典概型古典概型 理论上理论上,具有下面两个特点的随机试验的概率模型具有下面两个特点的随机试验的概率模型,称为称为古典概型古典概型：1.1.有限性：有限性：基本事件的总数是有限的,换句话说样本空间仅含有有限个样本点;设事件A中所含样本点个数为r,样本空间中样本点总数为n,则有()().rAP AnrAP An
14、中样本点数中样本点总数也即所包含的基本事件数基本事件总数古典概型中的概率古典概型中的概率:r31P(A)=n62例例1-7 掷一枚质地均匀的骰子掷一枚质地均匀的骰子,求出现奇数点的概率。求出现奇数点的概率。事件事件“出现奇数点出现奇数点”用用A表示表示,则则A=1,3,5,所含样所含样本本点数点数r=3,从而从而解解：显然样本空间显然样本空间=1,2,3,4,5,6,样本点总数样本点总数n=6,解解1:试出现正面用试出现正面用H表示表示,出现反面用出现反面用T表示表示,则样本空间则样本空间 =HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT,样本点总数样本点总数n=8.A=TTH
15、，THT，HTT，B=HHH，C=HHH,THH,HTH,HHT,TTH,THT,HTT所以所以A,B,C中样本点数分别为中样本点数分别为rA=3,rB=1,rC=7,例例1-8 抛一枚均匀硬币抛一枚均匀硬币3次次,设事件设事件A为为“恰有恰有1次出现次出现面面”,B为为“恰有恰有2次出现正面次出现正面”,C为为“至少一次出现正面至少一次出现正面”,试试求求 P(A),P(B),P(C).则则P(A)=rAn=38,P(B)=rBn=18,P(C)=rCn=78.383107.15CrP AnC例例1-9 从从0,1,2,9等等10个数字中任意选出个数字中任意选出3个不同数字个不同数字,试试求
16、求3个数字中不含个数字中不含0和和5的概率的概率.解解 设设A表示表示“3个数字中不含个数字中不含0和和5”.从从0,1,2,9中任意选中任意选3个不同的数字个不同的数字,共有共有 种选法种选法,即基本事件总数即基本事件总数n=.3个数中不含个数中不含0和和5,是从是从1,2,3,4,6,7,8,9共共8个数中取得个数中取得,选法有选法有 ,即即A包含的基本事件数包含的基本事件数 ,则则310C310C38C38rC 如果把题中的如果把题中的“0和和5”改成改成“0或或5”,结果如何？结果如何？例例1-10 从从1,2,9这这9个数字中任意取一个数个数字中任意取一个数,取后放回取后放回,而而后
17、再取一数后再取一数,试求取出的两个数字不同的概率试求取出的两个数字不同的概率.解解 基本事件总数基本事件总数n=92,因为第一次取数有因为第一次取数有9中可能取法中可能取法,这这时可重复排列问题时可重复排列问题.设设A表示表示“取出的两个数字不同取出的两个数字不同”.A包含的基本事件包含的基本事件数数9*8因为第一次取数有因为第一次取数有9中可能取法中可能取法,为保证两个数不同为保证两个数不同,第二第二次取数应从另外的次取数应从另外的8个数中选取个数中选取,有有8中可能取法中可能取法,r=9*8,故故 P(A)=rn=9*892=89 22532813.28CCrP AnC 例例1-11 袋中
18、有袋中有5个白球个白球3个黑球个黑球,从中任取两个从中任取两个,试求取到的试求取到的两个球颜色相同的概率。两个球颜色相同的概率。解解 从从8个球中任意取两个个球中任意取两个,共有共有 种取法种取法,即基本事件总即基本事件总 数数 .记记A表示表示“取到的两个球颜色相同取到的两个球颜色相同”,A包含两种可包含两种可能能:全是全是白球白球或全是或全是黑球黑球.全是白球有全是白球有 种取法种取法,全是黑球有全是黑球有 种取法种取法,由加法原理由加法原理 知知,A的取法共的取法共 中中,即即A包含的基本事件数包含的基本事件数 r=28C28nC 25C23C2253CC 2253CC 故故 21009
19、730.0294.rP AnA (2)采取放回抽样：第一次抽取共有采取放回抽样：第一次抽取共有100种取法，取后放回，种取法，取后放回，第二次抽取仍有第二次抽取仍有100种取法，即基本事件总数种取法，即基本事件总数n=1002.在这种在这种 情况下，情况下，A中包含的基本事件数中包含的基本事件数r仍为仍为97*3，故，故 29730.0291.100rP An 例例1-12 一批产品共有一批产品共有100件，其中件，其中3件次品，现从这批产品中接件次品，现从这批产品中接连抽取两次，每次抽取一件，考虑两种情况：连抽取两次，每次抽取一件，考虑两种情况：（1）不放回抽样：第一次取一件不放回，第二次再
20、抽取一件；）不放回抽样：第一次取一件不放回，第二次再抽取一件；（2）放回抽样：第一次抽取意见检查后放回，第二次再抽取一件）放回抽样：第一次抽取意见检查后放回，第二次再抽取一件.试分别针对上述两种情况，求事件试分别针对上述两种情况，求事件A“第一次取到正品，第二次取到次品第一次取到正品，第二次取到次品的概率的概率”。解解 (1)采取不放回抽样：由于要考虑采取不放回抽样：由于要考虑2件产品取出的顺序，接件产品取出的顺序，接 连两次抽取共有连两次抽取共有 种取法，即基本事件总数种取法，即基本事件总数 .第一第一 次次 取到正品共有取到正品共有97种取法，第二次取到次品共有种取法，第二次取到次品共有3
21、种取法，种取法，则则A中包含的基本事件数是中包含的基本事件数是r=97*3，故，故2100A2100nA 计算古典概型的概率还可以利用概率的性质，后面将有这方面计算古典概型的概率还可以利用概率的性质，后面将有这方面的例子：的例子：由古典概型中事件概率的计算公式易知概率具有下列由古典概型中事件概率的计算公式易知概率具有下列 性质：性质：(1)0()1;(2)()0,()1;P APP (3)当当A与与B互不相容时，有互不相容时，有P(AUB)=P(A)+P(B).这个性质可以推广：当这个性质可以推广：当A1，A2，Am互不相容时，有互不相容时，有其中其中m是正整数是正整数.当当A1，A2，Am互
22、不相容时，有互不相容时，有11(),mmkkkkPAP A 11().kkkkPAP A 1.定义定义若对随机试验若对随机试验E所对应的样本空间所对应的样本空间 中的每一事件中的每一事件A，均赋予一实数，均赋予一实数P(A)，集合函数，集合函数P(A)满足条件：满足条件：(1)P(A)0；(2)P()1；(3)可列可加性可列可加性：设设A1，A2，,是一列两两互不相容的事是一列两两互不相容的事件，即件，即AiAj，(i j),i,j1,2,有有 P(A1 A2 )P(A1)P(A2)+.则称则称P(A)为事件为事件A的概率。的概率。1.2.3 概率的定义与性质概率的定义与性质概率的性质概率的性
23、质性质性质 1-10()1,()0.P AP 性质性质 1-2 对于任意事件对于任意事件A,B有有 P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB).特别地特别地,当当A与与B互不相容时互不相容时,P(AUB)=P(A)+P(B).性质性质1-2可推广可推广：对于任意事件A,B,C有 P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC).当A1,A2,An互不相容时：P(A1UA2UUAn)=P(A1)+P(A2)+P(An).性质性质1-3 P(B-A)=P(B)-P(AB).特别地,当A B时,P(B-A)=P(B)-P(A),且P(A)P(B).性
24、质性质 1-4 P(A)1 P(A).性质性质 1-5：对任意两事件A、B,有 P(A)P(AB)P(AB),P(B)P(AB)P(AB)例例1-13 已知12种产品中有2件次品,从中任意抽取4件产品,求至少取得1件次品(记为A)的概率.解解 设B表示“为抽到次品”,则B=A,而由古典概型的概率 求法可得41041214(),33CP BC19()1()1().33P AP AP B例例1-14 设A,B为两个随机事件,P(A)=0.5,P(AUB)=0.8,P(AB)=0.3,求求P(B).解解 由P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB),得 P(B)=P(AUB)-P(A)+P(AB)
25、=0.8-0.5+0.3=0.6.解解 由性质1-5可知，例例1-15 设A,B两个随机事件,P(A)=0.8,P(AB)=0.5,求P(AB).P(AB)=P(A)-P(AB)=0.8-0.5=0.3例例1-16 设设A与与B互不相容互不相容,P(A)=0.5,P(B)=0.3,求求P(AB).AB 解解 P(AB)=P()=1-P(AUB)=1-P(A)+P(B)=1-(0.5+0.3)=0.2 小小 结结本节课的重点：本节课的重点：（1）古典概型事件概率的计算；）古典概型事件概率的计算；（2）概率的性质及其应用）概率的性质及其应用.1.3.1 条件概率与乘法公式条件概率与乘法公式例例1-
26、17 某工厂有职工400名,其中男女职工各占一半,男女职工中优秀的分别为20人与40人.从中任选一名职工,试问：（1）该职工技术优秀的概率是多少？（2）已知选出的是男职工,他技术优秀的概率是多少？1.3 条件概率条件概率1 定义定义：已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率称为A条件下B的条件概率,记作P(B|A).定义定义1-2 设A,B是两个事件,且P(B)0,称 ()|()P ABPA BP B 为在事件B发生条件下事件A发生的概率.显然，P(A)0时，()|()P ABP B AP A 计算条件概率有两个基本的方法：计算条件概率有两个基本的方法：一、是用定义计算；二、是在古典概型中利用
27、古典概型的计算方法直接计算.例例1-18 在全部产品中有在全部产品中有4%是废品是废品,有有72%为一等品为一等品.现从现从中任取一件为合格品中任取一件为合格品,求它是一等品的概率求它是一等品的概率.解解 设A表示“任取一件为合格品”,B表示“任取一件为一等品”,显然B A,P(A)=96%,P(AB)=P(B)=72%,则所求概率为.75.09672)()()(%BPABPABP 例例1-19 盒中有黄白两色的乒乓球盒中有黄白两色的乒乓球,黄色球黄色球7个个,其中其中3个是新个是新球球;白色球白色球5个个,其中其中4个是新球个是新球.现从中任取一球是新球现从中任取一球是新球,求它求它是白球的
28、概率是白球的概率.解解1 设A表示“任取一球为新球”,B表示“任取一球为白球”,由古典概型的等可能性可知,所求概率为4().7P B A 解解2 设A表示“任取一球为新球”,B表示“任取一球为白球”,754(),(),(),121212P AP BP AB由条件概率公式可得4()412().7()712P ABP B AP B解解 设A表示“第一次取球取出的是白球”,B表示“第二次取球取出的是黑球”,所求概率为P(B|A).由于第一次取球取出的是白球,所以第二次取球时盒中有5个黑球2个白球,由古典概型的概率计算方法得5().7P B A 例例1-20 盒中有盒中有5个黑球个黑球3个白球个白球,
29、连续不放回的从中取两连续不放回的从中取两次球次球,每次取一个每次取一个,若已知第一次取出的是白球若已知第一次取出的是白球,求第二次取求第二次取出的是黑球的概率出的是黑球的概率.性质2 若A与B互不相容，则 (|)(|)(|).P ABCP ACP BC 性质3 (|)1(|).PABPAB 条件概率的性质条件概率的性质0(|)1,(|)1,(|)0.P A BPBPB 性质1 概率的乘法公式：(1)当当P(A)0时，有时，有P(AB)=P(A)P(B|A).(2)当当P(B)0时，有时，有P(AB)=P(B)P(A|B).乘法公式还可以推广到n个事件的情况：(1)设设P(AB)0时，则时，则P
30、(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).同理还有P(AC)0，P(BC)0之下的乘法公式.(2)设P(A1A2An-1)0,则 P(A1A2An-1)=P(A1)P(A2|A1)P(An|A1A2An-1).例例1-21 在在10个产品中个产品中,有有2件次品件次品,不放回的抽取不放回的抽取2次产品次产品,每每次取一个次取一个,求取到的两件产品都是次品的概率求取到的两件产品都是次品的概率.解解 设A表示“第一次取产品取到次品”,B表示“第二次取产品取到次品”,则 故 211(),(|),1059P AP B A111()()(|).5945P ABP A P B A例例1-22 盒中有
31、盒中有5个白球个白球2个黑球个黑球,连续不放回的在其中取连续不放回的在其中取3次球次球,求第三次才取到黑球的概率求第三次才取到黑球的概率.解解 设设Ai(i=1,2,3)表示表示“第第i次取到黑球次取到黑球”,于是所求概率为于是所求概率为1231213125424()()(|)(|).76521P A A AP A P AA P AA A 例例1-23 设设P(A)=0.8,P(B)=0.4,P(B|A)=0.25,求求P(A|B).()()(|)0.80.250.2,P ABP A P B A ()0.21(|).()0.42P ABP A BP B解解1.3.2 全概率公式与贝叶斯全概率公
32、式与贝叶斯(Bayes)公式公式定义定义1-3 设事件A1,A2,An满足如下两个条件：(1)A1,A2,An互不相容,且P(Ai)0,i=1,2,n;(2)A1 A2 An=,即A1,A2,An至少有一个发生,则称A1,A2,An为样本空间的一个划分划分.全概率公式全概率公式 设随机试验对应的样本空间为,设A1,A2,An是样本空间的一个划分,B是任意一个事件,则1()()(|).niiiP BP A P B A 注：全概率公式求的是注：全概率公式求的是无条件概率无条件概率例例1-24 盒中有盒中有5个白球个白球3个黑球个黑球,连续不放回地从中取两连续不放回地从中取两次球次球,每次取一个每次
33、取一个,求第二次取球取到白球的概率求第二次取球取到白球的概率.5345(),(),(|),(|),8877P AP AP B AP B A 解解 设A表示“第一次取球取到白球”,B表示“第二次取球取到白球”,则由全概率公式得.8575837485)|()()|()()(ABPAPABPAPBP例例1-25 在某工厂中有甲、乙、丙三台机器生产同一型号的产品在某工厂中有甲、乙、丙三台机器生产同一型号的产品,它们的产量各占它们的产量各占30%,35%,35%,并且在各自的产品中废品率分别为并且在各自的产品中废品率分别为5%,4%,3%.求从该厂的这种产品中任取一件是废品的概率求从该厂的这种产品中任取
34、一件是废品的概率.解解 设A1表示“从该厂的这种产品中任取一件产品为甲所生产”,A2表示“从该厂的这种产品中任取一件产品为乙所生产”,A3表示“从该厂的这种产品中任取一件产品为丙所生产”,B表示“从该厂的这种产品中任取一件为次品”,则P(A1)=30%，P(A2)=35%,P(A3)=35%,P(B|A1)=5%,P(B|A2)=4%,P(B|A3)=3%.由全概率公式得31()()(|)30%5%35%4%35%3%3.95%.iiiP BP A P B A 例例1-26 设在设在n(n1)张彩票中有张彩票中有1张奖券张奖券,甲、乙两人依次甲、乙两人依次摸一张彩票摸一张彩票,分别求甲、乙两人
35、摸到奖券的概率分别求甲、乙两人摸到奖券的概率.111(|)0,(|),(),(),1nP B AP B AP AP Annn 解解 设A表示“甲摸到奖券”,B表示“乙摸到奖券”.现在目的是求P(A),P(B),显然P(A)=1/n.因为A是否发生直接关系到B的概率,即于是由全概率公式得 这个例题说明这个例题说明,购买彩票时购买彩票时,不论先买后买不论先买后买,中奖机会是均等的中奖机会是均等的,这就是所这就是所谓的谓的“抽签公平性抽签公平性”.1111()()(|)()(|)0.1nP BP A P B AP A P B Annnn 贝叶斯贝叶斯(Bayes)公式公式 设设A1,A2,An是样本
36、空间的一个划分是样本空间的一个划分,B是任一事件是任一事件,且且P(B)0,则则1()(|)()(|)(|),1,2,.,.()()(|)iiiiinkkkP A P B AP A P B AP ABinP BP A P B A 例例1-27 在例1-24的条件下,若第二次取到白球,求第一次取到黑球的概率.解解 使用例1-24解中记号,所求概率为 ,由贝叶斯公式(|)P A B35()(|)387(|).5()78P A P B AP A BP B 注：注：Bayes公式求的是公式求的是条件概率条件概率.例例1-27 在例1-25的假设下,若任取一件是废品,分别求它是甲、乙、丙生产的概率.解解
37、 由贝叶斯公式，111()(|)30%5%30(|)37.97%;()3.95%79P A P B AP ABP B 222()(|)35%4%28(|)35.44%;()3.95%79P A P B AP ABP B 333()(|)35%3%21(|)26.58%.()3.95%79P A P B AP ABP B 例例1-28 针对某种疾病进行一种化验,患该病的人中有90%呈阳性反应,而未患该病的人中5%呈阳性反应.设人群中有1%的人患这种病.若某人做这种化验呈阳性反应,则他换这种疾病的概率是多少?()0.01,()0.99,(|)0.9,(|)0.05.P AP AP B AP B A
38、解解 设A表示“某人患这种病”，B表示“化验呈阳性反应”，则由全概率公式得再由贝叶斯公式得()()(|)()(|)0.01 0.9 0.99 0.050.0585.P BP A P B AP A P B A )(|)0.010.9(|)0.1515%.()0.0585PA P B AP A BP B 本题的结果表明，化验呈阳性反应的人中，只有15%左右真正患有该病.例题例题 小明的父母亲每月有且仅有一人给他寄钱小明的父母亲每月有且仅有一人给他寄钱,假设母亲每假设母亲每 月给他寄钱的概率是月给他寄钱的概率是0.8.小明打算国庆假期去上海看世博小明打算国庆假期去上海看世博会在母亲给他寄钱的时候小明
39、能去上海的概率是会在母亲给他寄钱的时候小明能去上海的概率是0.1,父亲父亲给他寄钱的时候小明能去上海的概率是给他寄钱的时候小明能去上海的概率是0.9.求：求：(1)小明能去上海看世博会的概率是多少？小明能去上海看世博会的概率是多少？(2)假如现在国庆假期已过假如现在国庆假期已过,小明已经去过上海小明已经去过上海,求他父母亲给求他父母亲给他寄钱的概率各是多少？他寄钱的概率各是多少？1、全概率公式及其应用；、全概率公式及其应用；(求无条件概率求无条件概率)小小 结结2、贝叶斯公式及其应用。、贝叶斯公式及其应用。(求条件概率求条件概率)1()(|)()(|)(|),1,2,.,.()()(|)iii
40、iinkkkP A P B AP A P B AP ABinP BP A P B A 1()()(|).niiiP BP A P B A 定义定义1-4 若P(AB)=P(A)P(B),则称A与B相互独立,简称A,B独立独立.性质性质1-6 若A与B相互独立,则A与B,A与B,A与B都相互独立.1.4 事件的独立性事件的独立性1.4.1 两事件独立两事件独立性质性质1-5 设P(A)0,则A与B相互独立的充分必要条件是P(B)=P(B|A).设P(B)0,则A与B相互独立的充分必要条件是P(A)=P(A|B).以下四件事等价：(1)事件A、B相互独立；(2)事件A、B相互独立；(3)事件A、B
41、相互独立；(4)事件A、B相互独立。由性质由性质1-6知知，例例1-30 两射手彼此独立地向同一目标射击,设甲射中目标的 概率为0.9,乙射中目标的概率为0.8,求目标被击中的概率.解解 设A表示“甲射中目标”,B表示“乙射中目标”,C表示“目标被击中”,则C=AB,A与B相互独立,P(A)=0.9,P(B)=0.8，故P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.9+0.8-0.9*0.8=0.98.或利用对偶律对偶律亦可.注注：A，B相互独立时,概率加法公式可以简化,即当A与B相互独立时P(AB)=1-P(A)P(B)例例1-31 袋中有袋中有5个白球个白球3个黑球个黑球,从中
42、有放回地连续取两次从中有放回地连续取两次,每次取每次取 一个球一个球,求两次取出的都是白球的概率求两次取出的都是白球的概率.5525()()()8864P ABP A P B解解 设A表示“第一次取球取到白球”,B表示“第二次取球取到白球”,由于是有放回抽取,A与B是相互独立的,所求概率为例例1-32 设设A与与B相互独立相互独立,A发生发生B不发生的概率与不发生的概率与B发生发生A不发生的不发生的 概率相等概率相等,且且P(A)=1/3，求，求P(B).即即12()(),1()2().33P BP BP BP B 1().3P B 解得解解 由题意，P(AB)=P(AB)，因为A与B相互独立
43、，则A与B，A与B都相互独立，故 P(A)P(B)=P(A)P(B)，二、多个事件的独立二、多个事件的独立定义定义1-5 若三个事件A、B、C满足：P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),则称事件A、B、C两两相互独立两两相互独立；若在此基础上还满足：P(ABC)P(A)P(B)P(C),则称事件A、B、C相互独立相互独立,简称A、B、C独立独立.一般地,设A1,A2,An是n个事件,如果对任意k(1kn),任意的1i1i2 ik n,具有等式 P(A i1 A i2 A ik)P(A i1)P(A i2)P(A ik)则称n个事件A1,A2,
44、An相互独立。思考：思考：1.设事件A、B、C、D相互独立，则2.三个事件相互独立和两两独立的关系.AUB与CD独立吗？例例1-33 3人独立地破译一个密码人独立地破译一个密码,他们能单独译出的概他们能单独译出的概率分别为率分别为 1/5,1/3,1/4.求此密码被译出的概率求此密码被译出的概率.解法解法1 设A,B,C分别表示3人能单独译出密码，则所求概率为 P(ABC)，且A,B,C独立，P(A)=1/5，P(B)=1/3，P(C)=1/4.于是 _()1()1()1()()()11()1()1()4231.534P ABCP ABCP ABCP A P B P CP AP BP C 解法
45、解法 2 用用解法解法1的记号，的记号，()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()1111111111115345354345343.5P ABCP AP BP CP ABP ACP BCP ABCP AP BP CP A P BP A P CP B P CP A P B P C 比较起来比较起来,解法解法1要简单一些要简单一些,对于对于n个相互独立事件个相互独立事件A1,A2,An,其和事件其和事件A1A2An的概率可以通过下的概率可以通过下式计算：式计算：121212(.)1(.)1()().().nnnP AAAP A AAP A P AP A 例例
46、1-34 3门高射炮同时对一架敌机各发一炮门高射炮同时对一架敌机各发一炮,它们的命中它们的命中 率分别为率分别为0.1,0.2,0.3,求敌机恰中一弹的概率。求敌机恰中一弹的概率。解解 设Ai表示“第i门炮击中敌机”,i=1,2,3,B表示“敌机恰中一弹”,则123123123BA A AA A AA A A123123123123,A A A A A A A A AA A A其中,互不相容 且相互独立 则123123123123123123123123123()()()()()()()()()()()()()()0.1 0.8 0.70.9 0.2 0.70.9 0.8 0.30.398.P
47、 BP A A AA A AA A AP A A AP A A AP A A AP A P A P AP A P A P AP A P A P A已知P(A)=1/2,P(B)=1/3,且A,B相互独立,则P()=_.AB设随机事件A与B相互独立,P(A)=P(B)=0.5,则P(AB)=.设随机事件A与B相互独立,P(A)=0.2,P(B)=0.8,则P(A|B)=_ 练练 习习1 30.750.2设两两独立的三个随机事件A，B，C满足ABC=，且P(A)=P(B)=P(C)=x，则当x=时，P(ABC)=.34n重贝努利重贝努利(Bernoulli)试验：试验：试验只要两个结果A和A,而且
48、P(A)=p,0p1.将试验独立重复进行n次,则称为n重贝努利试验.此类试验的概率模型成为贝努利概型贝努利概型.()(1),0,1,2,.,.kkn knnP kC ppkn 定理定理1-1 在n重贝努利试验中,设每次试验中事件A的概率为p(0p1),事件A恰好发生k次的概率 1.4.2 n重贝努利重贝努利(Bernoulli)试验试验例例1-35 一射手对一目标独立射击一射手对一目标独立射击4次次,每次射击的命中率为每次射击的命中率为0.8,求：求：（1）恰好命中两次的概率；）恰好命中两次的概率；（2）至少命中一次的概率。）至少命中一次的概率。0004,()()1()1(0),BA P BP
49、 AP AP 解解 因每次射击是相互独立的,故此问题可看做4重贝努力试验,p=0.8,(1)设事件A2表示“4次射击恰好命中两次次射击恰好命中两次”,则所求的概率为222244()(2)(0.8)(0.2)0.1536.P APC(2)设事件B表示“4次射击中至少命中一次次射击中至少命中一次”,有A0表示“4次射击都未次射击都未命命中中”,则004441(0)1(0.8)(0.2)0.9984.PC 故所求的概率为故所求的概率为例例1-36 一车间有一车间有5台同类型的且独立工作的机器台同类型的且独立工作的机器.假设在任假设在任一时刻一时刻t,每台机器出故障的概率为每台机器出故障的概率为0.1
50、,问在同一时刻问在同一时刻(1)没有机器出故障的概率是多少没有机器出故障的概率是多少?（0.59049）(2)至多有一台机器出故障的概率是多少？（至多有一台机器出故障的概率是多少？（0.91854）例例1-37 转炉炼钢转炉炼钢,每一炉钢的合格率为每一炉钢的合格率为0.7.现有若干台转炉现有若干台转炉同时冶炼同时冶炼.若要求至少能够炼出一炉合格钢的把握为若要求至少能够炼出一炉合格钢的把握为99%.问同时至少要有几台转炉炼钢？（问同时至少要有几台转炉炼钢？（4台）台）某气象站天气预报的准确率0.8，且各次预报之间相互独立.试求：（1）5次预报全部准确的概率p1；（2）5次预报中至少有1次准确的概
