1、邓高明邓高明 吴双清吴双清2014.07.08 郑州3.共性引力中带电转动共性引力中带电转动AdS黑洞的隧穿辐射黑洞的隧穿辐射4.结论和展望结论和展望1.工作背景和动机工作背景和动机2.共性引力中中性转动共性引力中中性转动AdS黑洞的隧穿辐射黑洞的隧穿辐射工作背景和动机工作背景和动机1.1 共性引力简介共性引力简介 作为一种高阶导数理论，作为一种高阶导数理论，共形引力共形引力（Conformal Gravity）具有重整化、幺正性等特点，具有重整化、幺正性等特点，其更有吸引力的性质之一是其更有吸引力的性质之一是它与它与Yang-Mills规范理论有很多相似性规范理论有很多相似性。“Confor
2、mal invariant fourth order theory of gravity has recently been advanced as a candidate alternative to the standard second order Einstein theory.”Philip D.Mannheim，arXiv:gr-qc/94070101.2 黑洞及霍金辐射黑洞及霍金辐射 吕宏老师等人从如下吕宏老师等人从如下Lagrangian作用量出发作用量出发、尝试对尝试对宇宙加速膨胀宇宙加速膨胀作出解释作出解释；arXiv:1208.4972、研究星系旋转曲线研究星系旋转曲线a
3、rXiv:1211.0188和和 近日近日点点进动进动PRD86(2012)084008以及光线以及光线 偏折等问题偏折等问题；应用广泛应用广泛121123eCCF，L得到共形引力中转动得到共形引力中转动AdS黑洞解黑洞解JHEP1302(2013)139。黑洞热辐射是由于真空涨落引起的量子隧穿过程。黑洞热辐射是由于真空涨落引起的量子隧穿过程。真空涨落而不断产生的虚的正、反粒子对摆脱不了三真空涨落而不断产生的虚的正、反粒子对摆脱不了三种种命运：命运：、自行湮灭；、自行湮灭；、两个都被陷获进入黑洞；、两个都被陷获进入黑洞；、一个落进黑洞而另一个、一个落进黑洞而另一个 飞向远方；飞向远方；负能粒子
4、进入黑洞，顺着时间进展穿过单向膜区到达负能粒子进入黑洞，顺着时间进展穿过单向膜区到达奇点处，而正能粒子留在视界外实化后奇点处，而正能粒子留在视界外实化后“逃逸逃逸”到无到无穷远。在无穷远处的观测者看来，一个正能粒子从黑穷远。在无穷远处的观测者看来，一个正能粒子从黑洞中蒸发出来然后飞向了他，于是他认为黑洞不黑而洞中蒸发出来然后飞向了他，于是他认为黑洞不黑而是在辐射粒子。是在辐射粒子。等价理解此过程：一个正能粒子逆着时间方向从奇点等价理解此过程：一个正能粒子逆着时间方向从奇点处出发穿过单向膜区到达黑洞表面，在那里被视界散处出发穿过单向膜区到达黑洞表面，在那里被视界散射，再顺时飞向远方，即射，再顺时
5、飞向远方，即黑洞热辐射粒子的机制黑洞热辐射粒子的机制。1.3 已有的测地线推导方法的不足与改进已有的测地线推导方法的不足与改进1.3.1 缺陷和不足缺陷和不足Schwarzschild黑洞：黑洞：222222 1dsdtdtdrdrr d，其中其中21Mr（1.3.1）。const20ds const径向测地线径向测地线11,drrdt 无质量粒子情形无质量粒子情形分别对应出射粒子和入射粒子情形。分别对应出射粒子和入射粒子情形。“”符号符号声速与相速声速与相速之间的关系之间的关系粒子测地线粒子测地线000111=22 1grg。2pg、两种粒子的测地线推导方法不统一；、两种粒子的测地线推导方法
6、不统一；、对有质量粒子测地线的处理过程与作用量变、对有质量粒子测地线的处理过程与作用量变 分原理相悖；分原理相悖；、推导过程中混杂使用相对论与非相对论定义；、推导过程中混杂使用相对论与非相对论定义；有质量粒子情形有质量粒子情形缺陷和不足缺陷和不足1.3.2 改进改进度规线元度规线元2mg x x L/Px L广义动量广义动量tPEPL/2mg x xH2(k=0,1)mk H有质量粒子的测地线有质量粒子的测地线吴双清老师等人对此不足作了改进，对有质量和无质量粒吴双清老师等人对此不足作了改进，对有质量和无质量粒子的测地线作了新的、统一自洽的推导。子的测地线作了新的、统一自洽的推导。有质量粒子测地
7、线有质量粒子测地线考虑s波近似的同时令 或者(0)PL0m 0k 无质量粒子测地线无质量粒子测地线缺陷和不足得以修缺陷和不足得以修正，统一自洽地推正，统一自洽地推导有质量和无质量导有质量和无质量粒子的测地线方程粒子的测地线方程工作动机：工作动机：、将黑洞霍金辐射推广到共形引力理论中进行研究；、将黑洞霍金辐射推广到共形引力理论中进行研究；、摆脱拖曳坐标变换的限制，在更一般坐标系中研、摆脱拖曳坐标变换的限制，在更一般坐标系中研究转动黑洞的隧穿辐射究转动黑洞的隧穿辐射；、统一推导有质量和无质量粒子测地线运动方程；、统一推导有质量和无质量粒子测地线运动方程；共形引力中中性转动共形引力中中性转动AdS黑
8、洞的隧穿辐射黑洞的隧穿辐射222222(sin)()rrdrddsdtad 2222222sin(1)()ag r dtra d，其中其中222222cos1cosrag a ，222 232 2()(1)21rrag rrg a ，。（2.1.1）2.1 共形引力中中性转动共形引力中中性转动AdS黑洞解黑洞解23g引入坐标变换引入坐标变换222222221()(1)rrag rrag rdddrra。22222222()(1)1rrrarag rdtdtdrg r，（2.1.2）新形式新形式度规线元度规线元2 22222222(1)()sing rradsdtdd222 222222 2()
9、(1)(sin)()(1)rragrdt addrragr。（2.1.3）2.2 隧穿粒子的测地线方程隧穿粒子的测地线方程2.2.1 非拖曳系中粒子的测地线非拖曳系中粒子的测地线 根据改进的测地线推导过程，从线元根据改进的测地线推导过程，从线元(2.1.3)出发通出发通过拉格朗日分析，我们得到非拖曳系中有质量粒子的测地过拉格朗日分析，我们得到非拖曳系中有质量粒子的测地线方程。线方程。径向方程：径向方程：22222222 2 sin()1()1()(1)()rrraEr a Y aLrr ar agrW ，角向方程：角向方程：22 22 22222 2sin(1)1(1)sin()(1)()rr
10、aELg raYaWg rrag r 222222212 2sin()()1()rraEr a Y aLr ar a Wgr ，222222(sin)()sinrrLaEW YmkP 。其中其中222 2()(1)Yra E aLg r，（2.2.2）2222(1)rrag rddtra。视界附近的出射粒子有如下的渐近行为视界附近的出射粒子有如下的渐近行为 22()()()2()rrrrrdrrrrdtra，（2.2.1）2.2.2 拖曳系中粒子的测地线拖曳系中粒子的测地线拖曳坐标系中的线元拖曳坐标系中的线元22222 222222 2()sin()(1)rrdsdtdrraarag r 22
11、222 2222 2222 22()()(1)()sin1rrrarag rdtdrdraag r。（2.2.3）线元线元(2.2.3)满足朗道对钟条件满足朗道对钟条件000000(,1,2,3)()()jijiggi jxgxg。正如张靖仪老师在工作正如张靖仪老师在工作JHEP0501(2005)055中所提到的，中所提到的，量子力学中粒子隧穿通过势垒是一个瞬时过程，因而满足此量子力学中粒子隧穿通过势垒是一个瞬时过程，因而满足此条件对于我们探讨黑洞隧穿过程是必需的。事实上，条件对于我们探讨黑洞隧穿过程是必需的。事实上，除除(2.1.2)式式之外的其它坐标变换难以满足此条件。之外的其它坐标变换
12、难以满足此条件。由改进的由改进的测地线推导方法，我们易得到拖曳系中有质量粒子的测地线测地线推导方法，我们易得到拖曳系中有质量粒子的测地线2 222 222 322222 222222 222sin1(1)()11()(1)()1(n)sirrrrrag rrararrag rmkPEraa。mP趋近于零，趋近于零，得到无质量粒子的测地线方程得到无质量粒子的测地线方程和和令令2 2222222 22 222 3sin111()(1)(1)()rrrararragrgr ra。拖曳系中的粒子在事件视界附近具有类似于拖曳系中的粒子在事件视界附近具有类似于非拖曳系情形非拖曳系情形的渐近行为。的渐近行为
13、。2.3 不同坐标系中多种方法计算隧穿几率不同坐标系中多种方法计算隧穿几率 2.3.1 拖曳系中拖曳系中Parikh-Wilczek的半经典隧穿的半经典隧穿 考虑粒子间的自引力，且在能量和角动量守恒条件下允考虑粒子间的自引力，且在能量和角动量守恒条件下允22222 222222 2()sin()(1)rrdsdtdrraaragr许黑洞质量涨落，拖曳坐标系中相应的线元许黑洞质量涨落，拖曳坐标系中相应的线元222222222 222222()()(1)()sin1rrrarag rddtdrraag r，（2.3.1）参量参量 222 22 322()(1)()/()rrag rMra g。假设
14、一个能假设一个能的粒子隧穿到黑洞外，则此转动的粒子隧穿到黑洞外，则此转动AdS黑洞的能量和黑洞的能量和()M2()/()Mag。和和量为量为角动量将分别变成角动量将分别变成考虑黑洞的热力学性质及视界附近出射粒子的渐近行为，考虑黑洞的热力学性质及视界附近出射粒子的渐近行为，写出作用量虚部写出作用量虚部2()()2d MdSd Mag，22()()2()rrr rra，2()()1ImIm2()fiMrrBHMd Md MagSdrSrr，最终，粒子的隧穿几率为最终，粒子的隧穿几率为 2ImBHSSee。（2.3.2）注：注：共形引力中转动共形引力中转动AdSAdS黑洞的熵不同于黑洞的熵不同于Ei
15、nstein引力理论中情引力理论中情形，它不等于视界面积的四分之一，但粒子的隧穿几率却仍与形，它不等于视界面积的四分之一，但粒子的隧穿几率却仍与熵变有关。熵变有关。2.3.2 非拖曳系中复路径隧穿方法非拖曳系中复路径隧穿方法 忽略粒子间的自引力，写出忽略粒子间的自引力，写出Hamilton-Jacobi(HJ)方程方程22222()(1)trraIag rI()()IEtR rXJ，变量分离变量分离径向径向HJ方程方程2 222222 2(1)()()rrag r Jra ER rm rC，（2.3.4）求解求解()R r，并考虑视界附近处的近似并考虑视界附近处的近似2222sinsin()(
16、)0()trraIIIIm。（2.3.3）变量分离常数()()rrrr，（2.3.5）由于出射粒子与入射粒子的共同作用，最终得到粒子的隧由于出射粒子与入射粒子的共同作用，最终得到粒子的隧穿几率为穿几率为 2()EJe。（2.3.6）注：注：由于背景时空的不同，此结果异于由于背景时空的不同，此结果异于(2.3.2)式。式。3.1 带电转动带电转动AdS黑洞解黑洞解 引进坐标变换引进坐标变换(2.1.2)，共形引力中带电转动，共形引力中带电转动AdS黑洞黑洞解及对应的矢势分别写为解及对应的矢势分别写为 2 22222222(1)()sing rradsdtdd222 222222 2()(1)(s
17、in)()(1)rragrdt addrragr，（3.1.1）共形引力中带电转动共形引力中带电转动AdS黑洞的隧穿辐射黑洞的隧穿辐射参量参量232222()()126rq rrag rmrm。2sin()qrdtad，A（3.1.2）3.2 带电有质量粒子情形的隧穿辐射带电有质量粒子情形的隧穿辐射3.2.1 测地线方程测地线方程 利用改进后的测地线推导过程，根据拉格朗日分析，借利用改进后的测地线推导过程，根据拉格朗日分析，借助三个守恒的积分常数，可得到有质量粒子的测地线，其助三个守恒的积分常数，可得到有质量粒子的测地线，其径向和角向方程分别为径向和角向方程分别为222221222 2sin(
18、)()1()(1)()rrrara X aLrraragrW，E22 22 22222 222222222 2sin111sin1sin1()()()()()()()rrrraLag rXWag rrag rara X aLrara Wg r ，EE2222202(sin)sinrLaWXm kP。E其中其中2222()(1),XraaLg rqrEQ出射粒子在视界附近的渐近行为出射粒子在视界附近的渐近行为 22()()()2()rrrrrdrrrrdtra，（3.2.1）2222(1)rrag rddtra。（3.2.2）3.2.2 带电有质量粒子情形的隧穿几率带电有质量粒子情形的隧穿几率引
19、入参数引入参数 q，其满足关系，其满足关系qmq。设。设能量和电荷分别能量和电荷分别W和和Q的粒子隧穿出黑洞，黑洞的质量、角动量以及电的粒子隧穿出黑洞，黑洞的质量、角动量以及电和和()M W222221212()()()agqMga qW()QQ、。借助哈密顿。借助哈密顿22(,)22 2(,)(12)ImIm1()()(12)firMQrM QagqdrSd Md Qga qr。WQWQ荷分别变为荷分别变为运动方程可以得到作用量虚部运动方程可以得到作用量虚部为为借用视界附近的渐近行为和黑洞热力学定律，易积分得到借用视界附近的渐近行为和黑洞热力学定律，易积分得到 22222()(,)(12)1
20、()()(12)ImIm()firMQrM Qagqd Md Qga qSdrr r，WQWQ(,)(,)1122BHBHSMQBHSM QdSS。WQ于是隧穿率为于是隧穿率为2ImBHSSee。（3.2.3）3.3 复标量粒子隧穿复标量粒子隧穿(Klein-Gordon分析分析)首先，写出首先，写出Klein-Gordon方程方程2222 211()(1)()rrraag reqrtrr22011(sin)(sin)0sinsinat 。变量分离 11,()i t imt reeXR r 径向方程：径向方程：2222 22 211011()()rrddraamgreqrr RrRrdrdr
21、，变量分离常数假设假设(),iW rR rCe还原还原，将，将 11,m替换为替换为,JE2222 22 2011rraag reqrr EJ 2rrriiWrWrWr解出解出 W r，最终带电复标量粒子的隧穿几率为，最终带电复标量粒子的隧穿几率为 4Im()222expW reqrera。EJ（3.3.1）结论和展望结论和展望、尽管共形引力中转动、尽管共形引力中转动AdS黑洞的熵不同于黑洞的熵不同于Einstein引力理论中情形，它不等于视界面积的四分之一，但考虑引力理论中情形，它不等于视界面积的四分之一，但考虑变化的背景时空时，黑洞的隧穿几率却仍与熵的改变有关，变化的背景时空时，黑洞的隧穿几率却仍与熵的改变有关，当忽略变化的背景时空，其隧穿几率与熵的改变无直接关当忽略变化的背景时空，其隧穿几率与熵的改变无直接关系；系；、将黑洞隧穿辐射研究推广到了共形引力理论中，使、将黑洞隧穿辐射研究推广到了共形引力理论中，使霍金辐射研究体系更加完善；霍金辐射研究体系更加完善；、摆脱拖曳坐标变换的限制，在更一般坐标系中研究摆脱拖曳坐标变换的限制，在更一般坐标系中研究了转动黑洞的隧穿辐射了转动黑洞的隧穿辐射；Thank you!
