1、1一一.同频率、同一直线上的同频率、同一直线上的谐振动的合成谐振动的合成分振动：分振动：x1=A1cos(t+1)x2=A2cos(t+2)合振动：合振动：x=x1+x2=Acos(t+)22112211coscossinsintg AAAA )cos(212212221 AAAAA2用用矢量法矢量法来看更简洁：来看更简洁：M1A1 1 1MA2xoA A2 2 2M2(2-2-1 1)(2-2-1 1)2 2x1)cos(212212221 AAAAA22112211coscossinsintg AAAA 合位移：合位移：x=x1+x2=Acos(t+)分振动：分振动：x1=A1cos(t+
2、1)x2=A2cos(t+2)x2x1+x23 (1)合振动仍是同频率的谐振动。合振动仍是同频率的谐振动。22112211coscossinsintg AAAA )cos(212212221 AAAAAx=x1+x2=Acos(t+)x1=A1cos(t+1)x2=A2cos(t+2)(2)=2-1讨论：讨论：=2k ,k=0,1,2,A=A1+A2,加强加强=(2k+1),k=0,1,2,A=|A1-A2|,减弱减弱4 x1=A1cos(t+1)x2=A2cos(t+2)22112211coscossinsintg AAAA )cos(212212221 AAAAAx=x1+x2=Acos(
3、t+)即：合振动的强弱即：合振动的强弱,取决于两分振动的相位差。取决于两分振动的相位差。(3)通常情况下，合振幅介于通常情况下，合振幅介于 和和 之间。之间。12AA+12AA-5已知：已知：A1=0.3,A2=0.4,1=/2,2=公式法：公式法：=0.543 =-36.86=-0.64rad取取 =-0.64+=2.5rad 合振动方程合振动方程：x=0.5cos(t+2.5)cm22112211coscossinsintg AAAA )cos(212212221 AAAAAx0.40.3 解解 x=Acos(t+)例题例题4.13 x1=0.3cos(t+)cm x2=0.4cos(t+
4、)cm2 求合振动方程。求合振动方程。6旋转矢量法：旋转矢量法：x=Acos(t+)x1=0.3cos(t+)cm,x2=0.4cos(t+)cm2 x0.40.3A 50403022.A 434030tg .=36.86=0.64rad =-=2.5 合振动方程合振动方程：x=0.5cos(t+2.5)cm7 =/3 解解 已知：已知：A1=0.4,A2=0.6,1=/3,2=-2/3=0.23 xx1/3x2-2/3+=5/3x1与与x2是反相的！是反相的！合振动方程合振动方程：x=0.2cos(2 t-2/3)cm22112211coscossinsintg AAAA )cos(2122
5、12221 AAAAA例题例题4.14 设设分振动：分振动：x1=0.4cos(2 t+/3)cm,x2=0.6cos(2 t-2/3)cm，求合振动方程。求合振动方程。或者或者-2/38 合振动方程合振动方程：x=0.04cos(t-/2)mx2x(m)t(s)x10.120.08o1 例题例题4.15 x1 和和 x2的的振动曲线如图所示，求合振振动曲线如图所示，求合振动方程。动方程。解解 由图由图可知，可知，x1与与x2是反相的。因而是反相的。因而 合振幅合振幅:A=0.12-0.08=0.04;合振动的初相合振动的初相:=-/2(振幅大的分振动的初相振幅大的分振动的初相)合振动的角频率
6、：合振动的角频率：=2/T=9 例题例题4.16 两个同方向、同频率的谐振动合成后，合两个同方向、同频率的谐振动合成后，合振幅振幅A=20cm,合振动与第一个振动的相差为合振动与第一个振动的相差为 /6,A1=17.3cm,求：求：(1)A2=?(2)两两振动的相差振动的相差(2-1)=?A1=17.3 1 1A=20 /6A2xo=10cm 由余弦定理：由余弦定理：6cos212122 AAAAA A2 2 2 解解)cos(212212221 AAAAA 由由公式：公式：106sin)(sin212 AA 因因A=20,A2=10,由由上式可上式可求出：求出：212 )(2-2-1 1)A
7、1=17.3 1 1A=20 /6A2xoA2 2 2(2)两两振动的相差振动的相差(2-1)由正弦定理有：由正弦定理有：11 x1=Aocos t x2=Aocos(t+)xn=Aocos t+(N-1)例题例题4.17 求同方向、同频率、同振幅、依次间相求同方向、同频率、同振幅、依次间相位差均为位差均为 的的N个谐振动的合个谐振动的合振动振动方程。方程。解解光的衍射光的衍射选择适当的计时起点，使某个简谐振动的初选择适当的计时起点，使某个简谐振动的初相为零，则有相为零，则有由前面讨论推知，这由前面讨论推知，这N个简谐运动的个简谐运动的合振动仍为合振动仍为简谐振动简谐振动，设表达式为，设表达式
8、为x=Acos(t+)12 x1=Aocos t x2=Aocos(t+)xn=Aocos t+(N-1)2sin2 RAo OBD:2sin2 NRA OBC:2sin2sin NAAO AxAoDoRB CN Ao13 AxAoDoRB CN Ao)(21 NBoC )(21 BoD2)1(NBoCBoD2)1(cos2sin2sin NtNAOx=Acos(t+)1402200sinsinlimnAAAn此时振幅最大。此时振幅最大。2)1(cos2sin2sin NtNAOx=Acos(t+)2.当当nk22,1,0,knkk2,1,0kk21.当当0sinsinnkkaA此时振幅最小。
9、此时振幅最小。即：当各分振动构成一个封闭的多边形时。合振动为零。即：当各分振动构成一个封闭的多边形时。合振动为零。15二二.不同频率、同一直线上的不同频率、同一直线上的谐振动的合成谐振动的合成)cos(1111tAx)cos(2222tAx)cos()cos(22211121tAtAxxx以以特殊情况特殊情况来讨论：来讨论：A1=A2=A，1 与与 2相差很小。相差很小。合振动：合振动：x=x1+x2=)tcos(tcosA 2222112 由于由于 1 与与 2相差很小相差很小,故故 1-2比比 1+2小得多小得多;即即t2cos12 比比 的周期长得多的周期长得多！t2cos12 16M1
10、A1 1 1MA2xoA A2 2 2M2)cos(1111tAx)cos(2222tAx17 所以，合振动可近似看作是一个振幅缓慢变化的谐所以，合振动可近似看作是一个振幅缓慢变化的谐振动振动tAAo2cos212 拍现象拍现象)2cos(2cos22112ttAxxt18tAAo2cos212 )2cos(21 tAxo)2cos(212tA)2(2cos21212tA121212222拍频拍频:合振幅变化的频率合振幅变化的频率19 x=A1cos(t+1)y=A2cos(t+2)(sin)cos(21221221222212 AyAxAyAx 在一般情况下在一般情况下,这是一个椭圆方程。这
11、是一个椭圆方程。三三.同频率、相互垂直谐振动的合成同频率、相互垂直谐振动的合成20)(sin)cos(21221221222212 AyAxAyAx (1)当当 2-1=0时，时，同相同相，xyxAAy12 合振动仍为谐振动合振动仍为谐振动:)tcos(222122 AAyxrxAAy12 xy合振动仍为谐振动合振动仍为谐振动:22yxr )tcos(2221 AA(2)当当 2-1=时，时，反相反相，上式退化为一直线：上式退化为一直线：上式也退化为一直线：上式也退化为一直线：21xy 2-1=/2xy 2-1=-/2 (3)当当 2-1=/2时，上式为一时，上式为一椭圆椭圆：1222212
12、AyAx合振动不再是谐振动。合振动不再是谐振动。)(sin)cos(21221221222212 AyAxAyAx左旋左旋右旋右旋22=0=/4=/2=3/4=5/4=3/2=7/4 两个频率相同、两个频率相同、振幅不同的互振幅不同的互相垂直简谐相垂直简谐振动的合成振动的合成23四四.不同频率垂直谐振动的合成不同频率垂直谐振动的合成 李萨如图形李萨如图形 x=A1cos(1 t+1)y=A2cos(2 t+2)24一、阻尼振动一、阻尼振动回复力回复力kx 阻力阻力kxma运动微分方程运动微分方程0kxma022xmkdtdxmdtxd mkm202 令令（振幅随时间而减小的振动）（振幅随时间而
13、减小的振动）022022xdtdxdtxd251，0（过阻尼）（过阻尼）ttteCeCex20220221 2，=0（临介阻尼）（临介阻尼）tCCext21 3，0（欠阻尼）（欠阻尼）tititeCeCex22022021tCtCet22022201sincos)cos(220tAet)cos()(ttA方程方程 的解为的解为022022xdtdxdtxd26弹性力：弹性力：-kx；阻尼力：阻尼力：tddx 周期性驱动力：周期性驱动力：f=Focos ttFtddxkxtdxdmo cos22 运动微分方程：运动微分方程：tmFxtddxtdxdoocos2222二二.受迫振动受迫振动 mkm
14、202 令令（在策动力作用下的振动）（在策动力作用下的振动）27该微分方程的解为该微分方程的解为)cos()cos(22o tAtAexot 可见可见,稳态振动的频率稳态振动的频率 就是驱动力的频率。就是驱动力的频率。经过一段时间第一项就减弱到可以忽略不计了。经过一段时间第一项就减弱到可以忽略不计了。而第二项是受迫振动的稳态解而第二项是受迫振动的稳态解:x=Acos(t+)tmFxtddxtdxdoocos22222822)(kmFAo km tg稳态时稳态时,速度：速度：)2cos(tdtdxm22)(kmFom x=Acos(t+)稳态振动的振幅和初相为稳态振动的振幅和初相为29三三.共振
15、共振1.速度共振速度共振由求极值可知由求极值可知,m有有最大值最大值的条件是的条件是mko km tg此时此时,2 )2cos(tdtdxm驱动力驱动力 f=Focos ttmcos22)(kmFom 不合理不合理,舍去舍去)2(30通过对通过对A求极值可知求极值可知,A有有最大值的条件是最大值的条件是222 or 由此可见：当驱动力的频率等于振子的固有频率由此可见：当驱动力的频率等于振子的固有频率时，驱动力将与振子速度始终保持同相，振子将获得时，驱动力将与振子速度始终保持同相，振子将获得最大速度最大速度速度共振速度共振。2.位移共振位移共振22)(kmFAo 因此，当驱动力的频率满足上式时因此，当驱动力的频率满足上式时,振子的位移振子的位移振幅振幅具有具有最大最大值值位移共振位移共振。
