1、多自由度体系近似计算方法多自由度体系近似计算方法3-1 邓柯莱邓柯莱(Dunkerly)法法邓柯莱（邓柯莱（Dunkerly法）法）迹法迹法确定系统基频的估算公式确定系统基频的估算公式方法特点：方法特点：简单实用简单实用定义定义系统的动力矩阵为系统的动力矩阵为MKMA1n个自由度系统的特征值问题为个自由度系统的特征值问题为A标准特征值问题标准特征值问题21若将特征值按降序排列若将特征值按降序排列n21系统的基频为系统的基频为2111标准特征值问题的特征行列式为标准特征值问题的特征行列式为0IA0)1()()1(12211Annnnnaaa动力矩阵的对角线元素动力矩阵的对角线元素由代数方程理论，
2、多项式根与系数关系的由代数方程理论，多项式根与系数关系的韦达定理韦达定理nnnnaaa221121nnaaa2211动力矩阵动力矩阵A的迹的迹AtrAtr1nii若质量矩阵若质量矩阵M为对角阵，动力矩阵的迹为为对角阵，动力矩阵的迹为nnnmmm222111trtrMA对角线元素对角线元素M 对角线元素对角线元素1ii 设弹性系统只保留第设弹性系统只保留第 i 个质量个质量 mi 及相应的弹簧及相应的弹簧ii,则系统视为单自由度则系统视为单自由度系统的固有频率为系统的固有频率为nimmkiiiiiii,2,112222121111nnii22221211111tr1nM 邓柯莱法计算系统的基频为
3、邓柯莱法计算系统的基频为精确解的下限精确解的下限 只有当只有当)(2121时，迹法可给出比较准确的基频估算值时，迹法可给出比较准确的基频估算值 算例表明，梁结构通常具有以上的特点算例表明，梁结构通常具有以上的特点举例举例三自由度梁弯曲的固有频率与主振型三自由度梁弯曲的固有频率与主振型m2mm系统的质量矩阵与柔度矩阵系统的质量矩阵与柔度矩阵911167119mmm2MEJl76832322212111111mmm9329EJml768503319192.3lmEJ3*10248.4lmEJ举例举例均质等直梁，试估算梁中央附加集中质量均质等直梁，试估算梁中央附加集中质量M时的基频时的基频MmEJ均
4、质简支梁的基频均质简支梁的基频32mlEJ记简支梁的基频为记简支梁的基频为321mlEJ不计简支梁质量时系统的固有频率为不计简支梁质量时系统的固有频率为3248lMEJmk均质梁中央附加集中质量均质梁中央附加集中质量M时的基频时的基频22212111mMmlEJ4814342221222121M=m31671.5lmEJ131684.5lmEJDunkerly法法Rayleigh法法精确解精确解3-2 矩阵迭代法矩阵迭代法 工程中的振动问题的响应分析中，系统的工程中的振动问题的响应分析中，系统的低阶固有频率及主振型占有低阶固有频率及主振型占有重要地位重要地位矩阵迭代法是求解系统低阶固有频率和主
5、振型的一种简单实用的方法矩阵迭代法是求解系统低阶固有频率和主振型的一种简单实用的方法 第一阶固有频率及主振型第一阶固有频率及主振型AMK2)()(iiiA向量向量向量向量给定一个给定一个初始迭代向量初始迭代向量 x1，由，由展开定理展开定理)()2(2)1(11nncccxx1 与与(1)不正交不正交)()2(22)1(111nnncccxA)(1)2(122)1(111nnncccAx2x11所占比重增加所占比重增加所占比重减少所占比重减少动力矩阵迭代一次后，扩大了第一阶主振型在迭代向量中的优势动力矩阵迭代一次后，扩大了第一阶主振型在迭代向量中的优势)(21)2(2122)1(1212nnn
6、cccAx3x第一阶主振型在迭代向量中的优势继续扩大第一阶主振型在迭代向量中的优势继续扩大)(11)2(1122)1(1111nrnnrrrcccAxrx 随着迭代次数的增加，第一阶主振型的优势越来越大。当迭代次数随着迭代次数的增加，第一阶主振型的优势越来越大。当迭代次数充分大时，可近似地得到充分大时，可近似地得到)1(111xcrr)1(11xAcrr1rxrx1迭代后的新向量与原向量个对应元素间仅相差一常数倍迭代后的新向量与原向量个对应元素间仅相差一常数倍 1lrlrxx,11nl,2,1111rx)1(迭代过程中应对迭代向量作迭代过程中应对迭代向量作归一化处理归一化处理 迭代过程收敛速度
7、取决于比值迭代过程收敛速度取决于比值),3,2(1niri趋于零的速度趋于零的速度 迭代次数取决于迭代次数取决于系统本身的物理参数系统本身的物理参数和和试算向量的选取试算向量的选取举例举例矩阵迭代法计算系统的基频及主振型矩阵迭代法计算系统的基频及主振型mm2mkk2kx1x2x3系统质量矩阵和刚度矩阵系统质量矩阵和刚度矩阵mmm2Mkkkkk22302K5214212111kmMKA系统动力矩阵系统动力矩阵选取初始迭代向量选取初始迭代向量1111xrxr1mk11111.00.8750.5281.00.8620690.46551737.251.00.8609110.46283047.18965
8、51.00.8608140.46261757.1846521.00.8608060.46259867.1842451.00.8608060.46259877.1842101.00.8608060.4625987)1(xmk373087.0111系统的第一阶固有频率和主振型系统的第一阶固有频率和主振型rxr1mk10.80.411.00.8571430.514286271.00.8616600.46640337.2285721.00.8609130.46289247.1897231.00.8608160.46262157.1847181.00.8608070.46260067.1842531.0
9、0.8608060.46259877.1842141.00.8608060.4625987)1(xmk373087.0111系统的第一阶固有频率和主振型系统的第一阶固有频率和主振型试算向量取系统静载作用时的静变形试算向量取系统静载作用时的静变形2.5211x1.00.80.41x 较高阶固有频率及主振型较高阶固有频率及主振型 采用动力矩阵迭代的过程，总是不断采用动力矩阵迭代的过程，总是不断扩大第一阶主振型的比重。扩大第一阶主振型的比重。能否求出第二阶以上的系统固有频率能否求出第二阶以上的系统固有频率和主振型？和主振型？)()2(2)1(11nnaaax)()2(22)1(111nnnaaaxA
10、对于试算初始向量对于试算初始向量MT)1(左乘左乘1)1(111xMTpMa 动力矩阵迭代动力矩阵迭代取取)1(1112xAxa)1(不包含有不包含有的成分的成分1)1()1(112xMAxTpM由于计算过程中的舍入误差，由于计算过程中的舍入误差，x2内仍有可能存在内仍有可能存在 的残余成分的残余成分)1()()2(2)1(12nnbbbx b1尽管很小，但若直接用动力矩阵尽管很小，但若直接用动力矩阵A继续迭代仍然会不断扩大继续迭代仍然会不断扩大 的比重。的比重。必须继续剔出它！必须继续剔出它！)1(2)1()1(112xMAxTpM设设MAATpM)1()1(111于是有于是有112xAx
11、213xAx 只要在迭代计算中用矩阵只要在迭代计算中用矩阵A1取代取代A，迭代的结果会收敛到，迭代的结果会收敛到 和和2)2(且矩阵且矩阵A1的特征值为的特征值为2，特征向量为，特征向量为 而相应于而相应于 的特征值变为零的特征值变为零)1()2(证明证明)1()1()1(11)1()1(1MAATpM)()1()1(11)(1iTpiMMAA当当 i=1 时时)1(1)1(A0即即niiii,3,2)()(10A从以上的分析，若已知系统的特征值从以上的分析，若已知系统的特征值,、21l、相应的特征相应的特征向量向量)()2()1(、l、。欲求出第。欲求出第 l+1 阶特征值阶特征值 和特征向
12、量和特征向量 ，)1(1ll可构造迭代矩阵可构造迭代矩阵liTiipiilM1)()(MAA第第 l+1 阶固有频率阶固有频率 和主振型和主振型)1(1llnlliliiiil,2,1,2,10)()(A 由于迭代过程中的误差，因此，矩阵迭代法由于迭代过程中的误差，因此，矩阵迭代法只适宜求解系统的低阶只适宜求解系统的低阶 固有频率和主振型固有频率和主振型特征值相等的情形特征值相等的情形设设21)()2(2)1(11nnaaax初始试算向量初始试算向量经经 r 次迭代后次迭代后)(11)3(1133)2(2)1(1111nrnnrrrraaaaAxx)2(2)1(111aar取取rx)1(线性组
13、合线性组合选取不同的初始迭代向量选取不同的初始迭代向量)()2(2)1(11nnbbbx)2(2)1(111xbbrr取取rx)2(线性组合线性组合)2()1(、将将进行进行正交化处理，即可正交化处理，即可得到重根的主振型得到重根的主振型半正定系统的情形半正定系统的情形0MK2K-1不存在，动力矩阵不存在，动力矩阵A不存在不存在MMK202取一较小的正数取一较小的正数 MMKA1“动力矩阵动力矩阵”以其为迭代矩阵将得到半正定系统以其为迭代矩阵将得到半正定系统非零特征值所对应的主振型非零特征值所对应的主振型2112以上过程称为以上过程称为带移频的矩阵迭代法带移频的矩阵迭代法举例举例矩阵迭代法计算
14、系统的高阶固有频率及主振型矩阵迭代法计算系统的高阶固有频率及主振型mm2mkk2kx1x2x31.00.8608060.4625987)1(xmk373087.0111求系统第二阶固有频率及主振型求系统第二阶固有频率及主振型MAATpM)1()1(111137569.0092803.0124674.0185614.0198495.0031870.0249355.0031870.0479727.0km设初始迭代向量设初始迭代向量1111xrxr1mk1-1111.01.171620-2.1432492-0.3550461.00.947370-2.56057230.5135061.00.74589
15、3-2.935487150.5727691.00.745892-2.935492160.5727701.00.745891-2.93549117系统的第二阶固有频率及主振型系统的第二阶固有频率及主振型1.00.745891-2.935491-71)2(xmk253213.11223-3 瑞利瑞利(Rayleigh)法法对于运动微分方程对于运动微分方程0 xKxM 系统的主振动系统的主振动)sin(tx由机械能守恒由机械能守恒maxmaxVTxMxTT)(21MTT2max21xKxTV21KTV21maxMKTT2如果如果是系统的第是系统的第 j 阶主振型阶主振型(j)22jTTMK如果假设系
16、统的主振动为如果假设系统的主振动为)(sintXxX 是系统的假设振型是系统的假设振型XMXXKXTT2 XR XR称为称为瑞利商瑞利商瑞利商的性质瑞利商的性质 若若X就是系统的第就是系统的第 j 阶主振型阶主振型2)(jiR 若若X为任意为任意 n 维向量维向量aX)()2(2)1(1nnaaaaMaaKaXTTTTR)(aIaaaTTniiniiiaa12122221)(nRX 瑞利商对振型选择不敏感瑞利商对振型选择不敏感假设振型假设振型 X 比较接近第比较接近第 r 阶主振型，由展开定理阶主振型，由展开定理)()2(2)1(1nnaaaXriniaarii,2,11i niiriniii
17、rirR121222111X niirirR12222X假设振型假设振型 X与第与第 r 阶主振型阶主振型 (r)相差一阶微量相差一阶微量瑞利商瑞利商 R(X)与第与第r阶固有频率的平方阶固有频率的平方 相差二阶微量相差二阶微量2r瑞利商在系统真实振型处取驻值（相应各阶固有频率的平方瑞利商在系统真实振型处取驻值（相应各阶固有频率的平方 ）2i原则上原则上 瑞利商可以计算系统的任意阶固有频率瑞利商可以计算系统的任意阶固有频率实际上实际上 系统的高阶主振型很难做出合理假设系统的高阶主振型很难做出合理假设 工程中，瑞利法用来估算系统的基频，而不宜计算系统工程中，瑞利法用来估算系统的基频，而不宜计算系
18、统的高阶固有频率；所得结果为精确解的上限的高阶固有频率；所得结果为精确解的上限对于运动微分方程对于运动微分方程0 xIxM 系统的主振动系统的主振动)sin(tXx由机械能守恒由机械能守恒maxmaxVT系统的动能系统的动能XMXTT2max21系统的势能可表示为外力系统的势能可表示为外力 f 所作的功所作的功xfTV21系统作自由振动时，作系统作自由振动时，作用于系统的只有惯性力用于系统的只有惯性力xMf 系统位移系统位移xMfx xMMx TV21xMMxTV4max21瑞利商瑞利商 2xMMxxMxXTTR对应于位移方程对应于位移方程2)(rrR)(rX 系统的第系统的第 r 阶固有频率
19、阶固有频率由展开定理，假设振型由展开定理，假设振型niiia1)(aX aMMaaMaxMMxxMxXTTTTTTR1Maaaa1TTniiiniiaa12212可以证明可以证明221)(nRX 2212222irniirirRX XXRR记记MXY MYXYKXXMMXXMKXXTTTTR动力矩阵动力矩阵隐含着一次矩阵迭代隐含着一次矩阵迭代可以推论可以推论 XYRR由柯西由柯西-许瓦兹不等式可以证明许瓦兹不等式可以证明 XXYRRR cbccbbTTT YMYYKYYTTR举例举例采用瑞利法计算系统的基频采用瑞利法计算系统的基频mm2mkk2kx1x2x3mmm2Mkkkkk22302K5.
20、2221111k设设T2.5111x mkRTT142857.0XMXXKXX mkRTTTT139442.0YMXYKXxMMxxMxX mkRTT139212.0YMYYKYY误差误差7%00.00.09%3.1mkmkmk373112.00.3734200.3779651 YXXRRR瑞利商瑞利商设设T3211x误差误差4%0.00.7%8.11mkmkmk373251.00.3756390.4170291 YXXRRR瑞利商瑞利商3-4 里兹里兹(Ritz)法法 对于复杂工程问题，动力分析需要计算系统的对于复杂工程问题，动力分析需要计算系统的前几阶固有频率及前几阶固有频率及相应的主振型
21、相应的主振型 Ritz 法对法对 Rayleigh 法进行了修正，以实现计算低阶固有频率与振法进行了修正，以实现计算低阶固有频率与振型的目的型的目的Ritz 法是一种法是一种减缩系统减缩系统自由度的近似计算方法自由度的近似计算方法Ritz 法对系统的近似振型法对系统的近似振型 X 给出更合理的假设给出更合理的假设)()2(2)1(1kkaaaX)()2()1(、k为选取的为选取的 k 个线性无关的假设振型个线性无关的假设振型kkaaa21)()2()1(Xa待定常数向量待定常数向量代入瑞利商代入瑞利商 2aMaaKaaMaaKaXMXXKXXTTTTTTTTR瑞利商成为瑞利商成为a的函数的函数
22、KKTMMT利用利用瑞利商在真实主振型处取驻值瑞利商在真实主振型处取驻值的性质，由极值条件的性质，由极值条件 0XaR kiRai,2,10X kiaaTiTTiTT,2,1012aMaaKaaKaaMaaMakiaaTiTi,2,102aMaaKaaKaaKaaKaiTTiTiaaakiaTi,2,12aKakkiiiakakak22112aKaKaa2TaMaMaa2T0aMaaaKaaTT20aMK2特征值问题的阶数特征值问题的阶数 k n Ritz 法实际是一种法实际是一种减缩系统减缩系统自由度数求解固有振动的自由度数求解固有振动的近似计算方法近似计算方法Ritz 法的基本思想法的基本
23、思想利用利用 k 个线性无关的假设振型个线性无关的假设振型）kii,2,1()(为为基底基底在在 n 维振型空间维振型空间中构成一个中构成一个 k 维子空间维子空间确定瑞利商在该确定瑞利商在该子空间的子空间的 k 个极值个极值 将所得将所得 k 个极值作为原系统个极值作为原系统前前 k 阶固有频率平方的近似值阶固有频率平方的近似值22221k、)()2()1(、kn自由度系统的固有频率自由度系统的固有频率kii,2,1212系统的前系统的前 k 阶主振型阶主振型kiiii,2,1)()()(aX证明证明所得近似主振型关于所得近似主振型关于 M 和和 K 具有正交性具有正交性jijTijTi00
24、)()()()(XKXXMXjijTijTi00)()()()(aKaaMajijTijTTijTi0)()()()()()(aMaaMaXMXjijTijTTijTi0)()()()()()(aKaaKaXKXRitz 法的一些性质法的一些性质 若假设振型恰好是主振型若假设振型恰好是主振型)()2()1()()2()1(kkLLTLMM LpMLTLKK LpKLLLMKTLTLLLpLLpMKMK2pLLpMK2kiipipMK120 Ritz 法求出的法求出的 就是系统的前就是系统的前 k 阶固有阶固有频率的精确值频率的精确值22221、k、若假设振型线性无关，且均可表示为系统前若假设振
25、型线性无关，且均可表示为系统前 k 阶主振型的线性组合阶主振型的线性组合kiaaakkiiii,2,1)()2(2)1(1)(kkkkkkkkaaaaaaaaa212222112211)()2()1()()2()1()()2()1(k)()2()1(k构成构成 k 维子空间维子空间 Rk 的基底的基底构成构成 k 维子空间维子空间 Tk 的基底的基底子空间子空间Tk与与Rk等同等同 Ritz 法仍可求出系统的前法仍可求出系统的前 k 阶固有频率阶固有频率和主振型和主振型 的精确解的精确解22221、k、)()2()1(k Ritz 法只要选取的假设振型法只要选取的假设振型 能够使子空能够使子空
26、间间 Tk 接近于子空间接近于子空间 Rk，就能求得系统前，就能求得系统前 k 阶固有频率和主阶固有频率和主振型较好的近似解振型较好的近似解)()2()1(k Ritz 法计算的固有频率与精确解有如下关系法计算的固有频率与精确解有如下关系kikniii,2,1)(Ritz 法一般只能用来估算系统的前几阶固有频率及主振型法一般只能用来估算系统的前几阶固有频率及主振型难点难点是是 k 维子空间的任一组基不知道维子空间的任一组基不知道 Ritz 法计算的固有频率中只有前一半的精度较高。实际法计算的固有频率中只有前一半的精度较高。实际计算中若要求系统的前计算中若要求系统的前 k 阶固有频率，假设的振型
27、数目应取阶固有频率，假设的振型数目应取为为2k计算精度计算精度取决于假设的近似振型对真实振型的逼近程度取决于假设的近似振型对真实振型的逼近程度举例举例采用采用 Ritz 法计算系统的钱而阶固有频率和主振型法计算系统的钱而阶固有频率和主振型mm2mkk2kx1x2x3假设振型假设振型132211)2()1(kkkkT20444KKmmmmT723MM0aMK20720442342MK139853.01860147.220.1927547.41a0.1018449.02amkmk373969.0111mkmk2119769.12220.1860147.0430073.0782641.13)1(1)a0.1886014.1430079.01.055347)2(2)a 21XRmk417029.013-2 矩阵迭代法矩阵迭代法3-3 瑞利瑞利(Rayleigh)法法3-4 里兹里兹(Ritz)法法3-5 子空间迭代法子空间迭代法3-6传递矩阵法传递矩阵法
