1、1第第14章章 稳恒电流的磁场稳恒电流的磁场基本要求基本要求教学基本内容、基本公式教学基本内容、基本公式理解电流形成的条件，电流密度矢量。掌握磁感应强度，磁通量、磁场中的理解电流形成的条件，电流密度矢量。掌握磁感应强度，磁通量、磁场中的高斯定理。掌握毕奥高斯定理。掌握毕奥沙伐尔定律。安培环路定律。能利用其计算磁感应强沙伐尔定律。安培环路定律。能利用其计算磁感应强度。度。掌握掌握安培力和洛仑兹力，载流线圈的磁矩，磁场对载流线圈的作用力矩。安培力和洛仑兹力，载流线圈的磁矩，磁场对载流线圈的作用力矩。磁力功。磁力功。掌握掌握带电粒子在电磁场中的运动带电粒子在电磁场中的运动,霍尔效应。霍尔效应。1.电
2、流密度电流密度某点的某点的电流密度电流密度方向：该点正电荷定向运动的方向。方向：该点正电荷定向运动的方向。大小：通过垂直于该点正电荷运动方向的单位面积上的电流强度。大小：通过垂直于该点正电荷运动方向的单位面积上的电流强度。SIddSSSIdcosdddSSSIIdd2.欧姆定律的微分形式欧姆定律的微分形式 dIdSdldU电导率：电导率：=1/E第1页/共21页2用磁场对载流线圈（或导体）或运动电荷的作用来描述磁场。用磁场对载流线圈（或导体）或运动电荷的作用来描述磁场。运动的正点电荷在磁场中所受的磁力来定义。运动的正点电荷在磁场中所受的磁力来定义。3.磁感应强度磁感应强度qxyzvmFB大小：
3、大小：方向方向:磁力为零的方向磁力为零的方向vqFBm4.磁场的高斯定理磁场的高斯定理 （磁通连续原理）（磁通连续原理）0dSBS 穿过任意闭合曲面穿过任意闭合曲面S的总磁通必然为零，这就是磁场的的总磁通必然为零，这就是磁场的高斯定理高斯定理。说明磁场是说明磁场是无源场无源场。5.毕奥毕奥萨伐尔（萨伐尔（Biot-Savart）定律）定律BdrPldI03dd4Ilrr第2页/共21页3毕奥毕奥萨伐尔定律的应用萨伐尔定律的应用解题步骤：解题步骤：1.1.将电流分成电流元将电流分成电流元lId然后，从毕奥萨伐尔定律解出然后，从毕奥萨伐尔定律解出dB的大小与方向的大小与方向;2.2.按坐标轴方向分
4、解，求得按坐标轴方向分解，求得 dBx,dBy,dBz222zyxBBBB指明指明 的方向的方向。BkBjBiBBzyx或者用矢量式表示或者用矢量式表示;d,d,dzzyyxxBBBBBB3.3.注意：直接对注意：直接对dB 积分是常见的错误积分是常见的错误，一般一般 B dBIrPlId)16.14(30d4LrrlIB第3页/共21页46.安培环路定理安培环路定理iiLIlB0d(1)(1)分析磁场的对称性；分析磁场的对称性；(3)(3)求出环路积分；求出环路积分；(4)(4)用右手螺旋定则确定所选定的回路包围电流的正负，最后由用右手螺旋定则确定所选定的回路包围电流的正负，最后由磁场的安培
5、环路定理求出磁感应强度磁场的安培环路定理求出磁感应强度B的大小。的大小。应用安培环路定理的解题步骤：应用安培环路定理的解题步骤：(2)(2)过场点选择适当的路径，使得过场点选择适当的路径，使得B沿此环路的积分易于计算：沿此环路的积分易于计算：B的量值恒定，的量值恒定，B与与dl的夹角处处相等；的夹角处处相等；在稳恒电流的磁场中，磁感应强度在稳恒电流的磁场中，磁感应强度B B 沿任何闭合回路沿任何闭合回路L L的线的线积分，等于穿过这回路的所有电流强度积分，等于穿过这回路的所有电流强度代数和代数和的的 0 0倍。倍。LI第4页/共21页57.磁场对载流导线的作用力磁场对载流导线的作用力BlIF
6、dd(1)安培定律：安培定律：在磁场中磁感应强度为在磁场中磁感应强度为B处的电流元处的电流元Idl所受的所受的磁磁力为：力为：LBlIFFdd一段载流导线在磁场中受力为：一段载流导线在磁场中受力为：注意这是一个矢量积分，注意这是一个矢量积分，lIdBLI,(2)磁场对载流线圈的作用磁场对载流线圈的作用BPMm上式对于均匀磁场中的任意形上式对于均匀磁场中的任意形状的平面线圈均成立。状的平面线圈均成立。设任意形状的平面载流线圈的设任意形状的平面载流线圈的面积面积S，电流强度，电流强度I，定义：，定义：nISPmmPIn 磁矩的方向与电流的方向磁矩的方向与电流的方向成右手螺旋关系成右手螺旋关系当外磁
7、场存在时，载流线圈受磁场当外磁场存在时，载流线圈受磁场力矩的作用，线圈平面法线（即力矩的作用，线圈平面法线（即n 的方向）会转向磁场方向。的方向）会转向磁场方向。第5页/共21页68.磁力所作的功磁力所作的功 IA当载流导线在磁场中运动时（或者载流线圈在磁场内转动时），如当载流导线在磁场中运动时（或者载流线圈在磁场内转动时），如果电流保持不变，磁力所作的功等于电流乘以通过回路所环绕的面果电流保持不变，磁力所作的功等于电流乘以通过回路所环绕的面积内积内磁通量的增量磁通量的增量。9.洛伦兹力洛伦兹力BqF v10.霍耳霍耳（E.C.Hall)效应效应 Udb1U2UBIdIBRUH 12)0(,0
8、 12qU)0(,012qUsinBqFv方向：方向：的方向的方向 Bv大小：大小：B+qFv第6页/共21页71.一个电流元一个电流元Idl位于直角坐标系原点，电流沿位于直角坐标系原点，电流沿z轴方向，点轴方向，点P(x，y，z)的磁感强度沿的磁感强度沿x轴的分量是：轴的分量是：(A)0 (B)(C)(D)2/32220)/(d)4/(zyxlIy2/32220)/(d)4/(zyxlIx)/(d)4/(2220zyxlIy答案：答案：(B)参考解答：参考解答：毕奥毕奥-萨伐尔定律：萨伐尔定律：304ddrrlIBBdrPldI电流沿电流沿z轴方向，轴方向，,ddk lIlI0033ddd4
9、4IlrBIlkrrr0033d()d(),44IlkxiyjzkIl xjyirr03032222dd4d.4()xBIlyrIlyxyz 第7页/共21页82.如图所示，载流导线在平面内分布，电流为如图所示，载流导线在平面内分布，电流为I，它在，它在点点0的磁感强度为多少？的磁感强度为多少？解：解：长直电流对点长直电流对点0 0而言，而言，有有0drlIRIRIB8241000因此它在点因此它在点0 0产生的磁场为零，产生的磁场为零，则点则点0 0处总的磁感强度为处总的磁感强度为1/41/4圆圆弧弧电流所激发，故有电流所激发，故有方向垂纸面向外。方向垂纸面向外。20od4drlIrB0第8
10、页/共21页93.如图，匀强磁场中有一矩形通电线圈，它的平面与磁场平行，在磁场作如图，匀强磁场中有一矩形通电线圈，它的平面与磁场平行，在磁场作用下，线圈发生转动，其方向是用下，线圈发生转动，其方向是 (A)ab边转入纸内，边转入纸内，cd边转出纸外边转出纸外 (B)ab边转出纸外，边转出纸外，cd边转入纸内边转入纸内 (C)ad边转入纸内，边转入纸内，bc边转出纸外边转出纸外 (D)ad边转出纸外，边转出纸外，bc边转入纸内边转入纸内abcd答案：答案：(A)参考解答：参考解答：平面通电线圈在匀强磁场中所受合力为零，无平动。平面通电线圈在匀强磁场中所受合力为零，无平动。定义通电线圈磁矩定义通电
11、线圈磁矩,SIPm受到的力矩为受到的力矩为.BPMm其方向如图所示。其方向如图所示。平面通电线圈在匀强磁场中所受磁力矩不为零，有转动。平面通电线圈在匀强磁场中所受磁力矩不为零，有转动。定轴转动的方向与磁力矩服从右手螺旋关系，定轴转动的方向与磁力矩服从右手螺旋关系，所以所以ab边转入纸内，边转入纸内，cd边转出纸外边转出纸外第9页/共21页104.如图所示，半径为如图所示，半径为R的木球上绕有密集的细导线，线圈平面彼此的木球上绕有密集的细导线，线圈平面彼此平行，且以单层线圈覆盖住半个球面，设线圈的总匝数为平行，且以单层线圈覆盖住半个球面，设线圈的总匝数为N，通过，通过线圈的电流为线圈的电流为I，
12、求球心，求球心O处的磁感应强度。处的磁感应强度。解：设单位弧长上电流线圈匝数为解：设单位弧长上电流线圈匝数为n，则，则RNRNn24/2沿弧长取沿弧长取dl，lInIddddRl IRRNId2d该圆电流在球心该圆电流在球心O处激发的磁场为处激发的磁场为 IyxyBd)(2d2/32220P90 公式公式14.19ldxy作业作业:14.8第10页/共21页11球心球心O处总的磁感强度处总的磁感强度B为为 d2)(22/32222/00RRNyxIyB由图可知：由图可知：sin;cosRyRx得：得：RNIRNIB4dsin022/00磁感强度磁感强度B的方向由电流的流向根据右手定则确定。的方
13、向由电流的流向根据右手定则确定。IyxyBd)(2d2/32220 xy第11页/共21页125.（实验中常用所谓的亥姆霍兹线圈在局部区域内获得一近似均匀实验中常用所谓的亥姆霍兹线圈在局部区域内获得一近似均匀的磁场，其装置简图如图所示，一对完全相同、彼此平行的线圈，的磁场，其装置简图如图所示，一对完全相同、彼此平行的线圈，它们的半径均为它们的半径均为R，通过的电流均为，通过的电流均为I，且两线圈中电流的流向相，且两线圈中电流的流向相同。同。）两个共轴圆线圈，每个线圈中的电流强度都是）两个共轴圆线圈，每个线圈中的电流强度都是I，半径为，半径为R，两个圆心间距离两个圆心间距离O1O2=R，试证：，
14、试证：O1、O2中点中点O处附近为均匀磁处附近为均匀磁场场。xxO2IORO12aIR证明证明 一个半径为一个半径为R的环电流在离圆的环电流在离圆心为心为x的轴线上产生的磁感应强度大的轴线上产生的磁感应强度大小为：小为：2022 3/22()IRBRx0dd;0dd22xBxB作业作业:14.4P90 公式公式14.19提示：如以两线圈中心提示：如以两线圈中心 连成的中心为坐标原点连成的中心为坐标原点O O，两线圈中心连线为，两线圈中心连线为x轴，则轴，则中点附近的磁场可看成是均匀磁场的条件为中点附近的磁场可看成是均匀磁场的条件为 :第12页/共21页13设两线圈相距为设两线圈相距为2a，以，
15、以O点为原点点为原点建立坐标，两线圈在建立坐标，两线圈在x点产生的场点产生的场强分别为强分别为 xxO2IORO12aIR201223/22()IRBRax20222 3/22()IRBRax方向相同方向相同，总场强为，总场强为B=B1+B2 设设k=0IR2/2，则，则 22 3/222 3/211()()BkRaxRax第13页/共21页14一个线圈产生的磁场的曲线是一个线圈产生的磁场的曲线是凸状凸状，两边各有一个拐点两边各有一个拐点两个线圈的磁场叠加之后，如果两个线圈的磁场叠加之后，如果它们相距它们相距太近太近，其曲线就是更高，其曲线就是更高的的凸状凸状；如果它们相距如果它们相距太远太远
16、，其曲线的中，其曲线的中间部分就会间部分就会下凹下凹，与两边的峰之，与两边的峰之间各有一个拐点间各有一个拐点当它们由远而近到最适当的位置当它们由远而近到最适当的位置时，时，两个拐点就会在中间重合，两个拐点就会在中间重合，这时的磁场最均匀，而拐点处的这时的磁场最均匀，而拐点处的二阶导数为零二阶导数为零第14页/共21页15B对对x求一阶导数得求一阶导数得 225/2d3 d()BaxkxRax 22 5/2()axRax求二阶导数得求二阶导数得 2222227/2d4()3 d()BRaxkxRax 22227/24()()RaxRax在在x=0处处d2B/dx2=0，得，得R2=4a2，所以，
17、所以2 2a=R x=0处的场强为处的场强为22 3/22(/2)BkRR038165 55 5IkRR第15页/共21页166.一磁场的磁感强度为一磁场的磁感强度为 (SI)，则通过一半径为，则通过一半径为R，开口，开口向向z轴正方向的半球壳表面的磁通量的大小为轴正方向的半球壳表面的磁通量的大小为_Wb kcj bi aB解：由磁场的高斯定理解：由磁场的高斯定理 SSB0d22222d()SSBSB SBaibjckR kR c 12ddd0SSSBSBSBSz2S1S12ddSSBSBS112dSSBSR c 第16页/共21页17下下上上BI 下下上上BI 7.在霍耳效应的实验中，通过导
18、电体的电流和在霍耳效应的实验中，通过导电体的电流和B的方向垂直的方向垂直(如图如图)如果如果上表面的电势较高，则导体中的载流子带上表面的电势较高，则导体中的载流子带_电荷，如果下表面电荷，如果下表面的电势较高，则导体中的载流子带的电势较高，则导体中的载流子带_电荷电荷 IBvLFvLFUU上上下下导体中的载流子带正电荷。导体中的载流子带正电荷。R，通过小线圈的电流为，通过小线圈的电流为I2，若开始，若开始时线圈是静止的，它的正法线矢量的方向与纸面法线的方向成时线圈是静止的，它的正法线矢量的方向与纸面法线的方向成 0 0角。问角。问线圈平面转至与线圈平面转至与 纸面重叠时，其角速度的值为多大？纸
19、面重叠时，其角速度的值为多大？解解:小线圈在任意位置受到的磁力矩小线圈在任意位置受到的磁力矩BPMm则则 sin21022dIRIM 考虑（刚体定轴转动）考虑（刚体定轴转动）动能定理动能定理021d200IMI 转动惯量转动惯量1I2IRdOO求小线圈绕求小线圈绕OO轴转动的转动惯量轴转动的转动惯量 mrId2OORmdr)sin(Rr m为圆环的质量，为圆环的质量，lRmmd2dd2m)d(dRl 2220221d2sinmRmRI第18页/共21页19sin21022dIRIM 212ImR1I2IRdOO由动能定理有由动能定理有 021d200IM220102241dsin20mRdIR
20、I负号负号“”表示磁力矩作正功时将使表示磁力矩作正功时将使 减小减小。积分后即可解得积分后即可解得2/10210)cos1(2mdII第19页/共21页209.如图所示线框，铜线横截面积如图所示线框，铜线横截面积S=2.0 mm2，其中，其中OA和和DO两段保持水平两段保持水平不动，不动，ABCD段是边长为段是边长为a的正方形的三边，它可绕的正方形的三边，它可绕OO轴无摩擦转动整轴无摩擦转动整个导线放在匀强磁场个导线放在匀强磁场B中，中，B的方向竖直向上已知铜的密度的方向竖直向上已知铜的密度 =8.9103 kg/m3，当铜线中的电流，当铜线中的电流I=10 A时，导线处于平衡状态，时，导线处
21、于平衡状态，AB段和段和CD段与竖段与竖直方向的夹角直方向的夹角 =15求磁感强度求磁感强度B的大小的大小 O B A D C O B解：在平衡的情况下，必须满足线框的重力矩与解：在平衡的情况下，必须满足线框的重力矩与线框所受的磁力矩平衡线框所受的磁力矩平衡(对对OO轴而言轴而言)重力矩重力矩 sinsin2121gSaaagSaMsin22gSa磁力矩磁力矩 22coscosBCMF aIa BABBCCDmmmaSOBADCOBIABFCDF磁力磁力,ABCDFFBCFIBa对OO轴磁力矩为零；轴磁力矩为零；BCF()o oacosa也可以将也可以将ABCD当平面线圈，当平面线圈，nB()
22、2磁力矩磁力矩 222sincos2mMPBIa BIa B平衡时平衡时 21MM 222sincosSagIa B32tg/9.35 10TBS gI第20页/共21页2110.空气中有一半径为空气中有一半径为r的的“无限长无限长”直圆柱金属导体，竖直线直圆柱金属导体，竖直线OO为其中心轴为其中心轴线在圆柱体内挖一个直径为线在圆柱体内挖一个直径为(1/2)r的圆柱空洞，空洞侧面与的圆柱空洞，空洞侧面与OO相切，在未挖相切，在未挖洞部分通以均匀分布的电流洞部分通以均匀分布的电流I，方向沿，方向沿OO向下，如图所示在距轴线向下，如图所示在距轴线3r处有一处有一电子电子(电荷为电荷为-e)沿平行于
23、沿平行于OO轴方向，在中心轴线轴方向，在中心轴线OO和空洞轴线所决定的平面和空洞轴线所决定的平面内，向下以速度内，向下以速度v 飞经飞经P点求电子经点求电子经P时，所受的磁场力时，所受的磁场力 P-e v r r21 O O 3r J 解解 导体柱中电流密度导体柱中电流密度 2221516)4/(rIrrIJ用用补偿法补偿法来求来求P处的磁感强度用同样的电流密度处的磁感强度用同样的电流密度把空洞补上，由安培环路定律，这时圆柱电流在把空洞补上，由安培环路定律，这时圆柱电流在P处产生的磁感强度为处产生的磁感强度为 601JrB 方向为方向为.再考虑空洞区流过同样电流密度的反向再考虑空洞区流过同样电流密度的反向电流，它在电流，它在P处产生的磁感强度为处产生的磁感强度为 8802JrB方向为方向为 P处磁感强度处磁感强度 264/41021JrBBB方向为方向为.电子受到的洛伦兹力为电子受到的洛伦兹力为 BeBqfmvvrIeJreBefmvvv004958226441 方向向左方向向左.第21页/共21页
