1、1.2.2 1.2.2 函数的表示法函数的表示法课题:分段函数问题提出问题提出行进的站数123456789票价0.5 0.5 0.5 1111.5 1.5 1.5某路公共汽车,行进的站数与票价关系如下表：此函数关系除了用列表法之外,能否用图象法和解析法表示？可以用图象法表示：1 2 3 4 5 6 7 8 91.51.00.5Oxy0.5,1,2,3,1,4,5,6,1.5,7,8,9.xyxx?也可以用解析法表示：分段函数知识讲解分段函数的定义：分段函数的表达式虽然不止一个，但它不是几个函数，而是一个函数，只是在定义域的不同范围上取值时对应法则不同，分段函数是普遍存在又比较重要的一种函数如果
2、函数yf(x)，xA，根据自变量，根据自变量x在定义域A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，这种函数通常称为分段函数.分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集命题方向1：分段函数的图象与解析式例1 (1)作f(x)x|x|x的图象(2)如图，根据函数yf(x)的图象，写出它的解析式 解(1)f(x)?x1?x0?，x1?x0?，图象如图 命题方向1：分段函数的图象与解析式例1 (1)作f(x)x|x|x的图象(2)如图，根据函数yf(x)的图象，写出它的解析式 解(2)当0 x1时，f(x)2 x；当1x2时，f(x)2；当x2时，f(x)3.故 f(x)?2
3、x，0 x1，2，1x2，3，x2.说明：1.由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不同，因此画图时要注意区间端点处对应点的实虚问题2.根据分段函数的图象求解析式时，首先求出每一段的解析式，然后写成分段函数的形式变式训练1 已知f(x)?x2，1x1，1，x1或x1.(1)画出f(x)的图象；(2)求f(x)的定义域和值域 解：(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示(2)由条件知，函数f(x)的定义域为R.由图象知，当1x1时，f(x)x2的值域为0,10,1，当x1或x1时，f(x)1，所以f(x)的值域为0,10,1 命题方向2：分段函数的求值学法指导：分段函数的求值 设分段函数
4、f(x)?f1?x?，xI1，f2?x?，xI2.已知 x0，求 f(x0)；判断 x0的范围，即看 x0I1，还是 x0I2；代入相应解析式求解 例例2 设函数f(x)?x21，x1，2x，x1，则f(f(3)()A.15 B3 C.23 D.139 解析 当 x31时，f(3)231，f(f(3)f?23?2321139.答案 D 说明：说明：1.分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得若题目含有多层多层“f”，应按“由里到外”的顺序层层处理2.如果所给变量范围不明确，计算时要采用分类讨论的思想变式训练2 已知已知f(x)?x1?x0?x0?0?x0?，求f(
5、f(f(3)解析：30，f(f(f(3)f()1，即 f(f(f(3)1.命题方向3：分段函数的方程和不等式学法指导：分段函数的方程和不等式 设分段函数 f(x)?f1?x?，xI1，f2?x?，xI2.(1)已知 f(x0)a，求 x0：f(x0)a?x0I1，f1?x0?=a，或?x0I2，f2?x0?=a.(2)解不等式 f(x)a：f(x)a?xI1，f1?x?a，或?xI2，f2?x?a.例3 已知函数f(x)?x21?x0?，2 x?x0?，(1)若f(x)10，则x_.(2)若f(x)10，则x_.解析(1)f(x)10?x0，x21=10，或?x0，2 x=10，?x0，x=3
6、，或?x0，x=5，?x=3或x=5.例3 已知函数f(x)?x21?x0?，2 x?x0?，(1)若f(x)10，则x_.(2)若f(x)10，则x_.解析(2)f(x)10?x0，x2110，或?x0，2 x10，?x0，3x3，或?x0，x5，?0 x3或5x0?5x3.变式训练变式训练3 已知函数f(x)?x1，x2，x22 x，2xm(m2，或m2)，求实数m的取值范围 解析解析 (1)由5(，2，3(2,2)，52(，2，知 f(5)5 1 4，f(3)(3)22(3)3 2 3.f(52)521 32，而232 2，不合题意，舍去当2am?m2，m 1m，或?m2，2m 1m?m
7、2，或?m2，m 1?m2，或 m2.所以，所求 m的取值范围是(，2 2，)命题方向命题方向4：分段函数的应用：分段函数的应用例4 如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿折线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动，设点P运动的路程为x，APB的面积为y.(1)求y关于x的函数关系式yf(x)；(2)画出yf(x)的图象；(3)若APB的面积不小于2，求x的取值范围 解析(1)y?2x?0 x4?8?4x8?2?12x?8x12?.(2)yf(x)的图象如图所示 (3)即 f(x)2，当 0 x4 时，2x2，x1，当 8x12 时，2(12x)2，x11，x的取值范围是 1x11.点评(3)可以作直线y2与函数yf(x)的图象交于点A(1,2)，B(11,2)，要使y2，应有1x11.
