1、2022-12-20第五章 频率响应1第五章第五章习题习题2022-12-20第五章 频率响应2j0)点旋转p周。1,按逆时针方向围绕(G(j)H(j)统稳定的充要条件是面的右方，则其闭环系在s平且已知有p个开环极点定,2)如果开环系统不稳j0)点1,(H(j)曲线不包围充要条件是G(j)则其闭环系统稳定0,即p定的,1)如果开环系统是稳:乃氏判据例5-80)1)(1()()(2121TTSTSTKSHSG，44所示：图5曲线为变化时,当解,)()(jHjG由2022-12-20第五章 频率响应3 图5-44闭环系统稳定0,所以z因为,0,0 Np95例1G(S)H(S)TSK系统稳定的K值范
2、围。试用乃氏判据确定闭环221)(TKjG解Tarctan180)(2022-12-20第五章 频率响应4 图5-45则乃氏途径需修改：轴有奇点，在若1就能使系统稳定K显然只要包围曲线逆时针即则若使,由于jjHjGjjGHzzNp)()()0,1()(,1N,01,1。一周。图5-47设开环传递函数为mnSTSSKSHSGnllmii,)1()1()()(112022-12-20第五章 频率响应5代入上式，得令部分上,在。)0(2jeSCjseKSHSG00lim)()(lim无穷大的圆。射曲线为一半径部分在GH平面上的映无穷大的半圆。射曲线为一半径部分在GH平面上的映222)21)1CC，2
3、022-12-20第五章 频率响应6 图5-482022-12-20第五章 频率响应7115例00)1(TKTSSKGH，49所示：相连接后为图5j)H(j)圆，它与乃氏曲线G(曲线为一半径无穷大的射部分在GH平台上的映C47所示的乃氏途径,取图52 图5-492022-12-20第五章 频率响应8125例00)1(2TKTSSKGH，2221)(TKjG解 图5-50Tarctan180)(闭环系统不稳定。所以因为。，220zpzNp135例)1()1(122STSSTKGH性的影响。的相对大小对系统稳定和T分析T212022-12-20第五章 频率响应921222)(1)(1TTKGH解1
4、2arctanarctan180)(TT00)121zNTT，闭环系统稳定不稳定。有一对虚根，闭环系统点，说明闭环系统曲线穿过)0,1()()()221jjHjGTT，。，稳定的右方，故闭环系统不点在S平面说明闭环系统有二个零02)321zNTT2022-12-20第五章 频率响应10 图5-512022-12-20第五章 频率响应11 系统开环频率特性的绘制例5-3 212222212221221)(1lg201lg20lg20)(11)()1)(1()(2arctgarctgKLKAjjKjG2022-12-20第五章 频率响应12 系统开环频率特性的绘制2022-12-20第五章 频率响
5、应13 系统开环频率特性的绘制例5-464)(05.01)21()5.01(4)(2jjjjjjG1.为避免差错，必须将 化成如上标准形式，即典型环节频率特性的乘积。写出幅频特性、对数幅频特性和相频特性表达式)(jG22222)05.0()641()2(1)5.0(14)(A2022-12-20第五章 频率响应14比例环节：，20lg4=12dB积分环节：j12.分析组成系统的典型环节，并按转折频率从大到小的顺序列出)641(05.02905.0)()05.0()641(lg20)2(1lg20lg20)5.0(1lg204lg20)(222222arctgarctgarctgL2022-12
6、-20第五章 频率响应15 系统开环频率特性的绘制5.01,2,211111转折频率j21,5.0,5.01222转折频率j81,2.0,81,64)(05.0113332jj惯性环节：一阶微分环节：振荡环节：选定伯德图各坐标轴的比例尺，和频率范围，一般取最低频率为最小转折频率的1/10左右，最高频率为最大转折频率的倍左右，注意，轴是对数刻度，最低频率不可能取作在取最低频率为0.1，最高频率为100 从低频到高频画出对数幅频特性的渐近线12022-12-20第五章 频率响应16 系统开环频率特性的绘制低频渐近线是斜率为-20vdB/dec的直线，其中v为积分环节的个数，在处，渐近线通过20lg
7、K这一点此处，v=1,20lg4=12dB,通过 作斜率为-20dB/dec的直线在最小转折频率处，渐近线斜率由-20dB/dec变为-40dB/dec，这是惯性环节起作用的结果当频率高于转折频率时，一阶微分环节 将起作用，渐近线斜率从-40dB/dec变为-20dB/dec.1dBL12)(,15.01211j2251j2022-12-20第五章 频率响应17 系统开环频率特性的绘制考虑振荡环节的作用，在处，渐近线的斜率将有-40dB/dec的改变，形成斜率为-60dB/dec的渐近线必要时，按误差校正曲线，对渐近线进行修正，得到精确的对数幅频特性。根据各环节的相频特性，可以绘制系统的相频特
8、性822022-12-20第五章 频率响应18 系统开环频率特性的绘制190124127130122)(5.在分析和设计系统时，往往对对数幅频特性曲线与轴交点频率称剪切频率附近的相频特性比较感兴趣因此也可以在附近取几个频率点，代入的表达式，用解析的方法求出相频特性的几个点低频段和高频段均可按的变化趋势画出如此例有c)()(2022-12-20第五章 频率响应19 系统开环频率特性的绘制2022-12-20第五章 频率响应20 系统开环频率特性的绘制例有二个系统，开环传递函数分别为比较它们对数频率特性解：中含有滞后环节，为非最小相位系统sesKsGsKsG1)(,1)(1211)(2sG3.57
9、)(1)()(1)(1221211212arctgKAarctgKA)(L)(090)(1decdB/20)(2112022-12-20第五章 频率响应21 系统开环频率特性的绘制最小相位系统对数幅频特性和相频特性的关系：低频段对数幅频特性的斜率为-20dB/dec时，相频特性趋于90高频段对数幅频特性的斜率-20（nm）dB/dec时，相频特性趋近于 90（nm）)(L)(090)(1decdB/20)(2112022-12-20第五章 频率响应22 乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性应用的两种情况不含有积分环节时例解：系统稳定)()(sHsG)1)(1()()(21sTsTKsHsG202
10、2-12-20第五章 频率响应23 乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性.含有积分环节时根据映射定理，沿小半圆从变化到时，在平面上的映射曲线将沿着半径为无穷大的圆弧按顺时针方向从经过转到)()(sHsG)()(sHsG 0 022例)1()()(TssKsHsG，v=1,顺时针转过弧度系统稳定2022-12-20第五章 频率响应24 乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性例)12)(1(14)()(2sssssHsG，V=2，从顺时针顺时针包围点两周，系统不稳定，并有两个闭环极点在右半面)0,1(j0P2022-12-20第五章 频率响应25 乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性若开环系统稳定（即最小
11、相位系统），则闭环系统稳定的充要条件是曲线正、负穿越线的次数等于零)(例)1()()(ssKsHsG用伯德图判别系统的稳定性解：作系统伯德图因为在的频段内，相频特性 不穿越线按照乃氏稳定判据系统是稳定的0)(L)(1802022-12-20第五章 频率响应26 乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性例)2.01)(02.01(10)()(ssssHsG求系统的稳定裕度解：（）作对数幅频特性渐近线（）求剪切频率50,521sradKKKKKLccccc/07.7510,lglglg40lg20)(11222121111二个三角形2022-12-20第五章 频率响应27 乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳
12、定性（）求相角裕量（）作相频特性22.27)(18078.15205.873.5490)(02.0tan2tan90)(11cc50201007.75，180)(sradg/16对应的取几点2022-12-20第五章 频率响应28（）求增益裕量量得处的值sradg/16)(LdBGMdBL1515)(系统稳定，且)16(15),07.7(22.2711sdBGMsgc即最小相位系统的相角裕度和增益裕度是对应的。乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性2022-12-20第五章 频率响应29 乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性2022-12-20第五章 频率响应30例例5 58 8 已知系统的开环传递
13、函数 ，求系统的相角裕度和增益裕度。用MATLAB可绘制系统Bode图、计算稳定裕度。系统的相角裕度 =51.85 o，增益裕度GM=67.45dB，相角剪切频率 =3.92rad/s，增益剪切频率 =242.97rad/s。)11.0()1(10)(2ssssGcg2022-12-20第五章 频率响应312022-12-20第五章 频率响应32 闭环频率特性及频域性能指标性能指标为brrM谐振峰谐振频率带宽频率（或截止频率），是下降到时幅值的所对应的频率)(M021.反映了系统的相对稳定性。反映了系统的相对稳定性。时，相当于阻尼比为此时，可以得到比较满意的暂态响应，当时，系统的阶跃响应将出现
14、几次振荡rM4.10.1rM)3lg200(dBMdBr7.04.05.1rM2022-12-20第五章 频率响应33 闭环频率特性及频域性能指标反映了暂态响应的速度。反映了暂态响应的速度。越大，暂态响应越快（指越短）对于欠阻尼系统，与值比较接近系统的带宽与响应速度成正比。系统的带宽与响应速度成正比。带宽宽，复现输入信号的能力就强但对高频噪声的滤波能力就差一个反馈控制系统既要求能很好地复现输入信号又希望能抑制高频噪声，这两方面是矛盾的，需要进行折中考虑也就是说设计系统时，不是带宽越宽越好闭环对数幅值曲线在附近的斜率，称作剪切率，它表征了系统从噪声中辨别有用信号的能力。曲线越陡峭，系统从噪声中区
15、别有用信号的特性越好但是一般也意味着较大，因而系统的稳定裕量较小rrsrdb0)(lg20MbrM2022-12-20第五章 频率响应34 闭环频率特性及频域性能指标二二阶系统频域指标的暂态响应的关系二二阶系统频域指标的暂态响应的关系二阶系统的开环传函为)2()1()(2nnssssKsG式中12,nnK系统的闭环传函为2222)()(nnnsssRsC2022-12-20第五章 频率响应35 闭环频率特性及频域性能指标二阶系统的闭环频率特性)(22)(2)1(1)()(jnneMjjRjC式中221222212tan)()2()1(1)(nnnnM2022-12-20第五章 频率响应36 闭
16、环频率特性及频域性能指标的关系,nnrrM2212121rnrM而欠阻尼系统的与的关系为pdM,nprMM,与的关系如图2022-12-20第五章 频率响应37.越小，越大.时，和有一一对应的关系.当时，谐振峰值不存在和之间关系如图所示prMM,rMpM707.00707.0rMrMpM22121dr只与有关当时，阻尼振荡频率当时，即不存在0707.0dr0r 闭环频率特性及频域性能指标2022-12-20第五章 频率响应38 闭环频率特性及频域性能指标2124121412tan和之间的关系)2()(2nnjjjG和之间的关系如图所示2022-12-20第五章 频率响应39 闭环频率特性及频域
17、性能指标在的范围内，可用一条直线近似，即7.0018.0上式表明：选择为，对应的为0.30.6.小，小，系统的振荡趋势增强大，大，系统的暂态响应较平稳6030在满足某种条件的情况下，高阶线性系统可以近似地用具有一对主导极点的二阶系统等价表示。这时可以应用上述各种结果进行估算。2022-12-20第五章 频率响应40第五节第五节 相对稳定性分析相对稳定性分析)()(1gggjHjGK一、增益裕量Kg180)(g为不稳定。系统闭环系统稳定；反之，对于最小相位系统，1gK二、相位裕量)(180c1)()(ccjHjG 图5-592022-12-20第五章 频率响应41 图5-60不稳定。系统稳定；反
18、之，系统对于最小相位系统，02022-12-20第五章 频率响应42，已知例155)05.01)(2.01()(SSSKSG试求。4020lg20)21)1，相位裕量整，使系统的增益裕量要求通过对增益K的调和时的dBKKKgg解18005.0arctan2.0arctan90)()1ggg9005.0arctan2.0arctangggggg05.02.0105.02.02022-12-20第五章 频率响应43005.02.01gg10g22)2010(1lg20)510(1lg2010lg201lg20)(gLdB28dBLKgg28)(lg2017.10405.0arctan2.0arct
19、an90)(11ccK，761.0lg20)2010(1lg20)510(1lg2010lg20lg20)222K2022-12-20第五章 频率响应445.2K14005.0arctan2.0arctan90)(ccc又5005.0arctan2.0arctancc2.105.02.0125.02cc1lg20)204(1lg20)54(1lg204lg20lg20)(22KLc4c22.5K的要求。和时，同时满足取gKK5.22022-12-20第五章 频率响应45 图5-61三、相对稳定性与对数幅频特性中频段斜率关系2022-12-20第五章 频率响应463/40/20331cqcdec
20、dBdecdB，且设平分斜率为平分斜率为，令decdBdecdB/40/20)12132斜率为，斜率为当，；)1)(1()1()(312jjjjKjG则321arctanarctanarctan90)(cccc26110818072)9072(905472 2022-12-20第五章 频率响应47decdBdecdB/60/2022132斜率为，斜率为)当，；)1()1()1()(32122jjjjKjG321arctan2arctan2arctan290)(cccc44108118144)180144(903672 decdBdecdB6040212为，斜率，斜率为3)当；2022-12-2
21、0第五章 频率响应48212)1()1()(jjjKjG21arctan2arctan290)(ccc1981621827)180144(901818 2022-12-20第五章 频率响应49第六节第六节 频域性能指标与时域性能频域性能指标与时域性能指标间的关系指标间的关系)()()(1)()(jeMjGjGj一、闭环频率特性及其特征量1)(lim)()(000SGSSKGSGs，且令频值1.闭环幅频特性的零1M(0)0)21K1KM(0)0)1，)()()()(00SKGSSKGSRSC 图5-622022-12-20第五章 频率响应502.频带宽度dBjRjCjRjCbb300频带宽度。称
22、为系统的的频率范围闭环幅频值不低于，bdB03165例 1111SSRSC 13122SSRSC 图5-632022-12-20第五章 频率响应51 图5-64 2222nnnSSSRSCjnnMejjRjC2)1(122二、二阶系统时域响应与频域响应的关系2022-12-20第五章 频率响应522222221arctan)2()1(1nnnnM，时，有当21021111212122MMn2022-12-20第五章 频率响应5311exp22MMMMMp 图5-652221211pnptt22211ln21111ln1snstt2022-12-20第五章 频率响应54时，当b21)2()(22
23、222nbbnn42244221nb2422144221pbt2422211ln442211sbt2022-12-20第五章 频率响应55，时，当1)(ccjG1422242nccn24214nc2241arctan902arctan90)(24ncc242412arctan6.060 图5-662022-12-20第五章 频率响应56第七节第七节 用频域响应辨识系统的数用频域响应辨识系统的数学模型学模型 图5-622022-12-20第五章 频率响应572)50()506.01()101()101(5)(jjjjjjG2)02.0()02.06.01()5.01()1.01(5)(SSSSS
24、SG)14(90270)(时，当2022-12-20第五章 频率响应58第八节第八节 MATLAB在频率响应法在频率响应法中的应用中的应用一、用MATLAB绘制伯德图例5-5SSSSSSSHSG25.010)15.0()11.0(10)()(功能指令：bode(num,den)num=0 1 10；den=0.5 1 0；若要具体给出bode图的频率范围，需用以下指令:logspace和bode(num,den,w)%MATLAB程序5-1 num=0 1 10;2022-12-20第五章 频率响应59 图5-33title(Bode Diagram of G(S)=10(1+0.1S)/S(
25、1+0.5S)ylabel(0)L(w)/dB)xlabel(w/s-1-1);bode(num,den,w);%绘制0.01S-11000S-1的bode图。den=0.5 1 10;w=logspace(-2,3,100);%给出w值的范围。2022-12-20第五章 频率响应60若需要幅值和相位角的范围时，需用下面的功能指令：mag,phase,w=bode(num,den,w)。，图间做出在要求例BodeSSSSSSSSSG32232101010016306)10016()2.01(30)(%MATLAB程序5-2 num0 0 6 30;den1 16 100 0;w=logspac
26、e(-2,3,100)mag,phase,w=bode(num,den,w);subplot(2,11)semilgx(w,20*lg10(mag);2022-12-20第五章 频率响应61 grid on xlabel(w/s-1-1);ylabel(0)L(w)/dB)title(Bode Diagram of G(S)=30(1+0.1S)/S(S2+16S+100)subplot(2,11)semilgx(w,phase);grid on xlabel(w/s-1-1);ylabel(0)L(w)/dB)2022-12-20第五章 频率响应62 图5-342022-12-20第五章 频
27、率响应63二、用MATLAB绘制乃氏图18.18.11)()(23SSSSHSG2022-12-20第五章 频率响应64 图5-342022-12-20第五章 频率响应65 Re,Im,w=nyquist(num,den)或Re,im,w=nyquist(num,den,w)plot(Re,Im)v=(-x x y y)例5-7%MATLAB5-4 num=0 0 20 10;den=1 11 10 0;w1=0.1:0.1:10;w2=10:2:100;图5-352022-12-20第五章 频率响应66 w3=100:5:500;W=w1 w2 w3;Re,Im=nyquist(num,de
28、n,w)plot(Re(:,:),Im(:,:),Te(:,:),-Im(:,:)v=-3 3 3 3;axis(v)grid on title(nyquist plot of G(S)=20(S+0.5)/S(S+1)(S+10)xlabel(Re);ylabel(Im);若需要画出由0变化的乃氏图，则只要把plot指令括号中的函数内容作以下修改 plot(Re(:,:),Im(:,:)2022-12-20第五章 频率响应67%MATLAB5-4 num=0 0 0 1;den=1 1.8 1.8 1;w1=0.1:0.1:10;w2=10:2:100;w3=100:5:500;W=w1 w
29、2 w3;Re,Im=nyquist(num,den,w)plot(Re(:,:),Im(:,:)v=-2 2 2 2;axis(v)grid on 的乃氏图例绘制18.18.11)(23SSSSG2022-12-20第五章 频率响应68 title(nyquist plot of G(S)=1/(S3+1.8S2+1.8S+1)xlabel(Re)ylabel(Im)三、用MATLAB求相位裕量和增益裕量%MATLAB程序6%title(Bode diagram of G(S)=0.5/(S3+2S2+S+0.5)num=0 0 0 0.5;den=1 2 1 0.5;mag,phase,w
30、=bode(num,den);margin(mag,phase,w);Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin(mag,phase,w);subplot(2 1 1)2022-12-20第五章 频率响应69 semigx(w,20*lg10(mag);grid on title(Gain Margin=num2str(Gm),phase margin=num2str(Pm)xlabel(w/s-1-1);ylabel(L()/dB)subplot(2 1 2)semilgx(w,phase);grid on xlabel(w/s-1-1);ylabel()2022-12-20第五章 频率响应70%plot nuquist and compute gain and phase%Margins for GH(S)=0.5/S3+2.52+S+0.5 num=0.5;den=1 2 1 0.5;mag,phase,w=bode(num,den);Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin(mag,phase,w);nyquist(num,den)grid on title(Gain Margin=num2str(Gm),phase Margin=num2str(Pm)xlabel(Re),ylabel(Im)2022-12-20第五章 频率响应71 图5-34
