1、2022-12-20961第第9章章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换4.双边拉普拉斯变换的性质；双边拉普拉斯变换的性质；本节主要内容：本节主要内容：1.双边拉普拉斯变换；双边拉普拉斯变换；2.双边拉普拉斯变换的收敛域；双边拉普拉斯变换的收敛域；6.单边拉普拉斯变换；单边拉普拉斯变换；3.零极点图；零极点图；9.0 引言引言 傅里叶变换是以复指数函数的特例傅里叶变换是以复指数函数的特例 和和 为基底分解信号的。对更一般的复指数函数为基底分解信号的。对更一般的复指数函数 和和 ，也理应能以此为基底对信号进行分解。，也理应能以此为基底对信号进行分解。jtejnestenz 傅里叶分析方法之所以在信号与傅里
2、叶分析方法之所以在信号与LTI系统分析系统分析中如此有用，很大程度上是因为相当广泛的信号中如此有用，很大程度上是因为相当广泛的信号都可以表示成复指数信号的线性组合，而都可以表示成复指数信号的线性组合，而复指数复指数函数是一切函数是一切 LTI 系统的特征函数。系统的特征函数。通过本章及下一章，会看到拉普拉斯变换和通过本章及下一章，会看到拉普拉斯变换和变变换不仅具有很多与傅里叶变换相同的重要性质，不换不仅具有很多与傅里叶变换相同的重要性质，不仅能仅能解决解决用傅里叶分析方法可以解决的信号与系统用傅里叶分析方法可以解决的信号与系统分析问题，而且还能分析问题，而且还能用于用于傅里叶分析方法不适用的傅
3、里叶分析方法不适用的许多方面。许多方面。拉普拉斯变换与拉普拉斯变换与变换的分析方法是傅变换的分析方法是傅里叶分析法的推广，傅里叶分析是它们的特例里叶分析法的推广，傅里叶分析是它们的特例。将傅里叶变换推广到更一般的情况就是本章及下将傅里叶变换推广到更一般的情况就是本章及下一章要讨论的中心问题。一章要讨论的中心问题。9.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 复指数信号复指数信号 是一切是一切LTI系统的特征函数。系统的特征函数。如果如果LTI系统的单位冲激响应为系统的单位冲激响应为 ，则系统对，则系统对 产生的响应是产生的响应是:ste()h tste()()sty tH s e()()stH sh t
4、edt，其中，其中显然当显然当 时，就是连续时间傅里叶变换时，就是连续时间傅里叶变换。sjThe Laplace Transform一一.双边拉氏变换的双边拉氏变换的定义：定义：()()stX sx t edt称为称为 的的双边拉氏变换双边拉氏变换，其中，其中 。()x tsj若若 ，则有则有:0sj()()j tXjx t edt 这这就是就是 的傅里叶变换的傅里叶变换。()x t表明：表明：连续时间傅里叶变换是双边拉普拉斯变换连续时间傅里叶变换是双边拉普拉斯变换在在 或是在或是在 轴上的特例。轴上的特例。0j()()()tj ttj tX sx t eedtx t eedt()tx t e
5、 F由于由于 所以所以拉氏变换是对傅里叶变换的推广拉氏变换是对傅里叶变换的推广，的的拉氏变换就是拉氏变换就是 的傅里叶变换。只要有合的傅里叶变换。只要有合适的适的 存在，就可以使某些本来不满足狄里赫利存在，就可以使某些本来不满足狄里赫利条件的信号在引入条件的信号在引入 后满足该条件。即有些信后满足该条件。即有些信号的傅氏变换不收敛而它的拉氏变换存在。这表号的傅氏变换不收敛而它的拉氏变换存在。这表明明拉氏变换比傅里叶变换有更广泛的适用性。拉氏变换比傅里叶变换有更广泛的适用性。()x tte()tx t e()()atx teu t例例1.()001()atsts a tX seedtedtsaR
6、e sa 在在 时，积分收敛。时，积分收敛。当当 时，时，的傅里叶变换存在的傅里叶变换存在()x t0a 01()atj tX jeedtaj(0)a 显然，在显然，在 时，拉氏变换收敛的区域为时，拉氏变换收敛的区域为 ，包括了，包括了 （即（即 轴）。轴）。0aRe sa 0j比较比较 和和 ，显然有，显然有 ()X j()X s()()sjX sX j当当 时，时，()()()atx teu tu t0a 1()u ts可知可知Re 0s 例例2.()()atx teut 00()1()atsts a tX se e dtedts a Re sa 与例与例1.比较，区别仅在于收敛域不同。比
7、较，区别仅在于收敛域不同。由以上例子，可以看出由以上例子，可以看出:1.拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛问题。拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛问题。并并非任何信号的拉氏变换都存在，也不是非任何信号的拉氏变换都存在，也不是 S 平面上平面上的任何复数都能使拉氏变换收敛。的任何复数都能使拉氏变换收敛。2.使拉氏变换积分收敛的那些复数使拉氏变换积分收敛的那些复数 S的集合，称的集合，称为拉氏变换的收敛域为拉氏变换的收敛域。拉氏变换的收敛域拉氏变换的收敛域 ROC（Region of Convergence）对拉氏变换）对拉氏变换是非常重是非常重要的概念。要的概念。3.不同的信号可能会有完全相同的拉氏
8、变换表达不同的信号可能会有完全相同的拉氏变换表达式，只是它们的收敛域不同。式，只是它们的收敛域不同。j()()s jX jX s5.如果拉氏变换的如果拉氏变换的ROC包含包含 轴，则有轴，则有4.只有拉氏变换的表达式连同相应的收敛域，才只有拉氏变换的表达式连同相应的收敛域，才能和信号建立一一对应的关系能和信号建立一一对应的关系。二二.拉氏变换的拉氏变换的ROC及零极点图：及零极点图：2()()()ttx te u te u t例例3.200()tsttstX se edteedt1(),1te u tsRe 1s 21(),2teu tsRe 2s 1j2j可见：可见：拉氏变换的收敛域是各个收
9、敛域的公共部拉氏变换的收敛域是各个收敛域的公共部分。分。ROC总是以平行于总是以平行于 轴的直线作为边界的，轴的直线作为边界的，ROC的边界总是与的边界总是与 的分母的根相对应的。的分母的根相对应的。j()X sRe 1s 若若 是有理函数是有理函数()X s()()()()()iiiisN sX sMD ssj2121123(),1232sX sssss 分子多项式的根称为分子多项式的根称为零点零点，分母多项式的根，分母多项式的根称为称为极点极点。将将 的全部零点和极点表示在的全部零点和极点表示在S平面上，平面上，就构成了就构成了零极点图零极点图。零极点图及其收敛域可以。零极点图及其收敛域可
10、以表示一个表示一个 ，最多与真实的，最多与真实的 相差一个常相差一个常数因子数因子 。()X s()X s()X sM因此，因此，零极点图是拉氏变换的图示方法零极点图是拉氏变换的图示方法。9.2 拉氏变换的收敛域拉氏变换的收敛域l可以归纳出可以归纳出ROC的以下性质：的以下性质：The Region of Convergence for Laplace Transformsj4.右边信号的右边信号的ROC位于位于S平面平面内一条平行于内一条平行于 轴的直线的右边。轴的直线的右边。3.时限信号的时限信号的ROC是整个是整个 S 平面。平面。2.在在ROC内无任何极点。内无任何极点。j1.ROC是
11、是 S 平面上平行于平面上平行于 轴的带形区域。轴的带形区域。0()tTx t edt 若若 ，则，则101()tTx t edt010100()()()()ttTTtTx t eedtex t edt1表明表明 也在收敛域内。也在收敛域内。若若 是右边信号是右边信号,在在ROC内内，则有则有 绝对可积，即：绝对可积，即：00()tx t e()x tTt 5.左边信号的左边信号的ROC位于位于S平面内一条平行于平面内一条平行于 轴的直线的左边。轴的直线的左边。j 若若 是左边信号，定义于是左边信号，定义于 ,在在 ROC 内，内，则，则100()x t(,T0101()()()TTtttx
12、t edtx t eedt100()()TTtex t edt 1表明表明 也在收敛域内。也在收敛域内。6.双边信号的双边信号的ROC如果存在，一定是如果存在，一定是 S 平面内平面内平行于平行于 轴的带形区域。轴的带形区域。j0()()0()11TatstTs a ts a TX seedtedtesa例例1.()x t ate0其它其它0tT t考查零点，令考查零点，令()1s a Te 例例2.()b tx te()()()btbtx teu te ut有极点有极点sa()X s 显然显然 在在 也有一阶零点，由于零极也有一阶零点，由于零极点相抵消，致使在整个点相抵消，致使在整个S平面上
13、无极点。平面上无极点。sa()X s2sajkT 得得（k为整数）为整数）当当 时，上述时，上述ROC有公共部分，有公共部分，0b11()X ssbsbRe bsb 当当 时，上述时，上述 ROC 无公共部分，表明无公共部分，表明 不存在。不存在。0b()X s1(),bte utsb Re sb 1(),bteu tsbRe sbbjb 当当 是有理函数时，其是有理函数时，其ROC总是由总是由 的的极点分割的。极点分割的。ROC必然满足下列规律：必然满足下列规律：()X s()X s3.双边信号的双边信号的ROC可以是任意两相邻极点之间可以是任意两相邻极点之间的带形区域。的带形区域。()X
14、s2.左边信号的左边信号的ROC一定位于一定位于 最左边极点最左边极点的左边。的左边。()X s1.右边信号的右边信号的ROC一定位于一定位于 最右边极点最右边极点的右边。的右边。例例3.21()321112X sssss可以形成三种可以形成三种 ROC：1)ROC：2)ROC：3)ROC：Re 2s Re 1s 2Re 1s j12()x t此时此时 是是右边信号右边信号。()x t此时此时 是是左边信号左边信号。()x t此时此时 是是双边信号双边信号。2022-12-209623The Unilateral Laplace Transform 单边拉氏变换是双边拉氏变换的特例。也就是单边
15、拉氏变换是双边拉氏变换的特例。也就是因果信号的双边拉氏变换。单边拉氏变换对分析因果信号的双边拉氏变换。单边拉氏变换对分析LCCDE 描述的增量线性系统具有重要的意义。描述的增量线性系统具有重要的意义。一一.定义定义:0()()stsx t edt 如果如果 是因果信号，对其做双边拉氏变换是因果信号，对其做双边拉氏变换和做单边拉氏变换是完全相同的。和做单边拉氏变换是完全相同的。()x t9.3 单边拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换2022-12-209624 单边拉氏变换也同样存在单边拉氏变换也同样存在ROC。其。其ROC必然必然遵从因果信号双边拉氏变换时的要求，即：遵从因果信号双边拉氏变换时的要求，即：一定一定位于最右边极点的右边。位于最右边极点的右边。正因为这一原因，在讨论单边拉氏变换时，一正因为这一原因，在讨论单边拉氏变换时，一般不再强调其般不再强调其ROC。1()()2jstjx ts e dsj 单边拉氏变换的反变换一定与双边拉氏变换的单边拉氏变换的反变换一定与双边拉氏变换的反变换相同。反变换相同。
