1、设设 是数域是数域P上线性空间上线性空间V的线性变换，的线性变换，W是是V的的 的子空间，若的子空间，若 有有,W ()()WWW 即即则称则称W是是的不变子空间的不变子空间，简称为，简称为 子空间子空间.V的平凡子空间（的平凡子空间（V及零子空间）对于及零子空间）对于V的任意一的任意一个变换个变换 来说，都是来说，都是 子空间子空间.1、定义、定义注：注：1）两个子空间的交与和仍是子空间两个子空间的交与和仍是子空间.2）设设 则则W是是 子空间子空间12(,),sWL 12(),(),().sW 证：证：显然成立显然成立.任取任取 设设,W 1122,sskkk则则 1122()()()()
2、.sskkk 故故W为为 的不变子空间的不变子空间.2、不变子空间的简单性质、不变子空间的简单性质由于由于 12(),(),(),sW ().W 1）线性变换线性变换 的值域的值域 与核与核 都是都是 的的()V 10 不变子空间不变子空间.证：证：()(),VVV ,()().VV 有有 故故 为为 的不变子空间的不变子空间.()V 又任取又任取 有有 10,1()0(0).3、一些重要不变子空间、一些重要不变子空间1(0)也为也为 的不变子空间的不变子空间.2）若若 则则 与与 都是都是 子空间子空间.,()V 1(0)证：证：()().VV 对存在对存在 使使(),VV (),于是有，于
3、是有，()()()()()()V ()V 为为 的不变子空间的不变子空间.10,0,V 其次，由其次，由 对对 有有 10,0.于是于是 ()()()()(0)0.1()0.故故 为的不变子空间为的不变子空间.10 的多项式的多项式 的值域与核都是的值域与核都是 的不变子空间的不变子空间.()f 这里为这里为 中任一多项式中任一多项式.()f x P x()()ff 注：注：,WkW 4）线性变换线性变换 的特征子空间的特征子空间 是是 的不变子空间的不变子空间.0V ,.oooVV 有有 5）由由 的特征向量生成的子空间是的特征向量生成的子空间是 的不变子空间的不变子空间.证：设证：设 是的
4、分别属于特征值是的分别属于特征值 12,s 12,s 的特征向量的特征向量.3）任何子空间都是数乘变换的不变子空间任何子空间都是数乘变换的不变子空间.任取任取12(,),sL 设设1122,sskkk则则 11122212()(,)sssskkkL 12(,)sL 为为 的不变子空间的不变子空间.事实上，若事实上，若 ,0.WLkkP则则 为为 的一组基的一组基.L 因为因为W为为 子空间子空间，(),W 即必存在即必存在 使使,P .是是 的特征向量的特征向量.特别地，由的一个特征向量生成的子空间是一特别地，由的一个特征向量生成的子空间是一 个一维个一维 子空间子空间.反过来，一个一维反过来
5、，一个一维 子空间子空间 必可看成是的一个特征向量生成的子空间必可看成是的一个特征向量生成的子空间.定义：定义：不变子空间不变子空间W上的限制上的限制.记作记作.W 在不变子空间在不变子空间W上引起的线性变换上引起的线性变换，或称作在，或称作在 设是线性空间设是线性空间V的线性变换，的线性变换，W是是V的的一个的一个的 不变子空间不变子空间.把把 看作看作W上的一个线性变换，称作上的一个线性变换，称作 当当 时，时，W ()().W 任一线性变换在它核上引起的线性变换是零任一线性变换在它核上引起的线性变换是零 变换，即变换，即 100;即有即有 0.VoE 当当 时，时，无意义无意义.W ()
6、W .WWW 在特征子空间在特征子空间 上引起的线性变换是数乘变换，上引起的线性变换是数乘变换，0V 1、设是维线性空间设是维线性空间V的线性变换，的线性变换，W是是V 的的 n子空间，子空间，为为W的一组基，把它扩允为的一组基，把它扩允为12,k V的一组基：的一组基：121,.kkn 若若 在基在基 下的矩阵为下的矩阵为 ，则，则 W 12,k 1k kAP 在基在基 下的矩阵具有下列形状下的矩阵具有下列形状:12,n 123.0AAA反之，若反之，若 1212123,0nnAAA 1.k kAP 则由则由 生成的子空间必为生成的子空间必为 的的12,k 不变子空间不变子空间.事实上，因为
7、事实上，因为W是是V的不变子空间的不变子空间.12(),(),().kW 即，即，均可被均可被12(),(),()k 12,k 线性表出线性表出.从而，从而，12(,)n 111211,11111122,1212,1121,1,1(,)000000kknkknkkkkk kknnkkknn knnaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 12123(,).0nAAA 111 12121212122221122()()()kkkkkkkkkkaaaaaaaaa 设设在这组基下的矩阵为在这组基下的矩阵为 iW,1,2,.iinniiAAPis 若若 ，则，则 12sVWWW121112121,snn
8、ssn为为V的一组基，且在这组基下的一组基，且在这组基下 的矩阵为准对角阵的矩阵为准对角阵 2、设设 是是 维线性空间维线性空间V的的线性变换，线性变换，都是都是 n iW 的不变子空间，而的不变子空间，而 是是 的一组基，且的一组基，且 iW12,iiiin12.sAAA（1）的子空间的子空间 为为 的不变子空间，且的不变子空间，且V具有直和分解：具有直和分解：iW12.sVWWW由此即得：由此即得：下的矩阵为准对角矩阵下的矩阵为准对角矩阵(1),则由生成则由生成 12,iiiinV的线性变换在某组基下的矩阵为准对角形的线性变换在某组基下的矩阵为准对角形 V可分解为一些的不变子空间的直和可分
9、解为一些的不变子空间的直和.反之，若反之，若 在基在基121112121,snnssn 定理定理12：设：设 为线性空间为线性空间V的线性变换，的线性变换，是是 ()f 1212()()()()srrrsf12.sVVVV是是 的特征多项式的特征多项式.若若 具有分解式：具有分解式：()f 再设再设 ()()0,iriiVEV 则都是的不变则都是的不变 子空间；且子空间；且V具有直和分解具有直和分解：iV证：令证：令()()()iiriff (),iiWfV 则则 是是 的值域，的值域，iW()if 是是 的不变子空间的不变子空间.iW 又又()()()iirriiiiEWEfV ()()ir
10、iiEfVfV()0.iriiEW（2）111111()()()(),iisrrrriis下证分三步：下证分三步：12.sVVVV1.证明证明 12.sVWWW 12(),(),()1sfff 存在多项式存在多项式 使使12(),(),(),suuu 1122()()()()()()1ssufufuf于是于是 1122()()()()()()ssufufufE 对对 有有 ,V 2.证明是直和证明是直和.12sVVV3.证明证明,1,2,.iiVWis 1122()()()()()()()ssufufuf 1122()()()()()()fufu ()()()ssfu 这里这里 ()()()(
11、),1,2,.iiiifufVWis12.sVWWW1122()()()()()()()()()ssufufuf()E 其中其中iiV （也即，），（也即，），()()0iriiE0,1,2,.iis 则则()(),jrjifij 存在存在 使使(),h()()().jrijfh于是于是()()().jrijfhE120s(3)即证，若即证，若2.证明是直和证明是直和.12sVVV用用 作用作用（3）的两端，得的两端，得()if 12()()isf()()()()()jrijjjfhE ()()00,.jrjjhEhji又又 (),()1.iriif12()()()()()()iiisfff(
12、)()0iif()(0)()(0)0,1,2,.uvis ()()()()()()iriiiiufvE ()()()()()()iriiiiiEufvE从而从而()()()()iriiufvEE所以是直和所以是直和.12sVVV()()()()1iriiufv 有多项式有多项式 ，使，使(),()uv3.证明证明:()()0,iriiiWVEV 1()(0)iriiWE 首先由首先由(2)，有有12,.siiW即即 12()0is其次，任取设其次，任取设,iV .iiWV 即即 令令,();.jjiiji()0.iriiEW1212ssVVV0,1,2,.iis 由由（2）,有有 ()()0,
13、1,2,.iriiEis从而有从而有()()0,1,2,.iriiEis()()()()0iirriiiEE()()()()iirriiiiEE又又 又又120,s由由 ，是直和，它的零向量分解式是直和，它的零向量分解式2 12sVVV即即,iiV 唯一唯一.综合综合 ，即有，即有1,2,312.sVVVV于是于是.iiW故故 ()()0,.iriiiWVEV 即有即有.iiVW 是是 的不变子空间，且的不变子空间，且 iV 设设3维线性空间维线性空间V的线性变换在基的线性变换在基 123,下的矩阵为下的矩阵为 1 2 22 1 2.2 2 1A 证明：证明：是的不变子空间是的不变子空间.1213(,)WL 证：令证：令 112213,由由 123123(,)(,)A 1212311(,)(,)10.01 有有 1212311(,)(,)1001 12311(,)1001A 1231 2 211,2 1 2102 2 101 12311,1 0.01 即即 1121()2132()12(),().W 故故W为的不变子空间为的不变子空间.
