1、一元二次方程一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的求根公式：的求根公式：x=aacbb242(b2-4ac 0)（1）x2-7x+12=0(2)x2+3x-4=0(3)2x2+3x-2=0解下列方程并完成填空：解下列方程并完成填空：方程两根两根和X1+x2两根积x1x2x1x2x2-7x+12=0 x2+3x-4=02x2+3x-2=0341271-3-4-4-1-22123一元二次方程的根与系数的关系：一元二次方程的根与系数的关系：如果方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是x1,x2 ,那么x1+x2=,x1x2=abac（韦达定理）（韦达定理）注：能用根与系数的关系的前提条件为注
2、：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac0韦达（韦达（15401603）韦达是法国十六世纪最有影响的数学韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号，家之一。第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进。并对方程论做了改进。他生于法国的普瓦图。年青时学习他生于法国的普瓦图。年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未
3、知数及其乘幂，字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为论称为“韦达定理韦达定理”）。）。韦达在欧洲被尊称为韦达在欧洲被尊称为“代数学之代数学之父父”。一元二次方程根与系数关系的证明：aacbbx2421aacbbx2422X1+x2=aacbb242aacbb242+=ab22=abX1x2=aacbb242aacbb242=
4、242)42(2)(aacbb=244aac=ac如果方程x2+px+q=0的两根是x1 ，x2，那么x1+x2=,x1x2=Pq例例1 1、不解方程，求方程两根的和与两根的积：、不解方程，求方程两根的和与两根的积：2310 xx 22410 xx 123xx 121xx 122xx解：解：我能行我能行1原方程可化为：原方程可化为：02122 xx2121 xx二次项不是二次项不是1 1，可，可以先把它化为以先把它化为1 11625x 35()275k k357答：方程的另一个根是答：方程的另一个根是，的值是的值是。2560 xkxk例例2 2、已知方程、已知方程求它的另一个根及求它的另一个根
5、及的一个根是的一个根是2 2的值。的值。26055kxx原方程可化为：原方程可化为：想一想，想一想，还有其他还有其他方法吗？方法吗？还可以把还可以把 代入方程的两边，求出代入方程的两边，求出2x k 解：解：，那么那么1x设方程的另一根是设方程的另一根是135x 3()255k 又 我能行我能行21232xx 1212xx 22310 xx 例例3 3、不解方程，求一元二次方程、不解方程，求一元二次方程两个根的两个根的平方和；平方和；倒数和。倒数和。12,x x设方程的两根是设方程的两根是，那么，那么解：解：我能行我能行32221212212)(xxxxxx2122122212)(xxxxxx
6、413)21(2)23(22221xx21212111xxxxxx)21()23(3所求的方程是所求的方程是：解：解：我能行我能行40)212()313()212313(2xx例例4 4、求运用根与系数的关系一个一元二次方程，、求运用根与系数的关系一个一元二次方程，使它的两个根是：使它的两个根是：313212，2525063xx即即：265500 xx或或：（1 1）下列方程两根的和与两根的积各是多少？）下列方程两根的和与两根的积各是多少？2310 xx 2322xx2230 xx231x；求它的另一个根及求它的另一个根及（2 2）已知方程）已知方程23190 xxmm的值。的值。的一个根是的
7、一个根是1 1，12,x x22430 xx12(1)(1)xx2112xxxx是方程是方程不解方程，求下列各式的值不解方程，求下列各式的值:（3 3）设）设的两个根的两个根,开启 智慧知识在于积累知识在于积累开启 智慧知识在于积累知识在于积累4,713,13（4 4）求一个一元二次方程，使它的两个根分别为：）求一个一元二次方程，使它的两个根分别为：；（5 5）已知两个数的和等于）已知两个数的和等于62，积等于，积等于求这两个数求这两个数根与系数关系小结1、已知方程的一个根求另一个根及未知数、已知方程的一个根求另一个根及未知数（也可以用根的定义求解）（也可以用根的定义求解）pxx21:有qxx
8、21对于一元二次方程对于一元二次方程 的两根的两根02qpxx21、xx2、求关于两根的代数式的值求关于两根的代数式的值如如:两根的平方和、两根的倒数和等两根的平方和、两根的倒数和等3、以、以x x1 1、x x2 2 为根的一元二次方程为根的一元二次方程 x x2 2-(x-(x1 1+x+x2 2)x+x)x+x1 1x x2 2=0=0，1、当、当k为何值时，方程为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为的两根差为1。解：设方程两根分别为x1,x2(x1x2)，则x1-x2=1(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2由根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=21k23k12342)21(kk解得k1=9,k2=-3当k=9或-3时，由于0，k的值为9或-3。2、设、设x1，x2是方程是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且的两个实数根，且x12+x22=4，求，求k的值。的值。解：由方程有两个实数根，得0242)1(4kk即-8k+4021 k由根与系数的关系得x1+x2=2(k-1),x1x2=k2 X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4由X12+x22=4，得2k2-8k+44解得k1=0 ,k2=4经检验，k2=4不合题意，舍去。k=
