1、上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回退出退出2022年12月21日15时43分2AByox定义定义:若在弧若在弧 AB 上任意作内接折线上任意作内接折线,0P 1 iPiPnP 当折线段的最大当折线段的最大弦长弦长|T|0 时时,折线的长度趋向于一个确定的极限折线的长度趋向于一个确定的极限,并称此极限为曲线弧并称此极限为曲线弧 AB 的弧的弧长，即长，即.lim110|niiiTPPs一、一、平面曲线的弧长平面曲线的弧长则称曲线则称曲线 C 是可求长的，是可求长的，设曲线设曲线 C=AB 上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回退出退出2022年12月21日15时43分3设平面
2、曲线设平面曲线 C 由参数方程由参数方程 ttyytxx),(),(给出，如果给出，如果)(),(tytx 在在,连续，且连续，且,0)()(22 ttytx则称曲线则称曲线 C 为光滑曲线为光滑曲线上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回退出退出2022年12月21日15时43分4设光滑曲线设光滑曲线 C 由参数方程由参数方程 ttyytxx),(),(给出，给出，则则 C 是可求长的，且弧长为是可求长的，且弧长为.d)()(22ttytxs 定理定理10.1上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回退出退出2022年12月21日15时43分5证证要证要证 niiiTPPs110|
3、limttytxd)()(22 因为因为,)()(d)()(12222 niiiityxttytx 所以要证所以要证.)()(lim122110|niiiiniiiTtyxPP 上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回退出退出2022年12月21日15时43分6对对,的任一分割的任一分割11()()(),.iiiiiiiiyy ty tytxx.:110 nnttttT1,iitt在在上上由由微微分分中中值值定定理理11()()(),iiiiiiiixx tx txtxx于是于是22111nniiiiiiP Pxy 上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回退出退出2022年12月2
4、1日15时43分7221()()niiiixyt221()().niiiixyt niiiityx122)()(niiiityx122)()(下面证明：下面证明：niiiiniiiiTtyxtyx1221220|)()()()(lim .0 上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回退出退出2022年12月21日15时43分8由第一章由第一章1习题习题 6 可知可知.)()()()()()(2222iiiiiiyyyxyx (),y t 又又在在上上连连续续 从从而而在在上上一一致致连连续续,0,0,T因因此此对对任任意意存存在在当当时时()(),1,2,.iiyyin 于是于是,2222
5、1()()()()niiiiiixyxyt1()(),niiiiyyt上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回退出退出2022年12月21日15时43分9即即 niiiiniiiiTtyxtyx1221220|)()()()(lim .0 22()(),xtyt 由由于于在在上上连连续续,从从而而可可积积，从而从而.)()(lim122110|niiiiniiiTtyxPPs ttytxd)()(22 上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回退出退出2022年12月21日15时43分10若曲线若曲线 C 由直角坐标方程给出由直角坐标方程给出)()(bxaxfy 则则曲线曲线又又可可
6、用参数方程表示为用参数方程表示为)(,)(,bxaxfyxx 于是所求弧长为于是所求弧长为xysbad12 xxfbad)(12 上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回退出退出2022年12月21日15时43分11若曲线弧由极坐标方程给出若曲线弧由极坐标方程给出)()(rr则曲线则曲线又又可可用参数方程表示为用参数方程表示为()cos,()sin,.xryr 由于由于),()()()(2222 rryx,cos)(sin)()(rry()()cos()sin,xrr 上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回退出退出2022年12月21日15时43分12(),()()rrr 若若在
7、在上上连连续续 且且与与不不同同时时为为零零,则弧长为则弧长为 d)()(22 rrs上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回退出退出2022年12月21日15时43分13例例1.计算摆线计算摆线 )cos1()sin(tayttax)0(a一拱一拱)20(t的弧长的弧长.xyoa2解解因为因为,)cos1()(tatx tatysin)()()(22tytxtata2222sin)cos1()cos1(2ta|2sin|2ta 2022d)()(ttytxs 20d2sin2tta 2cos22ta02 a8 上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回退出退出2022年12月21日
8、15时43分14例例2.两根电线杆之间的电线两根电线杆之间的电线,由于其本身的重量由于其本身的重量,)(2chaxaeexyxx 下垂成悬链线下垂成悬链线.求从求从 x=0,到到 x=a 那一段的弧长那一段的弧长.xa aoy1悬链线方程为悬链线方程为解解因为因为4)()2(11222xxxxeeeey ,2xxeey axys02d1 axxxee0d22aaee 2hsxxeex )(ch x )(sh xxshxch上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回退出退出2022年12月21日15时43分15例例3 求心形线求心形线)0()cos1(aar 的周长的周长Oxya2a(1co
9、s)ra 解解 sinar 2022drrs 202222dsin)cos1(aa 02d)cos1(22a 0d2cos22a.8a)2cos2cos1(2 上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回退出退出2022年12月21日15时43分16例例4.求连续曲线段求连续曲线段ttyxdcos2 解解,0cos t22 t的弧长的弧长.因为因为所以所以ttyxdcos2 22 x)cos(xy xysd1222 xxd)cos(12202 xxd2cos2220 0sin22222 x 4)2cos2cos1(2xx 上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回退出退出2022年12月
10、21日15时43分17设光滑曲线设光滑曲线 C ttyytxx),(),(则则表示曲线上由端点表示曲线上由端点.d)()()(22 tyxts)(),(0 yxP到点到点)(),(tytxP的弧长的弧长,)dd()dd()()(dd2222tytxtytxts 因为被积函数连续，于是有因为被积函数连续，于是有.ddd22yxs 称弧长称弧长 s(t)的微分的微分 d s 为弧微分为弧微分上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回退出退出2022年12月21日15时43分18 如图，如图，PR 为曲线在点为曲线在点 P 处的切线，在直角三角形处的切线，在直角三角形PQR 中中，PQ 为为 d
11、 x,QR 为为 d y,PR 则为则为 d s,这个三这个三角形称为微分三角形角形称为微分三角形PRxoyxdydsdQ上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回退出退出2022年12月21日15时43分19练习练习 求求阿基米德螺线阿基米德螺线 相应于相应于 0 2 一段的弧长一段的弧长.)0(aar ar oxa 2 d222aa 解解 d)()(22rrsd d12 a d1202 as 212 a 21ln21 02)412ln(24122 aa上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回退出退出2022年12月21日15时43分20曲线的弯曲程度与切线的转角有关与曲线的弧长有
12、关机动 目录 上页 下页 返回 结束 MMM 第三三章 二、二、曲率及其计算公式曲率及其计算公式 上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回退出退出2022年12月21日15时43分21二、曲率及其计算公式二、曲率及其计算公式在光滑弧上自点 M 开始取弧段,其长为,s对应切线,定义弧段 上的平均曲率ssKMMs点 M 处的曲率sKs0limsdd注意注意:直线上任意点处的曲率为 0!机动 目录 上页 下页 返回 结束 转角为上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回退出退出2022年12月21日15时43分22例例5.求半径为R 的圆上任意点处的曲率.解解:如图所示,RssKs0lim
13、R1可见:R 愈小,则K 愈大,圆弧弯曲得愈厉害;R 愈大,则K 愈小,圆弧弯曲得愈小.sRMM机动 目录 上页 下页 返回 结束 上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回退出退出2022年12月21日15时43分23有曲率近似计算公式,1时当 yytan)22(设y arctan得xyd)arctan(d xyyd12 xysd1d2故曲率计算公式为sKdd23)1(2yyK yK 又曲率曲率K 的计算公式的计算公式)(xfy 二阶可导,设曲线弧则由机动 目录 上页 下页 返回 结束 上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回退出退出2022年12月21日15时43分24说明说明:
14、(1)若曲线由参数方程)()(tyytxx给出,则23)1(2yyK(2)若曲线方程为,)(yx则23)1(2xxK 23)(22yxyxyxK 机动 目录 上页 下页 返回 结束 上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回退出退出2022年12月21日15时43分25例例6.我国铁路常用立方抛物线361xlRy 作缓和曲线,处的曲率.)6,(,)0,0(2RllBO说明说明:铁路转弯时为保证行车平稳安全,求此缓和曲线在其两个端点机动 目录 上页 下页 返回 结束 且 l R.其中R是圆弧弯道的半径,l 是缓和曲线的长度,离心力必须连续变化,因此铁道的曲率应连续变化.上一页上一页 下一下一
15、页页 主主 页页返回返回退出退出2022年12月21日15时43分26例例6.我国铁路常用立方抛物线361xlRy 作缓和曲线,且 l R.处的曲率.)6,(,)0,0(2RllBO其中R是圆弧弯道的半径,l 是缓和曲线的长度,求此缓和曲线在其两个端点机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解:,0时当lxRl20 xlRy1 yK xlR1显然;00 xKRKlx1221xlRy RByox361xlRy l上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回退出退出2022年12月21日15时43分27例例7.求椭圆tbytaxsincos)20(t在何处曲率最大?解解:故曲率为 ba23)cos
16、sin(2222tbta;sintax;costby taxcos tbysin 23)(22yxyxyxK K 最大tbtatf2222cossin)(最小机动 目录 上页 下页 返回 结束 ttbttatfsincos2cossin2)(2tba2sin)(22求驻点:的导数数表示对参tx 上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回退出退出2022年12月21日15时43分28,0)(tf令,0t得,2,232,设tbatf2sin)()(22t)(tf022322b2b2a2b2a从而 K 取最大值.这说明椭圆在点,0ab 时则2,0t)0,(a处曲率机动 目录 上页 下页 返回 结
17、束 计算驻点处的函数值:yxbaba,)(取最小值tf最大.上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回退出退出2022年12月21日15时43分29三、三、曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径Tyxo),(DR),(yxMC设 M 为曲线 C 上任一点,在点在曲线KRDM1把以 D 为中心,R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的曲率圆(密切圆),R 叫做曲率半径,D 叫做曲率中心.在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1)有公切线;(2)凹向一致;(3)曲率相同.M 处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点 D 使机动 目录 上页 下页 返回 结束 上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回
18、返回退出退出2022年12月21日15时43分30设曲线方程为,)(xfy 且,0 y求曲线上点M 处的曲率半径及曲率中心),(D设点M 处的曲率圆方程为222)()(R故曲率半径公式为KR1 23)1(2yy 满足方程组,222)()(Ryx),(在曲率圆上yxM)(MTDM yyx的坐标公式.机动 目录 上页 下页 返回 结束 TCyxo),(DR),(yxM上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回退出退出2022年12月21日15时43分31由此可得曲率中心公式yyyx)1(2yyy 21(注意y与y 异号)当点 M(x,y)沿曲线)(xfy 移动时,的轨迹 G 称为曲线 C 的渐
19、屈线渐屈线,相应的曲率中心Cyxo),(yxM),(DRT曲率中心公式可看成渐曲线 C 称为曲线 G 的渐伸线渐伸线.机动 目录 上页 下页 返回 结束 屈线的参数方程(参数为x).点击图中任意点动画开始或暂停上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回退出退出2022年12月21日15时43分32例例8.设一工件内表面的截痕为一椭圆,现要用砂轮磨削其内表面,问选择多大的砂轮比较合适?解解:设椭圆方程为tbytaxsincos),20(abx由例3可知,椭圆在)0,(aoyx处曲率最大,即曲率半径最小,且为 R23)cossin(2222tbtaba0tab2显然,砂轮半径不超过ab2时,才
20、不会产生过量磨损,或有的地方磨不到的问题.ab例3 目录 上页 下页 返回 结束 上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回退出退出2022年12月21日15时43分33(仍为摆线)sin(a)cos1(a例例9.求摆线)cos1()sin(tayttax的渐屈线方程.解解:xyy,cos1sinttxyyt)(dd 2)cos1(1ta代入曲率中心公式,)sin(tta)1(cos ta得,t令aa2摆线 目录 上页 下页 返回 结束 yoxMo上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回退出退出2022年12月21日15时43分34摆线摆线半径为 a 的圆周沿直线无滑动地滚动时,点击
21、图中任意点动画开始或暂停Moyxta其上定点 M 的轨迹即为摆线.)sin(ttax)cos1(tay参数的几何意义摆线的渐屈线点击图中任意点动画开始或暂停机动 目录 上页 下页 返回 结束 上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回退出退出2022年12月21日15时43分351弧微分弧微分参数方程方程参数方程方程极坐标方程极坐标方程22)(d)(ddyxs d)()(d22rrs 直角坐标方程直角坐标方程弧长弧长参数方程方程参数方程方程极坐标方程极坐标方程直角坐标方程直角坐标方程ttytxsd)()(d22 xxfsd)(1d2 baxxfsd)(12 ttytxsd)()(22 d)
22、()(22rrs内容小结内容小结上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回退出退出2022年12月21日15时43分36内容小结内容小结2.曲率公式sKdd23)1(2yy 3.曲率圆曲率半径KR1yy 23)1(2曲率中心yyyx)1(2yyy 21机动 目录 上页 下页 返回 结束 上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回退出退出2022年12月21日15时43分37思考与练习思考与练习1.曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系?答答:有公切线;凹向一致;曲率相同.2.求双曲线1yx的曲率半径 R,并分析何处 R 最小?解解:,12xy,23xy 则 R23)1(2yy 234)
23、1(1x32x232)(1221xx 利用baba2222.21为最小值显然xR机动 目录 上页 下页 返回 结束 11yox上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回退出退出2022年12月21日15时43分38阿基米德螺线阿基米德螺线 ar 物理意义物理意义动点动点 M 以常速以常速 v 沿一射线运动沿一射线运动,该射线又以定速该射线又以定速 绕极点转动时绕极点转动时,点点M 的轨迹即为阿基米德螺线的轨迹即为阿基米德螺线 vr oxox1A2A3A 等距性等距性 过极点的射线与曲线过极点的射线与曲线,321AAA交于交于间隔都是间隔都是a 2它们之间的它们之间的上一页上一页 下一下一页
24、页 主主 页页返回返回退出退出2022年12月21日15时43分40设平面光滑曲线设平面光滑曲线,0)(baxxfy 求它绕求它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的面积轴旋转一周所得到的旋转曲面的面积xyoab)(xfy 在在 a,b 中任取小区间中任取小区间 x,x+x，22)()(yxxxfxfS xxx 位于此小区间上位于此小区间上的旋转面的旋转面 侧面积为侧面积为,)(1)(22xxyyxf 其中其中.)()(xfxxfy 上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回退出退出2022年12月21日15时43分41.)(1)(22xxyyxfS 由于由于,0lim0 yx.)(1)(1
25、lim220 xfxyx 由由)(xf 的连续性可以得到的连续性可以得到xxfxfxxyyxf )(1)(2)(1)(222 .)(xo 所以有所以有xxfxfS )(1)(22 从而旋转曲面的侧面积为从而旋转曲面的侧面积为xxfxfSbad)(1)(22 上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回退出退出2022年12月21日15时43分42sxfSd)(2d 侧面积元素侧面积元素xxfd)(2 xdxxfSd)(2 注意注意因为因为不是不是x的高阶无穷小的高阶无穷小若光滑曲线由参数方程若光滑曲线由参数方程)()()(ttyytxx给出给出,则它绕则它绕 x 轴旋转一周所得旋转曲面的面积
26、为轴旋转一周所得旋转曲面的面积为 ttytxtySd)()()(222上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回退出退出2022年12月21日15时43分43若光滑曲线由极坐标方程若光滑曲线由极坐标方程,0,0)(rr给出给出,则它绕极轴旋转一周所得旋转曲面的面积为则它绕极轴旋转一周所得旋转曲面的面积为 d)()(sin)(222rrrS上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回退出退出2022年12月21日15时43分44xRyo例例1.计算圆计算圆222Ryx 上的弧段绕上的弧段绕 x 轴旋转一周所得的球带的侧面积轴旋转一周所得的球带的侧面积 S 解解,2122xxxxRy 应用公
27、式得应用公式得 212xxS 22xR 2 1 22xRx xd 21d2xxxR)(212xxR 当当 x1 R,x2R 时时,得球的得球的表面积表面积24RS 1x2x,21RRxxx 在在对曲线对曲线上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回退出退出2022年12月21日15时43分45例例2.求由内摆线求由内摆线绕绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的轴旋转一周所得的旋转体的表面积表面积 S 解解taytax33sin,cos 利用对称性利用对称性 2022 Sta3sin 22 ttasincos32 td 2042dcossin12 ttta ta52sin5112 02 2512a ttacossin32yxaa o上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回退出退出2022年12月21日15时43分46作业：作业：p251#1(选选2小题）小题）p258#1(选选1小题）小题）
