1、安徽建筑工业学院省级精品课程安徽建筑工业学院省级精品课程线性代数网络课件线性代数网络课件Department of mathematics and physics 第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算第一节第一节 矩阵矩阵 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa221122222121112121111.线性方程组线性方程组的解取决于的解取决于 ,2,1,njiaij 系数系数 n,ibi21 常数项常数项一、矩阵概念的引入 nnnnnnnbaaabaaabaaa21222221111211因为计算线性方因为计算线性方程组时未知量并程组时未知量并未参与运算，因未参与运
2、算，因此对它的研究可此对它的研究可转化为对这张表转化为对这张表的研究的研究.线性方程组的系数与常数项按原位置可排为线性方程组的系数与常数项按原位置可排为2.某航空公司在某航空公司在A,B,C,D四四城市之间开辟了若干航线城市之间开辟了若干航线,如图所示表示了四城市间的如图所示表示了四城市间的航班图航班图,如果从如果从A到到B有航班有航班,则用带箭头的线连接则用带箭头的线连接 A 与与B.ABCD四城市间的航班图情况常用表格来表示四城市间的航班图情况常用表格来表示:发站发站到站到站ABCDABCD其中其中 表示有航班表示有航班.为了便于计算为了便于计算,把表中的把表中的 改成改成1,空白地方填上
3、空白地方填上0,就得到一个数表就得到一个数表:1111111000000000这个数表反映了四城市间交通联接情况这个数表反映了四城市间交通联接情况.ABCDABCD二、矩阵的定义 由由 个数个数排成的排成的 行行 列的数表列的数表nm mn njmiaij,2,1;,2,1 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211称为称为 矩阵矩阵.简称简称 矩阵矩阵.nm nm 记作记作 mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211简记为简记为 .ijnmijnmaaAA 元元的的矩阵矩阵nmA,.,简简称称为为元元的的元元素素个个数数称称为为这这Anm 元素是实数的矩阵称为元素是
4、实数的矩阵称为实矩阵实矩阵,元素是复数的矩阵称为元素是复数的矩阵称为复矩阵复矩阵.主对角线主对角线副对角线副对角线例如例如 34695301是一个是一个 实矩阵实矩阵,42 2222222613i是一个是一个 复矩阵复矩阵,33 421是一个是一个 矩阵矩阵,13 9532是一个是一个 矩阵矩阵,41 4是一个是一个 矩阵矩阵.11 例如例如 2222222613i是一个是一个3 阶方阵阶方阵.几种特殊矩阵几种特殊矩阵(2)(2)只有一行的矩阵只有一行的矩阵 ,21naaaA 称为称为行矩阵行矩阵(或或行向量行向量).(1)(1)行数与列数都等于行数与列数都等于 的矩阵的矩阵 ，称为，称为 阶
5、阶nnA.nA方阵方阵.也可记作也可记作,21 naaaB只有一列的矩阵只有一列的矩阵称为称为列矩阵列矩阵(或或列向量列向量).).称为称为(或或）.n 00000021（3）形如形如 的方阵的方阵,OO不全为不全为0 （4）元素全为零的矩阵称为元素全为零的矩阵称为零矩阵零矩阵，零零矩阵记作矩阵记作 或或 .nm nmo o注意注意 .00000000000000000000 不同阶数的零矩阵是不相等的不同阶数的零矩阵是不相等的.例如例如记作记作 .,21ndiagA (5)方阵方阵 100010001nEE称为称为单位矩阵单位矩阵（或（或单位阵单位阵）.同型矩阵与矩阵相等的概念同型矩阵与矩阵
6、相等的概念OO 1.1.两个矩阵的行数相等两个矩阵的行数相等,列数相等时列数相等时,称为称为同同型矩阵型矩阵.全为全为1 2.2.两个矩阵两个矩阵 为为同型矩阵同型矩阵,并且并且对应元素相等对应元素相等,即即 ijijbBaA与与 ,2,1;,2,1njmibaijij 则称则称矩阵矩阵 相等相等,记作记作BA与与.BA 例如例如 9348314736521与与为为同型矩阵同型矩阵.例例1之之个变量个变量与与个变量个变量mnyyymxxxn,2121间的关系式间的关系式 .,22112222121212121111nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay的的到变量到变量表
7、示一个从变量表示一个从变量mnyyyxxx,2121线性变换线性变换.为常数为常数其中其中ija .,22112222121212121111nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211系数矩阵系数矩阵线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.若线性变换为若线性变换为 nnxyxyxy,2211称之为称之为恒等变换恒等变换.nnxyxyxy,2211对应对应 100010001 单位阵单位阵.线性变换线性变换 .cossin,sincos11yxyyxx 对应对应 cossinsinco
8、sXYO yxP,111,yxP这是一个以原点为中心这是一个以原点为中心旋转旋转 角的角的旋转变换旋转变换.例例2 设设,131,213321 zyxBA.,zyxBA求求已知已知 解解,BA .2,3,2 zyx三、小结(1)(1)矩阵的概念矩阵的概念 mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211列的一个数表列的一个数表行行nm(2)特殊矩阵特殊矩阵 方阵方阵 ;nm 行矩阵与列矩阵行矩阵与列矩阵;单位矩阵单位矩阵;零矩阵零矩阵.100010001 ,21 naaaB ,21naaaA n 00000021思考题矩阵与行列式的有何区别矩阵与行列式的有何区别?思考题解答 矩阵与行列
9、式有本质的区别，行列式是一个矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式算式，行数和列数必须相同，一个数字行列式经过，行数和列数必须相同，一个数字行列式经过计算可求得其值；而矩阵仅仅是一个计算可求得其值；而矩阵仅仅是一个数表数表，它的行，它的行数和列数可以不同数和列数可以不同.第二节第二节 矩阵的运算矩阵的运算 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa221122222121112121111.线性方程组线性方程组的解取决于的解取决于 ,2,1,njiaij 系数系数 n,ibi21 常数项常数项一、矩阵概念的引入 nnnnnnnbaaabaaabaaa2122222111
10、1211因为计算线性方因为计算线性方程组时未知量并程组时未知量并未参与运算，因未参与运算，因此对它的研究可此对它的研究可转化为对这张表转化为对这张表的研究的研究.线性方程组的系数与常数项按原位置可排为线性方程组的系数与常数项按原位置可排为2.某航空公司在某航空公司在A,B,C,D四四城市之间开辟了若干航线城市之间开辟了若干航线,如图所示表示了四城市间的如图所示表示了四城市间的航班图航班图,如果从如果从A到到B有航班有航班,则用带箭头的线连接则用带箭头的线连接 A 与与B.ABCD四城市间的航班图情况常用表格来表示四城市间的航班图情况常用表格来表示:发站发站到站到站ABCDABCD其中其中 表示
11、有航班表示有航班.为了便于计算为了便于计算,把表中的把表中的 改成改成1,空白地方填上空白地方填上0,就得到一个数表就得到一个数表:1111111000000000这个数表反映了四城市间交通联接情况这个数表反映了四城市间交通联接情况.ABCDABCD二、矩阵的定义 由由 个数个数排成的排成的 行行 列的数表列的数表nm mn njmiaij,2,1;,2,1 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211称为称为 矩阵矩阵.简称简称 矩阵矩阵.nm nm 记作记作 mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211简记为简记为 .ijnmijnmaaAA 元元的的矩阵矩阵nmA,
12、.,简简称称为为元元的的元元素素个个数数称称为为这这Anm 元素是实数的矩阵称为元素是实数的矩阵称为实矩阵实矩阵,元素是复数的矩阵称为元素是复数的矩阵称为复矩阵复矩阵.主对角线主对角线副对角线副对角线例如例如 34695301是一个是一个 实矩阵实矩阵,42 2222222613i是一个是一个 复矩阵复矩阵,33 421是一个是一个 矩阵矩阵,13 9532是一个是一个 矩阵矩阵,41 4是一个是一个 矩阵矩阵.11 例如例如 2222222613i是一个是一个3 阶方阵阶方阵.几种特殊矩阵几种特殊矩阵(2)(2)只有一行的矩阵只有一行的矩阵 ,21naaaA 称为称为行矩阵行矩阵(或或行向量
13、行向量).(1)(1)行数与列数都等于行数与列数都等于 的矩阵的矩阵 ，称为，称为 阶阶nnA.nA方阵方阵.也可记作也可记作,21 naaaB只有一列的矩阵只有一列的矩阵称为称为列矩阵列矩阵(或或列向量列向量).).称为称为(或或）.n 00000021（3）形如形如 的方阵的方阵,OO不全为不全为0 （4）元素全为零的矩阵称为元素全为零的矩阵称为零矩阵零矩阵，零零矩阵记作矩阵记作 或或 .nm nmo o注意注意 .00000000000000000000 不同阶数的零矩阵是不相等的不同阶数的零矩阵是不相等的.例如例如记作记作 .,21ndiagA (5)方阵方阵 100010001nEE
14、称为称为单位矩阵单位矩阵（或（或单位阵单位阵）.同型矩阵与矩阵相等的概念同型矩阵与矩阵相等的概念OO 1.1.两个矩阵的行数相等两个矩阵的行数相等,列数相等时列数相等时,称为称为同同型矩阵型矩阵.全为全为1 2.2.两个矩阵两个矩阵 为为同型矩阵同型矩阵,并且并且对应元素相等对应元素相等,即即 ijijbBaA与与 ,2,1;,2,1njmibaijij 则称则称矩阵矩阵 相等相等,记作记作BA与与.BA 例如例如 9348314736521与与为为同型矩阵同型矩阵.例例1之之个变量个变量与与个变量个变量mnyyymxxxn,2121间的关系式间的关系式 .,22112222121212121
15、111nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay的的到变量到变量表示一个从变量表示一个从变量mnyyyxxx,2121线性变换线性变换.为常数为常数其中其中ija .,22112222121212121111nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211系数矩阵系数矩阵线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.若线性变换为若线性变换为 nnxyxyxy,2211称之为称之为恒等变换恒等变换.nnxyxyxy,2211对应对应 100010001 单位阵单位阵.线性变换线
16、性变换 .cossin,sincos11yxyyxx 对应对应 cossinsincosXYO yxP,111,yxP这是一个以原点为中心这是一个以原点为中心旋转旋转 角的角的旋转变换旋转变换.例例2 设设,131,213321 zyxBA.,zyxBA求求已知已知 解解,BA .2,3,2 zyx三、小结(1)(1)矩阵的概念矩阵的概念 mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211列的一个数表列的一个数表行行nm(2)特殊矩阵特殊矩阵 方阵方阵 ;nm 行矩阵与列矩阵行矩阵与列矩阵;单位矩阵单位矩阵;零矩阵零矩阵.100010001 ,21 naaaB ,21naaaA n 00
17、000021思考题矩阵与行列式的有何区别矩阵与行列式的有何区别?思考题解答 矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式算式，行数和列数必须相同，一个数字行列式经过，行数和列数必须相同，一个数字行列式经过计算可求得其值；而矩阵仅仅是一个计算可求得其值；而矩阵仅仅是一个数表数表，它的行，它的行数和列数可以不同数和列数可以不同.第三节第三节 逆矩阵逆矩阵 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa221122222121112121111.线性方程组线性方程组的解取决于的解取决于 ,2,1,njiaij 系数系数 n,ibi21 常数项常数项
18、一、矩阵概念的引入 nnnnnnnbaaabaaabaaa21222221111211因为计算线性方因为计算线性方程组时未知量并程组时未知量并未参与运算，因未参与运算，因此对它的研究可此对它的研究可转化为对这张表转化为对这张表的研究的研究.线性方程组的系数与常数项按原位置可排为线性方程组的系数与常数项按原位置可排为2.某航空公司在某航空公司在A,B,C,D四四城市之间开辟了若干航线城市之间开辟了若干航线,如图所示表示了四城市间的如图所示表示了四城市间的航班图航班图,如果从如果从A到到B有航班有航班,则用带箭头的线连接则用带箭头的线连接 A 与与B.ABCD四城市间的航班图情况常用表格来表示四城
19、市间的航班图情况常用表格来表示:发站发站到站到站ABCDABCD其中其中 表示有航班表示有航班.为了便于计算为了便于计算,把表中的把表中的 改成改成1,空白地方填上空白地方填上0,就得到一个数表就得到一个数表:1111111000000000这个数表反映了四城市间交通联接情况这个数表反映了四城市间交通联接情况.ABCDABCD二、矩阵的定义 由由 个数个数排成的排成的 行行 列的数表列的数表nm mn njmiaij,2,1;,2,1 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211称为称为 矩阵矩阵.简称简称 矩阵矩阵.nm nm 记作记作 mnmmnnaaaaaaaaaA112222
20、111211简记为简记为 .ijnmijnmaaAA 元元的的矩阵矩阵nmA,.,简简称称为为元元的的元元素素个个数数称称为为这这Anm 元素是实数的矩阵称为元素是实数的矩阵称为实矩阵实矩阵,元素是复数的矩阵称为元素是复数的矩阵称为复矩阵复矩阵.主对角线主对角线副对角线副对角线例如例如 34695301是一个是一个 实矩阵实矩阵,42 2222222613i是一个是一个 复矩阵复矩阵,33 421是一个是一个 矩阵矩阵,13 9532是一个是一个 矩阵矩阵,41 4是一个是一个 矩阵矩阵.11 例如例如 2222222613i是一个是一个3 阶方阵阶方阵.几种特殊矩阵几种特殊矩阵(2)(2)只
21、有一行的矩阵只有一行的矩阵 ,21naaaA 称为称为行矩阵行矩阵(或或行向量行向量).(1)(1)行数与列数都等于行数与列数都等于 的矩阵的矩阵 ，称为，称为 阶阶nnA.nA方阵方阵.也可记作也可记作,21 naaaB只有一列的矩阵只有一列的矩阵称为称为列矩阵列矩阵(或或列向量列向量).).称为称为(或或）.n 00000021（3）形如形如 的方阵的方阵,OO不全为不全为0 （4）元素全为零的矩阵称为元素全为零的矩阵称为零矩阵零矩阵，零零矩阵记作矩阵记作 或或 .nm nmo o注意注意 .00000000000000000000 不同阶数的零矩阵是不相等的不同阶数的零矩阵是不相等的.例
22、如例如记作记作 .,21ndiagA (5)方阵方阵 100010001nEE称为称为单位矩阵单位矩阵（或（或单位阵单位阵）.同型矩阵与矩阵相等的概念同型矩阵与矩阵相等的概念OO 1.1.两个矩阵的行数相等两个矩阵的行数相等,列数相等时列数相等时,称为称为同同型矩阵型矩阵.全为全为1 2.2.两个矩阵两个矩阵 为为同型矩阵同型矩阵,并且并且对应元素相等对应元素相等,即即 ijijbBaA与与 ,2,1;,2,1njmibaijij 则称则称矩阵矩阵 相等相等,记作记作BA与与.BA 例如例如 9348314736521与与为为同型矩阵同型矩阵.例例1之之个变量个变量与与个变量个变量mnyyym
23、xxxn,2121间的关系式间的关系式 .,22112222121212121111nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay的的到变量到变量表示一个从变量表示一个从变量mnyyyxxx,2121线性变换线性变换.为常数为常数其中其中ija .,22112222121212121111nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211系数矩阵系数矩阵线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.若线性变换为若线性变换为 nnxyxyxy,2211称之为称之为恒等变换恒等变换.n
24、nxyxyxy,2211对应对应 100010001 单位阵单位阵.线性变换线性变换 .cossin,sincos11yxyyxx 对应对应 cossinsincosXYO yxP,111,yxP这是一个以原点为中心这是一个以原点为中心旋转旋转 角的角的旋转变换旋转变换.例例2 设设,131,213321 zyxBA.,zyxBA求求已知已知 解解,BA .2,3,2 zyx三、小结(1)(1)矩阵的概念矩阵的概念 mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211列的一个数表列的一个数表行行nm(2)特殊矩阵特殊矩阵 方阵方阵 ;nm 行矩阵与列矩阵行矩阵与列矩阵;单位矩阵单位矩阵;零
25、矩阵零矩阵.100010001 ,21 naaaB ,21naaaA n 00000021思考题矩阵与行列式的有何区别矩阵与行列式的有何区别?思考题解答 矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式算式，行数和列数必须相同，一个数字行列式经过，行数和列数必须相同，一个数字行列式经过计算可求得其值；而矩阵仅仅是一个计算可求得其值；而矩阵仅仅是一个数表数表，它的行，它的行数和列数可以不同数和列数可以不同.第四节第四节 矩阵分块法矩阵分块法 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa221122222121112121111.线性方程组线性方程
26、组的解取决于的解取决于 ,2,1,njiaij 系数系数 n,ibi21 常数项常数项一、矩阵概念的引入 nnnnnnnbaaabaaabaaa21222221111211因为计算线性方因为计算线性方程组时未知量并程组时未知量并未参与运算，因未参与运算，因此对它的研究可此对它的研究可转化为对这张表转化为对这张表的研究的研究.线性方程组的系数与常数项按原位置可排为线性方程组的系数与常数项按原位置可排为2.某航空公司在某航空公司在A,B,C,D四四城市之间开辟了若干航线城市之间开辟了若干航线,如图所示表示了四城市间的如图所示表示了四城市间的航班图航班图,如果从如果从A到到B有航班有航班,则用带箭头
27、的线连接则用带箭头的线连接 A 与与B.ABCD四城市间的航班图情况常用表格来表示四城市间的航班图情况常用表格来表示:发站发站到站到站ABCDABCD其中其中 表示有航班表示有航班.为了便于计算为了便于计算,把表中的把表中的 改成改成1,空白地方填上空白地方填上0,就得到一个数表就得到一个数表:1111111000000000这个数表反映了四城市间交通联接情况这个数表反映了四城市间交通联接情况.ABCDABCD二、矩阵的定义 由由 个数个数排成的排成的 行行 列的数表列的数表nm mn njmiaij,2,1;,2,1 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211称为称为 矩阵矩阵.
28、简称简称 矩阵矩阵.nm nm 记作记作 mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211简记为简记为 .ijnmijnmaaAA 元元的的矩阵矩阵nmA,.,简简称称为为元元的的元元素素个个数数称称为为这这Anm 元素是实数的矩阵称为元素是实数的矩阵称为实矩阵实矩阵,元素是复数的矩阵称为元素是复数的矩阵称为复矩阵复矩阵.主对角线主对角线副对角线副对角线例如例如 34695301是一个是一个 实矩阵实矩阵,42 2222222613i是一个是一个 复矩阵复矩阵,33 421是一个是一个 矩阵矩阵,13 9532是一个是一个 矩阵矩阵,41 4是一个是一个 矩阵矩阵.11 例如例如 22
29、22222613i是一个是一个3 阶方阵阶方阵.几种特殊矩阵几种特殊矩阵(2)(2)只有一行的矩阵只有一行的矩阵 ,21naaaA 称为称为行矩阵行矩阵(或或行向量行向量).(1)(1)行数与列数都等于行数与列数都等于 的矩阵的矩阵 ，称为，称为 阶阶nnA.nA方阵方阵.也可记作也可记作,21 naaaB只有一列的矩阵只有一列的矩阵称为称为列矩阵列矩阵(或或列向量列向量).).称为称为(或或）.n 00000021（3）形如形如 的方阵的方阵,OO不全为不全为0 （4）元素全为零的矩阵称为元素全为零的矩阵称为零矩阵零矩阵，零零矩阵记作矩阵记作 或或 .nm nmo o注意注意 .000000
30、00000000000000 不同阶数的零矩阵是不相等的不同阶数的零矩阵是不相等的.例如例如记作记作 .,21ndiagA (5)方阵方阵 100010001nEE称为称为单位矩阵单位矩阵（或（或单位阵单位阵）.同型矩阵与矩阵相等的概念同型矩阵与矩阵相等的概念OO 1.1.两个矩阵的行数相等两个矩阵的行数相等,列数相等时列数相等时,称为称为同同型矩阵型矩阵.全为全为1 2.2.两个矩阵两个矩阵 为为同型矩阵同型矩阵,并且并且对应元素相等对应元素相等,即即 ijijbBaA与与 ,2,1;,2,1njmibaijij 则称则称矩阵矩阵 相等相等,记作记作BA与与.BA 例如例如 93483147
31、36521与与为为同型矩阵同型矩阵.例例1之之个变量个变量与与个变量个变量mnyyymxxxn,2121间的关系式间的关系式 .,22112222121212121111nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay的的到变量到变量表示一个从变量表示一个从变量mnyyyxxx,2121线性变换线性变换.为常数为常数其中其中ija .,22112222121212121111nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211系数矩阵系数矩阵线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系
32、.若线性变换为若线性变换为 nnxyxyxy,2211称之为称之为恒等变换恒等变换.nnxyxyxy,2211对应对应 100010001 单位阵单位阵.线性变换线性变换 .cossin,sincos11yxyyxx 对应对应 cossinsincosXYO yxP,111,yxP这是一个以原点为中心这是一个以原点为中心旋转旋转 角的角的旋转变换旋转变换.例例2 设设,131,213321 zyxBA.,zyxBA求求已知已知 解解,BA .2,3,2 zyx三、小结(1)(1)矩阵的概念矩阵的概念 mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211列的一个数表列的一个数表行行nm(2)特殊矩阵特殊矩阵 方阵方阵 ;nm 行矩阵与列矩阵行矩阵与列矩阵;单位矩阵单位矩阵;零矩阵零矩阵.100010001 ,21 naaaB ,21naaaA n 00000021思考题矩阵与行列式的有何区别矩阵与行列式的有何区别?思考题解答 矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式算式，行数和列数必须相同，一个数字行列式经过，行数和列数必须相同，一个数字行列式经过计算可求得其值；而矩阵仅仅是一个计算可求得其值；而矩阵仅仅是一个数表数表，它的行，它的行数和列数可以不同数和列数可以不同.
