1、结构力学第十三章 矩阵位移法2/42第七节第七节 平面刚架受力分析平面刚架受力分析 离散化离散化将结构离散成单元的分割点称作结点。将结构离散成单元的分割点称作结点。634512结点的选择结点的选择:转折点、汇交点、支承点、刚度变化、转折点、汇交点、支承点、刚度变化、荷载作用点等荷载作用点等编码：编码：坐标系：坐标系：XY（7,8,9）（10,11,12）（13,14,15）（16,17,18）（1,2,3）（4,5,6）曲杆结构曲杆结构:以直代曲以直代曲.变截面杆变截面杆:以等截面杆代变截面杆。以等截面杆代变截面杆。第十三章 矩阵位移法3/422 2、局部坐标系下的平面单元分析、局部坐标系下的
2、平面单元分析几何量：几何量：位移量：位移量：内力值：内力值：,v,uNQ,FFMl,A,I,E方方 向：向：21 建立单元杆端力和单元杆端位移的关系建立单元杆端力和单元杆端位移的关系T111222(,)u vu v T123456(,)eFF F F F F F TN1Q11N2Q22(,)FFM FFM 单元结点位移：单元结点位移：单元结点力：单元结点力：T123456(,)e 第七节第七节 平面刚架受力分析平面刚架受力分析 12eN1Fxy2M1M11u2u22v1vQ1FQ2FN2F第十三章 矩阵位移法4/421纵向：纵向：在杆件两端加上人为控制的附加约束，然后根据指定位在杆件两端加上人
3、为控制的附加约束，然后根据指定位移来推算杆端力。移来推算杆端力。由假设知道，轴向受力状态与弯曲受力状态互不影响。由假设知道，轴向受力状态与弯曲受力状态互不影响。N112()eeeEAFuulN212()eeeEAFuul 12eN1FN2Fxy1u2u第七节第七节 平面刚架受力分析平面刚架受力分析 1N12N21111eeuFEAulF 刚度方程刚度方程 1111lEAke刚度矩阵刚度矩阵第十三章 矩阵位移法5/422横向：（由形常数得到）横向：（由形常数得到）刚度方程刚度方程12exyQ1FQ2F2M1M122v1vQ1121223612()()eeeeeEIEIFvvll)(eeeeevv
4、lEIlEIlEIM212211624 Q2121223612()()eeeeeEIEIFvvll )(eeeeevvlEIlEIlEIM212212642 第七节第七节 平面刚架受力分析平面刚架受力分析 第十三章 矩阵位移法6/423232223232226612121Q16642116612122Q1662422EIEIEIEIeellllEIEIEIEIllllEIEIEIEIllllEIEIEIEIllllvFMvFM 矩阵形式的刚度方程矩阵形式的刚度方程第七节第七节 平面刚架受力分析平面刚架受力分析 综合写成综合写成一般平面单元刚度方程一般平面单元刚度方程：323222323222N
5、11661212Q116642112N26612122Q26624220000000000000000EAEAellEIEIEIEIllllEIEIEIEIllllEAEAllEIEIEIEIllllEIEIEIEIllllFuFvMuFvFM e eeekF 第十三章 矩阵位移法7/423 3单元刚度矩阵的性质单元刚度矩阵的性质系数的物理意义系数的物理意义：单元刚度矩阵是单元刚度矩阵是杆端杆端力与杆端位移之关系；矩阵的阶力与杆端位移之关系；矩阵的阶数与位移分量数相等数与位移分量数相等；表示表示 引起的杆端力引起的杆端力 的的大小大小。ijk1 j iF单单元元刚刚度矩阵度矩阵一般具有奇异性一
6、般具有奇异性：受力角度存在刚体位移；受力角度存在刚体位移；数学角度向量相关数学角度向量相关单单元元刚刚度矩阵度矩阵具有对称性具有对称性：由功的互等定理可知由功的互等定理可知jiijkk Tkk 第七节第七节 平面刚架受力分析平面刚架受力分析 第十三章 矩阵位移法8/424 4 整体座标系下的平面单元整体座标系下的平面单元局部坐标系局部坐标系整体坐标系整体坐标系变换变换N1F12exyQ1F1M1X1YxyN111cossinFXYQ111sincosFXY 11MM 第七节第七节 平面刚架受力分析平面刚架受力分析 第十三章 矩阵位移法9/42矩阵形式的变换式矩阵形式的变换式N111Q1112N
7、22Q2220000000000100000000000000001cossinsincoscossinsincoseeFXYFMMXFYFMM eeFTF eeT 第七节第七节 平面刚架受力分析平面刚架受力分析 1000000000000000010000000000 cossinsincoscossinsincosT 00 TTT1变换矩阵具有正交性变换矩阵具有正交性 TTIT第十三章 矩阵位移法10/42由由整体坐标系下单元刚度矩整体坐标系下单元刚度矩阵与局部坐标系下的单元阵与局部坐标系下的单元刚度矩阵同阶且性质相同刚度矩阵同阶且性质相同 eeekF eeeTkFT TeeeFTkT e
8、eekF TeekTkT 1TTT eeFTF eeT 整体坐标系下的单元刚度方程整体坐标系下的单元刚度方程整体坐标系下的单元刚度矩阵整体坐标系下的单元刚度矩阵第七节第七节 平面刚架受力分析平面刚架受力分析 eeekkkkFF212221121121 整体坐标系下的单元刚度方程的分块表示整体坐标系下的单元刚度方程的分块表示第十三章 矩阵位移法11/425 5、整体坐标系下单元刚度矩阵计算、整体坐标系下单元刚度矩阵计算 1 20 5000 500016016064806240 5000 50001601606240648.kk ,/,./112502 lilEA已知已知:1212EI126 lE
9、A;求求:各单元整体坐标系下单元刚度矩阵各单元整体坐标系下单元刚度矩阵解解:48424266 iili,/21ll第七节第七节 平面刚架受力分析平面刚架受力分析 第十三章 矩阵位移法12/4201 1000000100000010000001000000100000011 T902 1000000010000100000001000000010000102 T 1 1 T1 1 TkTk 2 2 T2 2 TkTk 48062406050005006016012406480605000500601601.第七节第七节 平面刚架受力分析平面刚架受力分析 第十三章 矩阵位移法13/426 6、利用
10、物理意义速算法、利用物理意义速算法令令:则有则有:615141312111262524232221kkkkkkFFFFFF0 ,12625242322211/122211lik0221k6/6231lik1241k0251k661ek224F25F26F12121F23F22F第七节第七节 平面刚架受力分析平面刚架受力分析 第十三章 矩阵位移法14/421.1.结点力与结点位移的关系结点力与结点位移的关系 987654321PPPPPPPPPP 321PPP 987654321 321211(1,2,3)2(4,5,6)3(7,8,9)211P3P2P7P9P8P4P6P5P第七节第七节 平面
11、刚架受力分析平面刚架受力分析 第十三章 矩阵位移法15/42变形协调条件变形协调条件 211结点结点1 1平衡条件平衡条件:312 121,222,211FP结点结点2 2平衡条件平衡条件:11222FFP结点结点3 3平衡条件平衡条件:123FP4P6P5P211P3P2P7P9P8P第七节第七节 平面刚架受力分析平面刚架受力分析 第十三章 矩阵位移法16/42 12112221321FFFFPPP1211222100FFFF 12111221211121111211kkkkFF 3211221211121111211000000 kkkkFF第七节第七节 平面刚架受力分析平面刚架受力分析
12、3212222212122112221000000 kkkkFF 22212222212122112221 kkkkFF第十三章 矩阵位移法17/42 32112212111211122222121221132100 kkkkkkkkPPP KP 结构原始整体结构原始整体刚度方程刚度方程第七节第七节 平面刚架受力分析平面刚架受力分析 第十三章 矩阵位移法18/42 2222212122112kkkkk2.2.结构原始整体刚度矩阵的形成结构原始整体刚度矩阵的形成采用采用“对号入座对号入座”的方法的方法 k2121 1221211121111kkkkk2121213213221 111k 112k
13、321 122k 121k 211k 212k 221k 222k 0 032211(1,2,3)2(4,5,6)3(7,8,9)第七节第七节 平面刚架受力分析平面刚架受力分析 第十三章 矩阵位移法19/42 k 1221211121111kkkkk321 2222212122112kkkkk 111k 112k321 122k 121k 211k 212k 221k 222k 0 03.3.单元刚度矩阵子块在整体刚度矩阵中的分布规律单元刚度矩阵子块在整体刚度矩阵中的分布规律主子块主子块-主对角线上的子块主对角线上的子块.付子块付子块-非主对角线上的子块非主对角线上的子块.相关结点相关结点-有
14、单元相连的结点有单元相连的结点.相关单元相关单元-与结点相连的单元称为与结点相连的单元称为 该结点的相关单元该结点的相关单元.规律规律:(1)(1)若若i,j为相关结点为相关结点,为连接为连接 i,j结点的单元单刚的相应付结点的单元单刚的相应付 子块子块;若不是相关结点若不是相关结点,ijk 0ijk(2)(2)主子块主子块 为为 i 结点的相关单结点的相关单 元单刚主子块之和元单刚主子块之和.iik第七节第七节 平面刚架受力分析平面刚架受力分析 第十三章 矩阵位移法20/424.4.整体刚度矩阵中元素的物理意义整体刚度矩阵中元素的物理意义921999291292221191211921.kk
15、kkkkkkkPPP 则有则有:912111921kkkPPP,1193,20jj 若令若令:211/12 lik 021klik/631241/12 lik051klik/661071k081k091k2171k91k81k41k61k51k11k31k21k第七节第七节 平面刚架受力分析平面刚架受力分析 第十三章 矩阵位移法21/42921999291292221191211921.kkkkkkkkkPPP第七节第七节 平面刚架受力分析平面刚架受力分析 2171k91k81k41k61k51k11k31k21k第十三章 矩阵位移法22/42(1).(1).对称性：对称性：由反力互等定理由反
16、力互等定理5.5.原始整体刚度矩阵的性质原始整体刚度矩阵的性质(2).(2).奇异性：奇异性：没有考虑约束的结构的刚体位移没有考虑约束的结构的刚体位移无法确定无法确定(3).(3).稀疏性：稀疏性：对于不相关的结点，对应的刚度对于不相关的结点，对应的刚度系数等于零系数等于零第七节第七节 平面刚架受力分析平面刚架受力分析 第十三章 矩阵位移法23/426.6.整体刚度矩阵的存贮整体刚度矩阵的存贮 422622421621412411222221612622522322321521212312311211122121512511112111000000000000000000kkkkkkkkkkk
17、kkkkkkkkkkkkkk634512（7,8,9）（10,11,12）（13,14,15）（16,17,18）（1,2,3）（4,5,6）第七节第七节 平面刚架受力分析平面刚架受力分析 按带宽存贮按带宽存贮第十三章 矩阵位移法24/42 422622421621412411222221612622522322321521212312311211122121512511112111000000000000000000kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk变带宽存贮变带宽存贮变半带宽存贮变半带宽存贮等带宽存贮等带宽存贮等半带宽存贮等半带宽存贮等半带宽计算公式等半带宽计算公式:d=(
18、=(相关结点最大差值相关结点最大差值+1)+1)单结点位移数单结点位移数 93)12(d634512（7,8,9）（10,11,12）（13,14,15）（16,17,18）（1,2,3）（4,5,6）第七节第七节 平面刚架受力分析平面刚架受力分析 第十三章 矩阵位移法25/421919层层1234394093)12(d整体刚度矩阵占用存贮单元整体刚度矩阵占用存贮单元:1143)137(d整体刚度矩阵整体刚度矩阵占用存贮单元占用存贮单元:1368012011440 391080()12339402120第七节第七节 平面刚架受力分析平面刚架受力分析 首先考察编首先考察编码方式码方式半带宽与结半
19、带宽与结点编码有关点编码有关如何减小带宽？如何减小带宽？第十三章 矩阵位移法26/42第七节第七节 平面刚架受力分析平面刚架受力分析 7.7.边界条件引入边界条件引入第十三章 矩阵位移法27/424,1058665444,kkkkk1(1,2,3)2(4,5,6)3(7,8,9)4(10,11,12)第七节第七节 平面刚架受力分析平面刚架受力分析 第十三章 矩阵位移法28/421.后处理法的结点位移编码后处理法的结点位移编码(1,2,3)(4,5,6)(7,8,9)(10,11,12)2.考虑轴向变形时先处理法考虑轴向变形时先处理法的结点位移编码的结点位移编码EIEIEI12343.不计轴向变
20、形时先处理不计轴向变形时先处理法的结点位移编码法的结点位移编码(1,0,2)(0,3,4)(5,6,7)(0,0,0)EIEIEI1234(0,0,1)(0,2,3)(0,2,3)(0,0,0)EIEIEI1234习题讨论习题讨论第十三章 矩阵位移法29/42 eeeT1.单元刚度方程表示什么量之间的关系方程单元刚度方程表示什么量之间的关系方程?2.单元刚度矩阵单元刚度矩阵(自由式单元自由式单元)是什么样的矩阵是什么样的矩阵?3.单刚元素单刚元素k23 的物理意义是什么的物理意义是什么?4.坐标转换矩阵是一个什么样的矩阵坐标转换矩阵是一个什么样的矩阵?5.局部坐标系下的杆端位移与整体坐标下的有
21、何关系局部坐标系下的杆端位移与整体坐标下的有何关系?6.单元刚度矩阵均是奇异矩阵吗单元刚度矩阵均是奇异矩阵吗?第十三章 矩阵位移法30/422/2)45sin(2/2)45cos(1211TT7.求图示结构求图示结构 2 单元的坐标转换矩阵中的元素单元的坐标转换矩阵中的元素T11，T12 22000022220000220010002200002222000022000001eT 12a2a第十三章 矩阵位移法31/428.试写出桁架单元坐标转换矩阵的扩展矩阵试写出桁架单元坐标转换矩阵的扩展矩阵.exeF1yeF2eF2eF1eF4eF3sincos211eeeFFFsincos432eeeF
22、FFeeFFFFFF432121sincos0000sincosexeF1yeF2eF2eF1eF4eF3eF3eF4eeFFFFFFFF432143210000sincos00000000sincos第十三章 矩阵位移法32/421.结构刚度方程是整体结构所应满足的变形协调条件吗结构刚度方程是整体结构所应满足的变形协调条件吗?2.总刚元素总刚元素 的物理意义是什么的物理意义是什么?23k3.试写出图示刚架试写出图示刚架2单元的单元定位向量单元的单元定位向量.2567034 213XY(1,0,2)(0,3,4)(5,6,7)(0,0,0)1234第十三章 矩阵位移法33/424.图示结构图示
23、结构2单元的整体单元的整体单刚元素单刚元素k23 应放在总应放在总刚的什么位置刚的什么位置?XY1(1,2,3)2(4,5,6)3(7,8,9)4(10,11,12)2135.按刚度系数的物理意按刚度系数的物理意义求总刚元素义求总刚元素k65，k55 （EA=常数）常数）lEAk42651(1,2)2(3,4)3(5,6)4(7,8)ll55214()EAkl第十三章 矩阵位移法34/426.先处理法求图示结构总刚先处理法求图示结构总刚(不计轴变不计轴变)1EIEIllEIEI1EIl 3/36lEIk 7.先处理法求图示结构总刚先处理法求图示结构总刚(不计轴变不计轴变)EIllEIEI ii
24、liiililililik82/628/6/6/6/242第十三章 矩阵位移法35/428.等效结点荷载的代数值等于汇交于该结点的所有单等效结点荷载的代数值等于汇交于该结点的所有单元固端力之代数和。此结论对否元固端力之代数和。此结论对否?020104030P 9.试求图示结构的荷载列阵试求图示结构的荷载列阵(先、先处理法先、先处理法)。XY20kN1(0,0)2(1,0)3(2,3)4(4,5)6m6m10kN30kN40kN第十三章 矩阵位移法36/42 222222212224128248324/qlqlPqlqlqlqlql 10.试求图示结构的荷载列阵试求图示结构的荷载列阵(先、后处理
25、法先、后处理法).qlll/2 l/2ql第十三章 矩阵位移法37/4211.试求图示结构试求图示结构(不计轴变不计轴变)的荷载列阵的荷载列阵(先处理法先处理法).3kN/m8m8m4m4m4kNABCD 4040000161601616P 第十三章 矩阵位移法38/421.连续梁在一般荷载作用下单元杆端力由下式计算是否正确连续梁在一般荷载作用下单元杆端力由下式计算是否正确?eeekF efF 2.已知：图示结构已知：图示结构(不计轴变，不计轴变，EI=常数常数)的结点位移为的结点位移为求求:1单元的杆端力单元的杆端力 T227552368qlqlii 1(0,0,0)2(0,0,0)3(0,0,1)4(0,0,2)2135(0,0,0)4ql/2llqll/2第十三章 矩阵位移法39/42第十三章 矩阵位移法40/42第十三章 矩阵位移法41/42 xy 第十三章 矩阵位移法42/42几点重要说明几点重要说明
