1、1.熟练掌握基本不等式并会证明.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.问题导学题型探究归纳总结学习目标第1页/共29页 该图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？问题导学问题导学1：第2页/共29页ab22ba 22ba 1、正方形、正方形ABCD的面积的面积 S=、四个直角三角形的、四个直角三角形的面积和面积和 S=ab2、S与与S有怎样的不有怎样的不等关系？等关系？SS那么它们有相等的情况吗？
2、那么它们有相等的情况吗？22ba ab2(ab)第3页/共29页ADBCEFGHba22ab猜想：猜想：一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a、b，我们有，我们有当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。222ababABCDE(FGH)ab22ba ab222ba ab2(ab)(ab)第4页/共29页思考：思考：你能给出不等式你能给出不等式 的证明吗？的证明吗？abba2220)(2ba0)(2ba2()0ab所以222.abab所以时当ba 时当ba 222abab证明：（作差法）证明：（作差法）2)(ba第5页/共29页一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a、b，总有，
3、总有 当且仅当当且仅当a=b时，等号成立时，等号成立222abab适用范围：适用范围：a,bR第6页/共29页0,0,ababa b如果我们用分别代替可得到什么结论？22()()2abab2abab替换后得到：替换后得到：即：即：)0,0(ba2abab 即：即：问题一问题一第7页/共29页2abab证明：要证证明：要证 只要证只要证_ab 要证，只要证要证，只要证_0ab要证，只要证要证，只要证2(_)0显然显然,是成立的是成立的.当且仅当当且仅当a=b时时,中的等号成立中的等号成立.分析法分析法22(0,0,(),()abaabb2 ab2 abba你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？
4、你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？问题二问题二第8页/共29页若若a0，b0，则，则_2abab通常我们把上式写作：通常我们把上式写作：(0,0)2ababab当且仅当当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.基本不等式基本不等式定义定义适用范围：适用范围：a0,b0第9页/共29页ACDE 观察下图，你能得到不等式观察下图，你能得到不等式的几何解释吗？的几何解释吗？b,BCaAC)0,0(2 babaab问题导学问题导学2：第10页/共29页(0,0)2ababab当且仅当当且仅当a=b时取等号时取等号.基本不等式基本不等式在数学中，我们把
5、在数学中，我们把 叫做正数叫做正数a，b的的算术平均数算术平均数，叫做正数叫做正数a，b的的几何平均数几何平均数；2abab文字叙述为：文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.第11页/共29页适用范围文字叙述“=”成立条件222abab2ababa=ba=b两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两数的平方和不小于它们积的2倍 a,bRa0,b0比较重要不等式和基本不等式：第12页/共29页题型一基本不等式与最值二、题型探究 一正二定三相等第13页/共29页二定凑项：使和成定值一正三相等第14页/共29页解x2，x20，二定凑项：使
6、积成定值一正三相等第15页/共29页即x4，y12时，上式取等号.故当x4，y12时，(xy)min16.“1”的代换第16页/共29页反思与感悟在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正：二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件.口诀：一正、二定、三相等第17页/共29页f(x)的最小值为12.第18页/共29页解x3，x30.f(x)的最大值为1.第19页/共29页题型题型二基本不等式在实际问题中的应用二基本不等式在实际问题中的应用例例2(1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜
7、园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？解设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy100，篱笆的长为2(xy)m.等号当且仅当xy时成立，此时xy10.因此，这个矩形的长、宽都为10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40 m.第20页/共29页(2)一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则2(xy)36，xy18，矩形菜园的面积为xy m2.当且仅当xy，即xy9时，等号成立.因此，这个矩形的长、宽都为9 m时，菜园的面积最大，最大面积为81 m2.第21页/共29页
8、利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用基本不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件.反思与感悟第22页/共29页练习练习2某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4 800 m3，深为3 m，如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m2的造价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多少？解设水池底面一边的长度为x m，又设水池总造价为y元，根据题意，答答水池底面为正方形且边长为40 m时总造价最低，最低总造价为297 600元.第23页/共29页归纳总结归纳总结基本不等式求最值的条件：(1)x，y必须是 ；(2)求积xy的最
9、大值时，应看和xy是否为 ；求和xy的最小值时，应看积xy是否为 ；(3)等号成立的条件是否满足.正数定值定值即：即：已知已知 x,y 都是正数都是正数,P,S 是常数是常数.(1)xy=P x+y2 P(当且仅当当且仅当 x=y 时时,取取“=”号号).(2)x+y=S xy S2(当且仅当当且仅当 x=y 时时,取取“=”号号).14第24页/共29页大家来找茬：大家来找茬：错错在哪里？在哪里？.2原式有最小值12xxx,21:解x;,0)1(的最值求已知 0,0)2abababab，当且仅当时，等号成立。三、归纳总结：三、归纳总结：已知已知 x,y 都是正数都是正数,P,S 是常数是常数.(1)xy=P x+y2 P(当且仅当当且仅当 x=y 时时,取取“=”号号).(2)x+y=S xy S2(当且仅当当且仅当 x=y 时时,取取“=”号号).142.利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值1.两个不等式两个不等式口诀：一正、二定、三相等口诀：一正、二定、三相等第28页/共29页感谢您的欣赏！感谢您的欣赏！第29页/共29页
