1、第六章第六章 二重积分二重积分6.1.1 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质柱体体积柱体体积=底面积底面积高高特点：平顶特点：平顶.柱体体积柱体体积=？特点：曲顶特点：曲顶.),(yxfz D曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 二重积分的概念 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、取近分割、取近似，求和、取极限似，求和、取极限”的方法，如下动画的方法，如下动画演示演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、取近分割、取近似，求和、取极限似，求和、取极限”的方法，如下动画的方法，如下动画演示演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、求和分割、求和、取极限、取极限”
2、的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、取近分割、取近似，求和、取极限似，求和、取极限”的方法，如下动画的方法，如下动画演示演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、取近分割、取近似，求和、取极限似，求和、取极限”的方法，如下动画的方法，如下动画演示演示解法解法:类似定积分解决问题的思想类似定积分解决问题的思想:给定曲顶柱体:底：底：xOy 面上的闭区域 D顶顶:连续曲面连续曲面侧面：以侧面：以 D 的边界为准线的边界为准线,母线平行于母线平行于 z 轴的柱轴的柱面面求其体积.“分割，,取近似，求和,取 极限”D),(yxfz D1
3、)“分割”用任意曲线网分D为 n 个区域以它们为底把曲顶柱体分为 n 个2)“取近似”在每个,),(kk3)“求和”nkkkkf1),(),2,1(),(nkfVkkkk则中任取一点小曲顶柱体k),(kk4)“取极限”kk,PPPP2121max)(令nkkkkfV10),(lim),(yxfz),(kkfk),(kk二、二重积分的定义二、二重积分的定义定义定义:将区域 D 任意分成 n 个小区域任取一点若存在一个常数 I,使可积可积,Dyxfd),(在D上的二重积分二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作记作是定义在有界区域 D上的有界函数,则曲顶柱体体积:如果 在D上可积,元素
4、d也常记作二重积分记作,kkkyx 这时分区域 D,因此面积 可用平行坐标轴的直线来划 yxO二重积分存在定理二重积分存在定理:若函数),(yxf定理2.上可在则Dyxf),(定理1.在D上可积.限个点或有限条光滑曲线外都连续,积.在有界闭区域 D上连续,则若有界函数在有界闭区域 D 上除去有 例如例如,在 D:10 y上二重积分存在;在D 上 二重积分不存在.y1x1DO二重积分的几何意义二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值负值性质性质当当 为
5、常数时为常数时，k性质性质1+.),(),(DDdyxgdyxf （二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质三、二重积分的性质性质性质2对区域具有可加性对区域具有可加性性质性质3 若若 为为D的面积，的面积，性质性质4若在若在D D上上.),(),(DDdyxgdyxf 特殊地特殊地1212(且且、DDDDD 则有则有无公共内点，则无公共内点，则性质性质5性质性质6 （二重积分中值定理）（二重积分中值定理）),(),(fdyxfD（二重积分估值不等式）（二重积分估值不等式）在在D上上 2220ayx ,由由性性质质 6 知知解解 deDyx)(22 ab
6、.2aeab 区域区域 D的面积的面积 ,ab解解2 yx因因此此 Ddyx)ln(Ddyx 2)ln(.oxy121DxyO4.设函数设函数D 位于 x 轴上方的部分为D1,),(),()2(yxfyxf0d),(Dyxf当区域关于 y 轴对称,函数关于变量 x 有奇偶性时,仍1D在 D 上在闭区域上连续,域D 关于x 轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分,则有Dyxyxdd)(221dd)(422DyxyxD思考题思考题 将二重积分定义与定积分定义进行比较，找将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处出它们的相同之处与不同之处.定积分与二重积分都表示某个和式的极限值
7、，定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关不同的且此值只与被积函数及积分区域有关不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数二元函数思考题解答思考题解答例例1.比较下列积分的大小比较下列积分的大小:其中解解:积分域 D 的边界为圆周32)1()2(22yx它在与 x 轴的交点(1,0)处与直线,1 yx从而而域 D 位于直线的上方,故在 D 上y2x1OD
8、例例2.估计下列积分之值估计下列积分之值解解:D 的面积为由于积分性质5即:1.96 I 210101010D1021xyO例例3.判断积分判断积分的正负号.解解:分积分域为分积分域为则原式=yxyxDdd123221ddDyx)34(233D311D猜想结果为负 但不好估计.舍去此项yxO被积函数相同,且非负,yxyxIyxdd12解解:由它们的积分域范围可知11xyO5.比较下列积分值的大小关系比较下列积分值的大小关系:6.设设D 是第二象限的一个有界闭域是第二象限的一个有界闭域,且且 0 y 1,则则,d322DxyI的大小顺序为()提示:因 0 y 1,故D故在D上有323321xyxyxyyOx1D8.估计 的值,其中 D 为.20,10yx解解:被积函数被积函数2D 的面积的最大值51431)2,1(22 fm的最小值yOx2D1
