1、专题六二次函数压轴题1.1.主要类型:(1)线段及周长最值问题(2)面积最值问题(3)存在性问题探究2.2.规律方法:(1)(1)解决线段和的最小值或三角形周长最小问题解决线段和的最小值或三角形周长最小问题,主要主要依据是“两点之间,线段最短”,具体方法是利用轴对具体方法是利用轴对称将两条线段之和转化为一条线段的长称将两条线段之和转化为一条线段的长,然后求出该条然后求出该条线段的长.(2)解决图形面积的最值问题,通常先设出动点坐标通常先设出动点坐标,然然后表示出图形面积,利用二次函数性质来求最大值或最利用二次函数性质来求最大值或最小值,表示不规则图形的面积时,通常采用割补法把其通常采用割补法把
2、其转化为易于表示面积的图形(有一边在坐标轴上或平行有一边在坐标轴上或平行于坐标轴).(3)(3)解决存在性问题要先假设结论成立,然后根据所探然后根据所探究特殊图形的有关性质,利用分类讨论的数学思想构造利用分类讨论的数学思想构造全等或相似图形,进而求出字母的取值.3.3.渗透的思想渗透的思想:分类讨论、转化思想、数形结合、函数与方程等.类型一线段及周长最值问题线段及周长最值问题【考点解读】【考点解读】1.1.考查范畴:线段和周长最值问题主要包括线段和的最线段和周长最值问题主要包括线段和的最小值、周长和的最小值和线段差的最大值三种情况小值、周长和的最小值和线段差的最大值三种情况.2.2.考查角度考
3、查角度:利用二次函数解析式确定有关点的坐标利用二次函数解析式确定有关点的坐标,结合某个动点考查两条线段和或差的最值问题结合某个动点考查两条线段和或差的最值问题.【典例探究】【典例探究】典例1(2018宜宾节选)在平面直角坐标系 xOy中,已知抛物线的顶点坐标为(2,0),且经过点(4,1),如图,直线y=x与抛物线交于A,B两点,直线l为y=-1.14(1)(1)求抛物线的解析式.(2)(2)在在l上是否存在一点P,P,使使PA+PBPA+PB取得最小值?若存在,求出点P P的坐标的坐标;若不存在,请说明理由请说明理由.【思路点拨】(1)由抛物线的顶点坐标为(2,0),可设抛物线的解析式为y=
4、a(x-2)2,由抛物线过点(4,1),利用待定系数法即可求出抛物线的解析式.(2)联立直线AB与抛物线解析式组成方程组,通过解方程组可求出点A,B的坐标,作点B关于直线l的对称点的对称点B,连接连接AB交直线交直线l于点P,此时PA+PB取得最小值,根据点B的坐标可得出点B的坐标,根据点根据点A,B的坐标利用待的坐标利用待定系数法可求出直线AB的解析式,再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点 P的坐标.【自主解答】略【规律方法】【规律方法】解决线段和最小值问题的方法(1)解题的基本依据是“两点之间,线段最短”,如图所示,若A,B是两个定点,动点P在直线m上,求PA+PB的最小值的方法是:
5、作点A关于直线m的对称点A,当A,P,B三点共线时PA+PB最小.(2)(2)确定动点P P的位置后,再根据两条直线的解析式联立再根据两条直线的解析式联立组成方程组,进而求出交点P P的坐标的坐标.【题组过关】【题组过关】1.(2019烟台中考)如图,顶点为M的抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(-1,0),B两点,与y轴交于点C,过点C作CDy轴交抛物线于另一点 D,作DEx轴,垂足为点E,双曲线y=(x0)经过点D,连接MD,BD.6x(1)求抛物线的解析式.(2)点点N,F分别是x x轴轴,y轴上的两点,当以M,D,N,F为顶点的四边形周长最小时,求出点N,F的坐标.(3)动点P P
6、从点O O出发,以每秒1 1个单位长度的速度沿 OC方方向运动,运动时间为t t秒秒,当当t t为何值时为何值时,BPD,BPD的度数最的度数最大大?(请直接写出结果)略2.(20192.(2019贺州中考贺州中考)如图如图,在平面直角坐标系中,已知点点B B的坐标为(-1,0),且且OA=OC=4OB,抛物线y=ax2 2+bx+c(a0)bx+c(a0)图象经过图象经过 A,B,C三点.世纪金榜导学号(1)求求A,CA,C两点的坐标.(2)求抛物线的解析式.(3)若点P P是直线AC下方的抛物线上的一个动点,作作PDACPDAC于点于点D,当当PD的值最大时,求此时点P P的坐标及的坐标及
7、PD的最大值.【解析】(1)OA=OC=4OB=4,故点A,C的坐标分别为(4,0),(0,-4).(2)抛物线的解析式为:y=a(x+1)(x-4)=a(x2-3x-4),即-4a=-4,解得:a=1,故抛物线的解析式为:y=x2-3x-4.(3)直线CA过点C,设其函数解析式为:y=kx-4,将点A坐标代入上式并解得:k=1,故直线CA的解析式为:y=x-4,过点P作y轴的平行线交AC于点H,OA=OC=4,OAC=OCA=45,PHy轴轴,PHD=OCA=45,设点P(x,x2-3x-4),则点H(x,x-4),PD=HPsinPHD=(x-4-x2+3x+4)=x2+x,0,PD有最大
8、值,当x=2时,其最大值为,此时点P(2,-6).2222?22?2 22 2类型二面积最值问题【考点解读】【考点解读】1.考查范畴:以二次函数为背景,面积最值问题主要包面积最值问题主要包括三角形面积问题和四边形面积问题括三角形面积问题和四边形面积问题.2.考查角度:建立几何图形面积与动点的坐标的二次函建立几何图形面积与动点的坐标的二次函数关系,然后确定最值.【典例探究】【典例探究】典例2(2019海南中考节选)如图,已知抛物线y=ax2+bx+5经过A(-5,0),B(-4,-3)两点,与x轴的另一个交点为C,顶点为D,连接CD.(1)求该抛物线的解析式.(2)点点P P为该抛物线上一动点(
9、与点B,C不重合),设点设点P P的的横坐标为t.当点P P在直线BC的下方运动时,求PBCPBC的面积的最大值.【自主解答】(1)将点A,B坐标代入二次函数解析式得:解得:故抛物线的解析式为:y=x2+6x+5,25a5b5016a4b53?，a1b6?，(2)令y=0,则x=-1或-5,即点C(-1,0),如图,过点P作y轴的平行线交BC于点G,将点B,C的坐标代入一次函数解析式并解得:直线BC的表达式为:y=x+1,设点G(t,t+1),则点P(t,t2+6t+5),SPBC=PG(xC-xB)=(t+1-t2-6t-5)=0,SPBC有最大值,当t=时,其最大值为12322315tt6
10、22?，32?52?27.8【规律方法】【规律方法】解决面积最值问题的方法(1)首先设出动点的坐标为(x,ax2+bx+c).(2)(2)求有一边在坐标轴或与坐标轴平行的图形面积时求有一边在坐标轴或与坐标轴平行的图形面积时,用该边为底边用含 x x的式子表示出来,结合图形可用结合图形可用x x的的代数式表示出该边上的高;求三边不在坐标轴上的三角求三边不在坐标轴上的三角形或不规则图形面积时,要先采用割补的方法转化成易要先采用割补的方法转化成易于表示出面积的图形.(3)用含有未知数x x的代数式表示图形面积.(4)利用二次函数的性质来求最大值或最小值利用二次函数的性质来求最大值或最小值.【题组过关
11、】【题组过关】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx-5交y轴于点A,交x轴于点B(-5,0)和点C(1,0),过点A作ADx轴交抛物线于点D.(1)求此抛物线的解析式.(2)点点E E是抛物线上一点,且点E E关于x x轴的对称点在直线ADAD上上,求EAD的面积.(3)若点P P是直线AB下方的抛物线上一动点,当点P P运动到某一位置时,ABP的面积最大,求出此时点求出此时点P P的坐标的坐标和ABP的最大面积.略类型三存在性问题探究存在性问题探究【考点解读】【考点解读】1.1.考查范畴:以二次函数为背景的存在性问题包括探究以二次函数为背景的存在性问题包括探究等腰三角形、直角三角
12、形、相似三角形和特殊四边形等腰三角形、直角三角形、相似三角形和特殊四边形的形状.2.2.考查角度:考查是否存在某点,使图形满足某种特殊使图形满足某种特殊形状,根据图形性质解答问题.【典例探究】【典例探究】典例3已知抛物线y=的图象如图所示:213xx22?(1)将该抛物线向上平移将该抛物线向上平移 2 2个单位,分别交分别交x x轴于A,BA,B两点,交交y y轴于点C,C,则平移后的解析式为 _.(2)判断ABC的形状,并说明理由并说明理由.(3)在抛物线对称轴上是否存在一点 P,使得以A,C,P为为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出点求出点P P的坐标的坐标;若不存在,说明理由.【思路
13、点拨】(1)根据函数图象的平移规律,可得新的函数解析式.(2)根据自变量与函数值的对应关系,可得A,B,C 的坐标,根据勾股定理及逆定理,可得答案.(3)根据等腰三角形的定义,分类讨论得到关于P点纵坐标的方程,解方程可得答案.【自主解答】略【规律方法】【规律方法】探究等腰三角形存在性的方法(1)假设结论成立.(2)分别表示三角形三条边的长度,分三种情况进行讨论,根据两边相等列出方程,然后求出对应的未知数的值.(3)(3)表示三边长度往往需要用到点的坐标,要掌握抛物要掌握抛物线和直线与坐标轴的交点坐标求法线和直线与坐标轴的交点坐标求法,并能够利用解方程并能够利用解方程组求抛物线与直线的交点坐标.
14、【题组过关】【题组过关】(2019(2019贵港中考贵港中考)如图如图,已知抛物线已知抛物线y=axy=ax2 2+bx+c的顶点的顶点为为A(4,3),与与y y轴相交于点轴相交于点B(0,-5),对称轴为直线对称轴为直线l,点点M M是线段是线段AB的中点的中点.(1)(1)求抛物线的解析式.(2)(2)写出点M M的坐标并求直线ABAB的解析式.(3)(3)设动点P,QP,Q分别在抛物线和对称轴l上上,当以当以A,P,Q,MA,P,Q,M为顶点的四边形是平行四边形时,求求P,QP,Q两点的坐标两点的坐标.【解析】(1)函数解析式为:y=a(x-4)2+3,将点B坐标代入上式并解得:a=,故抛物线的解析式为:y=x2+4x-5.12?12?(2)A(4,3),B(0,-5),则点M(2,-1),设直线AB的解析式为:y=kx-5,将点A坐标代入上式得:3=4k-5,解得:k=2,故直线AB的解析式为:y=2x-5.(3)略
