1、工具工具第三章空间向量与立体几何栏目导引工具工具第三章空间向量与立体几何栏目导引31空间向量及其运算工具工具第三章空间向量与立体几何栏目导引31.1空间向量及其加减运算工具工具第三章空间向量与立体几何栏目导引工具工具第三章空间向量与立体几何栏目导引1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念；2.掌握空间向量的加法、减法运算.工具工具第三章空间向量与立体几何栏目导引1.空间向量的基本概念和性质(难点)2.空间向量的加减法运算(重点)工具工具第三章空间向量与立体几何栏目导引工具工具第三章空间向量与立体几何栏目导引1.2009年12月至2010年1月间，我国北方遭受了历史罕见的寒
2、潮袭击，大风降温天气频发已知某天某人骑车以a km/h的速度向东行驶，感到风是从正北方向吹来；而当速度为 2a km/h时，感觉风是从东北方向吹来你能确定实际的风速和风向吗？工具工具第三章空间向量与立体几何栏目导引2在必修4中，我们已经学习了平面向量，你还知道下列几个问题是怎么定义的吗？(1)什么叫向量？(2)什么是向量的长度(或模)?(3)什么叫零向量、单位向量、相反向量、相等向量？(4)向量的表示方法有哪些？那么，在空间中，上述问题又是如何定义的呢？工具工具第三章空间向量与立体几何栏目导引1空间向量定义在空间，把具有和的量叫做空间向量长度向量的叫做向量的长度或.表示法几何表示法空间向量用表
3、示字母表示法大小方向大小有向线段模用一个字母表示，如图，此向量的起点是A，终点是B，可记作a，也可记作AB，其模记为|a|或|AB|.工具工具第三章空间向量与立体几何栏目导引2.几类特殊向量(1)零向量：的向量叫做零向量，记为0.(2)单位向量：的向量称为单位向量(3)相等向量：方向且模的向量称为相等向量在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量(4)相反向量：与向量a长度而方向的向量，称为a的相反向量，记为a.长度为0模为1相同相等相等相反工具工具第三章空间向量与立体几何栏目导引3空间向量的加减法与运算律空间向量的加减法 类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：OBOAAB
4、 ；CAOAOC .加法运算律(1)交换律：ab ；(2)结合律：(ab)c .ababba(ac)b工具工具第三章空间向量与立体几何栏目导引1.如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，ABa，ADb，AA1c，则D1B等于()Aabc Babc Cabc Dabc 解析：D1BD1DDAABcba.答案：C工具工具第三章空间向量与立体几何栏目导引2在平面向量中，下列说法正确的是()A如果两个向量的长度相等，那么这两个向量相等B如果两个向量平行，那么这两个向量的方向相同C如果两个向量平行并且它们的模相等，那么这两个向量相等D同向且等长的有向线段表示同一向量解析：根据两个向量相等的定义
5、可知，选项D正确答案：D工具工具第三章空间向量与立体几何栏目导引3如图所示，a，b是两个空间向量，且面ABC面ABC，AABB CC，则AC与AC是_向量，AB与BA是_向量 答案：相等相反工具工具第三章空间向量与立体几何栏目导引4.如图所示，已知平行六面体ABCDABCD，化简下列表达式(1)ABBBDADDBC；(2)ACACADAA.工具工具第三章空间向量与立体几何栏目导引解析：(1)ABBBDADDBCABBBADDDBC AB(BBDD)(ADBC)AB.(2)ACACADAACCADDDADAD.工具工具第三章空间向量与立体几何栏目导引工具工具第三章空间向量与立体几何栏目导引给出下
6、列命题：两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；若空间向量a，b满足|a|b|，则ab；在正方体ABCDA1B1C1D1中，必有ACA1C1；若空间向量m，n，p满足mn，np，则mp；空间中任意两个单位向量必相等 其中不正确的命题的个数是()工具工具第三章空间向量与立体几何栏目导引A1B2C3D4依据空间向量基本概念进行判断工具工具第三章空间向量与立体几何栏目导引解题过程题号 正误原因分析当两向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个向量相等不一定起点相同，终点相同向量相等的定义，模相等，而且方向相同由向量平行(共线)的性质可知空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一
7、定相同，故不一定相等在正方体ABCDA1B1C1D1中，向量AC与A1C1方向相同，模也相等，必有ACA1C1 工具工具第三章空间向量与立体几何栏目导引答案：C题后感悟(1)熟练掌握好空间向量的概念，零向量，单位向量，相等向量，相反向量的含义以及向量加减法的运算法则和运算律是解决问题的关键；(2)判断有关向量的命题时，要抓住向量的两个主要元素；大小和方向，两者缺一不可，相互制约工具工具第三章空间向量与立体几何栏目导引1.下列说法中正确的是()A若|a|b|，则a、b的长度相同，方向相同或相反 B若向量a是向量b的相反向量，则|a|b|C空间向量的减法满足结合律 D在四边形ABCD中，一定有AB
8、ADAC 答案：B工具工具第三章空间向量与立体几何栏目导引如图所示，已知长方体ABCDA1B1C1D1，化简下列向量表达式：(1)AA1CB；(2)AB1B1C1C1D1；(3)12 AD12 AB12A1A.工具工具第三章空间向量与立体几何栏目导引根据加法和减法的三角形法则与平行四边形法则，ABBCAC，ABACCB，利用这样的关系就可以进行项的合并与拆分 工具工具第三章空间向量与立体几何栏目导引解题过程 (1)AA1CBAA1BCAA1A1D1AD1.(2)AB1B1C1C1D1AD1.(3)设M是线段AC1的中点，则12AD12AB12A1A12AD12AB12AA1 12(ADABAA
9、1)12AC1.工具工具第三章空间向量与立体几何栏目导引题后感悟 如何化简向量表达式？(1)化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则进行化简(2)在化简过程中遇到减法时，可灵活应用相反向量转化成加法，也可按减法法则进行运算，加减法之间可以相互转化(3)化简中常用的化简形式为ABBCAC，ABACCB.工具工具第三章空间向量与立体几何栏目导引2.已知空间四边形ABCD，点M、N分别是边AB、CD的中点，化简ACADAB.解析：如图所示，因为点M、N分别是边AB、CD的中点，所以ACADAB2AN2AM 2MN.工具工具第三章空间向量与立体几何栏目导引证明平行六面体的体对角线交于一点，并
10、且在交点处相互平分工具工具第三章空间向量与立体几何栏目导引 规范作答证明：如图所示，平行六面体ABCDABCD，设点O是AC的中点，则AO12AC12(ABADAA).3 分 设P、M、N分别是BD、CA、DB的中点 则APABBPAB12BD AB12(BABCBB)AB12(ABADAA)12(ABADAA).7 分 工具工具第三章空间向量与立体几何栏目导引同理可证：AM12(ABADAA)，9 分 AN12(ABADAA).11 分 由此可知O，P，M，N四点重合 故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平分.12 分 工具工具第三章空间向量与立体几何栏目导引题后感悟利用向量解决立
11、体几何中的问题的一般思路：工具工具第三章空间向量与立体几何栏目导引3.空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别在边CB，CD上，且CF23CB，CG23CD.求证：四边形EFGH为梯形 工具工具第三章空间向量与立体几何栏目导引证明：根据题意，EHAHAE，BDADAB，又AH12 AD，AE12AB，EH12BD，FGCGCF，BDCDCB，又CG23CD，CF23CB，FG23(CDCB)23BD.工具工具第三章空间向量与立体几何栏目导引由得，EH34FG，EHFG，且|EH|FG|，又点F不在直线EH上，EHFG且|EH|FG|，四边形EFGH为梯形 工具工具第三章空
12、间向量与立体几何栏目导引1空间向量与平面向量的关系 空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量如图所示，已知空间向量a，b，我们可以在任意平面内，以任意点O为起点，作向量OAa，OBb.工具工具第三章空间向量与立体几何栏目导引2空间向量加法运算的理解(1)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量因此，求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量(2)若首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则这些向量的和为0.(3)两个向量相加的三角形法则、平行四边形法则在空间中仍成立工具工具第三章空间向量与立体几何栏目导引3熟练应用三角形法则和平
13、行四边形法则(1)利用三角形法则进行加法运算时，注意“首尾相连”和向量的方向是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点进行减法运算时，注意“共起点”，差向量的方向是从减向量的终点指向被减向量的终点(2)平行四边形法则一般用来进行向量的加法运算注意：平行四边形的两条对角线所表示的向量恰为两邻边表示向量的和与差工具工具第三章空间向量与立体几何栏目导引(3)三角形法则也可推广为多边形法则：即在空间中，把有限个向量顺次首尾相连，则从第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量即表示这有限个向量的和向量提醒空间向量的概念与运算法则同平面向量完全一致工具工具第三章空间向量与立体几何栏目导引在长方体ABCDA1B1C1D1中，化简DADBB1CB1BA1B1A1B.【错解】DADBB1CB1BA1B1A1B ABCBB1BDCDAB1BDBD1DD1B.工具工具第三章空间向量与立体几何栏目导引【错因】对向量减法的三角形法则理解、记忆错误，差向量的方法没有确定准确【正解】DADBB1CB1BA1B1A1B BABCBB1 BDBB1BDDD1BD1.工具第三章空间向量与立体几何栏目导引练考题、验能力、轻巧夺冠
