1、 概率论与数 理 统 计 一、条件概率的概念 例1.4.1一只盒子里混有100只新旧乒乓球，各有黄白两色，分类如下：新 40 30 旧 20 10 从盒子中随机取出一个球，若记 A=从盒子中随机取出一个球，该球为新球，402.603?若事先知道取出的是黄球，则上述概率为 记B=从盒子中随机取出一个球，该球为黄球 4040/100()().6060/100()P ABP ABP B?1.条件概率的定义 定义定义 1.4.1 若（?,F）是一个概率空间B?F，且()P B0.对任意A?F，称()P A B=)()(BPABP 为在已知事件B发生的条件下事件A发生的条件概率。条件概率的性质 不难验证
2、条件概率()PB?具有概率的三个基本性质 1）非负性：?A?F ()P AB 2）规范性：()1PB?3）可列可加性：iA?F（i=1，2），且,1A2A 互不相容有?BAPBAPiiii?11?1212124)?()0,5)()1(),6)()()()().PBP A BP A BP AA BP A BP A BP AA B?例1.4.2某种灯泡用5000小时未坏的概率为 ，用10000 小时未坏的概率为 ，现有一只这种灯泡已用了5000小时未坏，问它能用到10000小时的概率是多少？4321解：设B=“灯泡用到5000小时”，A=“灯泡用到10000小时”?21,43?APBP我们知道用到
3、10000小时的灯泡一定用了5000小时，即 BA?所以AB=A，?APABP?APBPAPBPABPBAP?21324321 这表明，用了5000小时的灯泡再用到10000小时的可能性比没有用过的新灯泡用到10000小时的可能性大，这是很自然的，因为前者已经剔除了那些没有用到5000小时的质量较次的灯泡。二、乘法公式 若 ，由条件概率定义，可得 ()0P B?BPBAPABP?上式称为事件概率的乘法公式乘法公式 它可推广到任意有限个事件 设 为任意n个事件，满足 nAAA,21?021?nAAAP?12121312121?nnnAAAAPAAAPAAPAPAAAP?则?APABPABP?例1
4、.4.3 甲、乙两市都位于长江下游，据一百多年来的气象记录，知道在一年中的雨天的比例甲市占 20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%。记 A?甲市出现雨天 B?乙市出现雨天 求：1）两市至少有一市是雨天的概率；2）乙市出现雨天的条件下，甲市也出现雨天的概率；3）甲市出现雨天的条件下，乙市也出现雨天的概率。()()()()0.26,P A BP A P BP AB?解()0.12()0.67,()0.18P ABP ABP B?()0.12()0.60.()0.2P ABP B AP A?例1.4.4有一张电影票，7个人抓阄决定谁得到它，问第i个人抓到票的概率是多少？（i=1，2，7）解：设
5、=“第i个人抓到票”，（i=1，2，7）iA?76,7111?APAP显然如果第二个人抓到票的话，必须第一个人没有抓到票。这就是说 ，所以 12AA?122AAA?于是可以利用概率的乘法公式，因为在第一个人没有抓到票的情况下，第二个人有希望在剩下的6个阄中抓到电影票，所以?6112?AAP?716176121122?AAPAPAAPAP类似可得?715165762131213213?AAAPAAPAPAAAPAP?717?AP例1.4.5设在一盒子中装有 10只球，4只黑球，6只白球，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样，问两次都拿到白球的概率是多少？解法一：用古典概型来做 设A=“两次都
6、拿到白球”，?3121026?CCAP解法二：用乘法公式来做，设B=“第一次拿到白球”，A=“第二次拿到白球”，AB=“两次都拿到白球”，?95,106?BAPBP?3195106?.BAPBPABP三、三、全概率公式 例1.4.6 有外形相同的球分别装两个袋子，设甲袋有6只白球，4只红球，乙袋中有3只白球6只红球，现在先从每袋中各任取一球再从取出的二球中任取一球，求此球是白球的概率。例 1.4.7 某车间有 100 台相同型号的冰箱待检验，其中60台是甲流水线生产的，25台是乙流水线生产的，15台是丙流水线生产的。已知这三条流水线的冰箱质量不同，它们的不合格率依次为0.1,0.4,0.2一位
7、检验员从这批冰箱中随机地取了1台,问：试求取到不合格冰箱的概率；解(1)设事件A表示“取到的冰箱不合格”；事件123,B B B分别表示“检验员取到的冰箱是甲、乙、丙流水线生产的”且有 ()PA123()P ABABAB?123()()()P ABP ABP AB?112233()()()()()()P AB P BP AB P BP AB P B?31()()iiiP A B P B?0.1 0.60.25 0.40.15 0.20.19.?1()0.6,P B?1()0.1,P AB?2()0.25,P B?3()0.15.P B?2()0.4,P AB?3()0.2P AB?在较复杂情况
8、下直接计算P(A)不易,但A总是伴随着某个Ai出现，例如A是由原因Ai所引起，则A发生的概率是 P(A Bi)=P(Bi)P(A|Bi)每一原因都可能导致A发生，故A发生的概率是各原因引起A发生概率的总和.“全”部概率P(A)被分解成了许多部分之和.由以上两例看出，当求某一事件A的概率比较困难，而求条件概率比较容易时，可先设法将这个事件A分成几个互不相容事件的和，再利用加法公式和乘法公式解之。定理：定理：设 为一列互不相容的事件，且 12,nB BB1niiB?则对任一事件A，有?1122nnP AP BP A BP BP A BP BP A B?1niiiP B P A B?证明见书。上述公
9、式称为全概率公式。A B1 B2 B3 Bn.?全概率公式的来由,不难由上式看出:“全”部概率P(A)被分解成了许多部分之和.例例 1.4.8 某车间有某车间有 100 台相同型号的冰箱待检验，台相同型号的冰箱待检验，其中其中60台是甲流水线生产的，台是甲流水线生产的，25台是乙流水线生产的，台是乙流水线生产的，15台是台是丙流水线生产的。已知这三条流水线的冰箱质量不同，它们丙流水线生产的。已知这三条流水线的冰箱质量不同，它们的不合格率依次为的不合格率依次为0.1,0.4,0.2一位检验员从这批冰箱中随一位检验员从这批冰箱中随机地取了机地取了1台台,问：检验员开箱测试后发现冰箱不合格，但这问：
10、检验员开箱测试后发现冰箱不合格，但这台冰箱的流水线已经脱落，试问这台冰箱是甲、乙、丙流水台冰箱的流水线已经脱落，试问这台冰箱是甲、乙、丙流水线生产的概率各为多少？线生产的概率各为多少？(2)按题意，要求的概率分别是按题意，要求的概率分别是123(),(),()P B A P B A P B A 1()P B A1()()P B AP A?11()()()P AB P BP A?0.60.10.1 0.60.25 0.40.15 0.20.316.?同理可得 20.250.4()0.5260.1 0.60.25 0.40.15 0.2P B A?，30.150.2()0.158.0.1 0.60
11、.250.40.150.2P B A?当有了新的信息（知道A发生），人们对诸事件发生可能性大小P(Bi|A)作新的估计.31()()(iiiP AP B P A B?3()()(|)()()iiijjP BPA BP BAP BPA B?i=1,2,3 11112233()()()()()()()()P AB P BP AB P BP AB P BP AB P B?定理：设 为一列互不相容的事件，且有，对任意的事件B，则有 12,nB BB?1,1,2,iiiniiiP B P A BP B AinP B P A B?这个公式称为贝叶斯公式（逆概公式）。四、贝叶斯公式（逆概公式）在贝叶斯公式中
12、，P(Bi)和P(Bi|A)分别称为原因的验前概率和验后概率.P(Bi)(i=1,2,n)是在没有进一步信息（不知道事件A是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识.当有了新的信息（知道A发生），人们对诸事件发生可能性大小P(Bi|A)有了新的估计.贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。练：1.盒中有12只乒乓球，其中9只是没有用过的新球，第一次比赛时任取3只使用，用毕返回，第二次比赛时任取3只球。（1）求第二次取出的全是新球的概率 （2）若已知第二次取出的都是新球，求第一次取出的都是新球的概率。解：设 =“第一次取出的3只球都是旧球”，=“第一次取出的3只球中有1只新球”，=“第一次取
13、出的3只球中有2只新球”，=“第一次取出的3只球都是新球”，B=“第二次取出的都是新球”。1A2A3A4A?44111ABPAPABPAPBP?）则（1458.031236312393123731229133123831219233123931233?CCCCCCCCCCCCCCCCCC?2381.02444?BPABPAPBAP）（2某工厂有1，2，3三个车间，它们生产同一种螺钉，其产量分别占总产量的25%，35%，40%，每个车间的成品中，次品占产品的5%，4%，2%，现从全部螺钉中抽取一个产品，求 （1）它是次品的概率 （2）若已知它是次品，它是1，2，3车间所生产的概率 解：设 =“抽
14、到的是i车间的产品”，iA3,2,1?iB=“抽到的产品是次品”，?3322111ABPAPABPAPABPAPBP?）（0345.002.04.004.035.005.025.0?3623.02111?BPABPAPBAP）（?4058.0222?BPABPAPBAP?2319.0333?BPABPAPBAP3、子弹爆炸时产生大、中、小三种弹片，大、中、小三种弹片打中坦克的概率分别等于大、中、小三种弹片数量之比1：3：6，若大、中、小三种弹片击中坦克则其击穿坦克的概率分别为0.9,0.2,0.05，求（1）击穿坦克的概率；（2）若已知坦克被击穿，分别是由大、中、小三种弹片击穿的概率。解：设B
15、=“坦克被击穿”表示坦克分别被大、中、小三种弹片击中 321,AAA?3322111ABPAPABPAPABPAPBP?）则（18.005.06.02.03.09.01.0?5.02111?BPABPAPBAP）（?33.0222?BPABPAPBAP?17.0333?BPABPAPBAP（1）两台机床加工同样的零件，第一台出废品的概率是0.03，第二台出废品的概率是0.02，加工出来的零件放在一起，并已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，求任意取出的零件是废品的概率。（0.027）（2）播种用的一等小麦种子中混合2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子，用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别是0.5，0.15，0.1，0.05，求这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率。（0.4825）练习：
