1、10)(211222221211kkmkmk2121122211222211122211122121mmkkkkmkmkmkmk（1 1）主振型）主振型112111122111CmkkYY212211122212CmkkYYm1m2Y21Y11Y12Y22最小圆频率称为第一最小圆频率称为第一(基本基本)圆频率：圆频率：12第二圆频率第二圆频率0)()(222221121211mkkkmkD特征方程特征方程频率方程频率方程14-4 14-4 两自由度体系的自由振动两自由度体系的自由振动一、刚度法一、刚度法201122221212122111mmmmD令2121211222112222111222
2、11121)(4)()(21mmmmmm221111主振型主振型22111212221221111212211111mmYYmmYY二、柔度法二、柔度法0)()(2121122122112221112mmmmmm3三、主振型及主振型的正交性 m1m211121Ym21221YmY11Y2112122Ym22222Ym由功的互等定理：由功的互等定理：整理得：整理得：m1m2Y12Y222122222111222122212121211211)()()()(YYmYYmYYmYYm0)(22212121112221YYmYYm21因因 ，则存在：，则存在：)51.15(02221212111YYm
3、YYm两个主振型相互正交，因与质量有关，称为第一正交关系。两个主振型相互正交，因与质量有关，称为第一正交关系。第一主振型第一主振型第二主振型第二主振型4由功的互等定理：由功的互等定理：2122222111222122212121211211)()()()(YYmYYmYYmYYm)51.15(02221212111YYmYYm上式分别乘以上式分别乘以12、22，则得：，则得：0)()(0)()(2122222111222122212121211211YYmYYmYYmYYm第一主振型惯性力在第二主振型位移上所做的功等于零；第一主振型惯性力在第二主振型位移上所做的功等于零；第二主振型惯性力在第一
4、主振型位移上所做的功等于零；第二主振型惯性力在第一主振型位移上所做的功等于零；某一主振型的惯性力在其它主振型位移上不做功，其能量某一主振型的惯性力在其它主振型位移上不做功，其能量不会转移到其它主振型上，不会引起其它主振型的振动；不会转移到其它主振型上，不会引起其它主振型的振动；各个主振型能单独存在，而不相互干扰。各个主振型能单独存在，而不相互干扰。514-5 14-5 两个自由度体系在简谐荷载下的受迫振动两个自由度体系在简谐荷载下的受迫振动y1(t)y2(t)P1(t)P2(t)tPtPtPtPsin)(sin)(2211如在平稳阶段，各质点也作简谐振动：在平稳阶段，各质点也作简谐振动：tYt
5、ytYtysin)(sin)(2211222222121121211211)()(PYmkYkPYkYmk0222221121211mkkkmkDY1=D1/D0Y2=D2/D02222211212110mkkkmkD212222211PkmkPD如果荷载频率如果荷载频率与任一个自振频率与任一个自振频率1、2重合，则重合，则D0=0,当当D1、D2不全为零时，则出现共振现象不全为零时，则出现共振现象121121122PkmkPD002221212221211111ykykymykykym.)()(21tPtP62222211212110mkkkmkD212222211PkmkPD1211211
6、22PkmkPDm2m1k2k1例：质量集中在楼层上例：质量集中在楼层上m1、m2，层间侧移刚度为，层间侧移刚度为k1、k2解：荷载幅值：解：荷载幅值：P1=P，P2=0，求刚度系数：，求刚度系数：k11=k1+k2,k21=k2 ,k22=k2,k12=k2当当m1=m2=m，k1=k2=ktPsin021222221011DPkmkPDDY0222)(DmkP012112112022)(DPkmkPDDY02DPk2222212210kmkmkkD021222221011DPkmkPDDY021222221DPkmkP02DmkP012112112022DPkmkPDDY0DPk22202
7、kmkmkD22222122213mkmk22423kkmm)3(22242mkmkm)(22212222142m)(2222122m)1)(1(22221222212m)1)(1(222212222mkm)1)(1(122221221kmkPY)1)(1(12222122kPY7121)1)(1(1222212kmkPY22)1)(1(1222212kPY3.0-2.0-3.000.6183.01.6182.01.0-1.0kPY1mk3.0-2.0-3.000.6183.01.6182.01.0-1.0kPY2mk两个质点的位移动力系数不同。当当2121,618.1618.0YYmkmk和
8、时和 趋于无穷大。趋于无穷大。可见在两个自由度体系中，在两种情况下可能出现共振。可见在两个自由度体系中，在两种情况下可能出现共振。也有例外情况也有例外情况8l/3l/3l/3mmPsintPsint如图示对称结构在对称荷载作用下。如图示对称结构在对称荷载作用下。21122211,kkkk与与2 2相应的振型是相应的振型是12k2211mk2212YY=1211222112222kkmkmk当当=2 ，D0=0，也有：，也有：212222211PkmkPD121121122PkmkPD0122222PkmkP0212211PkmkP022011,DDYDDY不会趋于无穷大，不发生共振，不会趋于无
9、穷大，不发生共振，共振区只有一个。共振区只有一个。对称体系在对称荷载作用下时，对称体系在对称荷载作用下时，只有当荷载频率与对称主振型的自只有当荷载频率与对称主振型的自 振频率相等时才发生共振；当荷载振频率相等时才发生共振；当荷载 频率与反对称主振型的自振频率相频率与反对称主振型的自振频率相 等时不会发生共振。同理可知：对等时不会发生共振。同理可知：对 称体系在反对称荷载作用下时，只称体系在反对称荷载作用下时，只 有当荷载频率与反对称主振型的自有当荷载频率与反对称主振型的自 振频率相等时才发生共振。振频率相等时才发生共振。9kkPyst1yst2=P/k荷载幅值产生的静位移和静内力荷载幅值产生的
10、静位移和静内力yst1=yst2=P/k层间剪力层间剪力:Qst1=P 动荷载产生的位移幅值和内力幅值动荷载产生的位移幅值和内力幅值2mY22mY1)(1()(2122121kmPYYmPQ121)1)(1(1222212kmkPY22)1)(1(1222212kPY)(12121kmQ由此可见，在多自由度体系中，没有一个统一的动力系数。由此可见，在多自由度体系中，没有一个统一的动力系数。层间动剪力层间动剪力:10例例14-9：m2m1k2k1质量集中在楼层上质量集中在楼层上m1、m2，层间侧移刚度为层间侧移刚度为k1、k2k11=k1+k2,k21=k2 ,k22=k2,k12=k2tPsi
11、n02221DmkPY022DPkY 2222212210)(kmkmkkD222201222,0,kPYkDYmk当m1k1tPsinm2k2这说明在右图结构上，这说明在右图结构上，适当加以适当加以m2、k2系统系统可以消除可以消除m1的振动（的振动（动力吸振器动力吸振器原理）。原理）。吸振器不能盲目设置，必须在干扰力使体系产生较大振动时才有必要设置。吸振器不能盲目设置，必须在干扰力使体系产生较大振动时才有必要设置。设计吸振器时，先根据设计吸振器时，先根据m2的许可振幅的许可振幅Y2，选定，选定22YPk，再确定，再确定222km 11例：如图示梁中点放一电动机。重例：如图示梁中点放一电动机
12、。重2500N，电动机使梁中点产生，电动机使梁中点产生的静位移为的静位移为1cm，转速为，转速为300r/min，产生的动荷载幅值，产生的动荷载幅值P=1kN，问：问：1）应加动力吸振器吗？）应加动力吸振器吗？2）设计吸振器。）设计吸振器。(许可位移为许可位移为1cm)Psint解：解：1 1）sstg13.3101.081.9sn14.31603002602频率比在共振区之内应设置吸振器。频率比在共振区之内应设置吸振器。2 2）由）由k2m222YPk 弹簧刚度系数为：弹簧刚度系数为：5210101.01000kN/m252224.31101km=102 kg12lldxxYxmtdxvxm
13、T022202)()()(cos21)(2114-9 14-9 近似法求自振频率近似法求自振频率1 1、能量法求第一频率、能量法求第一频率Rayleigh法法 根据能量守恒定律，当不考虑阻尼自由振动时，振动体系在任何时刻的动根据能量守恒定律，当不考虑阻尼自由振动时，振动体系在任何时刻的动能能T 和应变能和应变能U 之和应等于常数。之和应等于常数。根据简谐振动的特点可知：在体系通过静力平衡位置的瞬间，速度最大（动根据简谐振动的特点可知：在体系通过静力平衡位置的瞬间，速度最大（动能具有最大值），动位移为零（应变能为零）；当体系达到最大振幅的瞬间能具有最大值），动位移为零（应变能为零）；当体系达到最
14、大振幅的瞬间（变形能最大），速度为零（动能为零）。对这两个特定时刻，根据能量守恒（变形能最大），速度为零（动能为零）。对这两个特定时刻，根据能量守恒定律得：定律得：Umax=Tmax 求求Umax，Tmax lldxxYEItdxxyEIU0220222)()(sin2121求频率求频率 如梁上还有集中质量如梁上还有集中质量mi，位移幅值位移幅值)cos()()sin()(),(txYyvtxYtxy设：.ldxxYxmT022max)()(21 ldxxYEIU02max)(21 liilYmdxxYmdxxYEI022022)()(Yi为集中质量为集中质量mi处的位移幅值。处的位移幅值。1
15、3假设位移幅值函数假设位移幅值函数Y(x)必须注意以下几点：必须注意以下几点：1、必须满足运动边界条件：、必须满足运动边界条件：（铰支端：（铰支端：Y=0；固定端：；固定端：Y=0，Y=0）尽量满足弯矩边界条件，以减小误差。剪力边界条件可不计。尽量满足弯矩边界条件，以减小误差。剪力边界条件可不计。2、所设位移幅值函数应与实际振型形状大致接近；如正好与第、所设位移幅值函数应与实际振型形状大致接近；如正好与第 n 主振主振型相似，则可求的型相似，则可求的n的准确解。但主振型通常是未知的，只能假定一近的准确解。但主振型通常是未知的，只能假定一近似的振型曲线，得到频率的近似值。由于假定高频率的振型困难
16、，计算似的振型曲线，得到频率的近似值。由于假定高频率的振型困难，计算高频率误差较大。故高频率误差较大。故 Rayleigh法主要用于求法主要用于求1的近似解。的近似解。3、相应于第一频率所设的振型曲线，应当是结构比较容易出现的变形形、相应于第一频率所设的振型曲线，应当是结构比较容易出现的变形形式。曲率小，拐点少。式。曲率小，拐点少。4、通常可取结构在某个静荷载、通常可取结构在某个静荷载q（x）（如自重）作用下的弹性曲线作为）（如自重）作用下的弹性曲线作为Y（x）的近似表达式。此时应变能可用相应荷载）的近似表达式。此时应变能可用相应荷载q（x）所作的功来代替，）所作的功来代替，即即ldxxYxq
17、U0)()(2120202)()()(iillYmdxxYmdxxYxq14 lldxxYmdxxYEI02022)()(2）假设均布荷载）假设均布荷载q作用下的挠度曲线作为作用下的挠度曲线作为Y(x)2(24)(323xlxlxEIqxY963031224520202120)()(lmEIlqdxxYmdxxqYEIqllmEIl287.9例例12 试求等截面简支梁的第一频率。试求等截面简支梁的第一频率。1）假设位移形状函数为抛物线）假设位移形状函数为抛物线)()(xlxxYlmEIyx满足边界条件且与满足边界条件且与第一振型相近第一振型相近60/252lmEIl42120lmEImEIl2
18、95.103）假设）假设lxaxYsin)(442222324lmEIlamlEIa第一振型的精确解。第一振型的精确解。精精确确解解mEIl28696.915xh0l例例13 求楔形悬臂梁的自振频率。求楔形悬臂梁的自振频率。设梁截面宽度为设梁截面宽度为 1，高度为，高度为 h=h0 x/l。解：解：单位长度的质量：单位长度的质量：设位移形状函数：设位移形状函数：2)1()(lxaxY满足边界条件：满足边界条件：0)(,0)(lYlY lldxxYmdxxYEI02022)()(ElhlEh204202581.1,25 Rayleigh 法所得法所得频率的近似解总是比精确解偏高频率的近似解总是比
19、精确解偏高。其原因是假设了一振型其原因是假设了一振型曲线代替实际振型曲线，迫使梁按照这种假设的形状振动，相当于给梁加上了曲线代替实际振型曲线，迫使梁按照这种假设的形状振动，相当于给梁加上了某种约束，增大了梁的刚度，致使频率偏高。某种约束，增大了梁的刚度，致使频率偏高。当所设振型越接近于真实，则相当所设振型越接近于真实，则相当于对体系施加的约束越小，求得的频率越接近于真实，即偏高量越小。当于对体系施加的约束越小，求得的频率越接近于真实，即偏高量越小。30121lxhIlxhm0截面惯性矩：截面惯性矩：相比误差为相比误差为3%与精确解与精确解Elh20534.116 1、假设多个近似振型、假设多个
20、近似振型n 21,都满足前述两个条件。都满足前述两个条件。2、将它们进行线性组合、将它们进行线性组合（a1、a2、an是待定常数）是待定常数）nnaaaxY2211)(3、确定待定常数的准则是：、确定待定常数的准则是：获得最佳的线性组合获得最佳的线性组合，这样的，这样的Y（x）代入频）代入频率计算公式中得到的率计算公式中得到的2 的值虽仍比精确解偏高，但对所有的的值虽仍比精确解偏高，但对所有的a1，a2，an的的可能组合，确实获得了最小的可能组合，确实获得了最小的2值。值。所选的所选的a1，a2，an使使2 获得最小值的条件是获得最小值的条件是),2,1(,02niai 这是以这是以a1，a2
21、，an为未知量的为未知量的n个奇次线性代数方程。令其系数行列式个奇次线性代数方程。令其系数行列式等于零，得到频率方程，可以解出原体系最低等于零，得到频率方程，可以解出原体系最低 n 阶频率来。阶次越低往往阶频率来。阶次越低往往越准。越准。为了使假设的振型尽可能的接近真实振型，尽可能减小假设振型对体系所附为了使假设的振型尽可能的接近真实振型，尽可能减小假设振型对体系所附加的约束，加的约束，Ritz 提出了改进方法：提出了改进方法：17 lldxxYmdxxYEI02022)()(niiinnaaaaxY12211)(niiiaxY1)(,02ia0)()()()(02020202 lilllid
22、xxYmadxxYmdxxYEIdxxYEIa20)()()()(02020202 lilllidxxYmadxxYEIdxxYmdxxYEIa00112011 ljininjjiiljininjjiidxmaaadxEIaaa.,00)(),2,1(0)(222212221njijijnjmkamkniamk 可求出特征方程：或写成矩阵形式：22220)(022lidxxYma011211ijninjjiiijninjjiimaaakaaa0121ijnjjijnjjmaka18例例14 用用RayleighRitz 法求等截面悬臂梁的最初几个频率。法求等截面悬臂梁的最初几个频率。xlEIm
23、解：悬臂梁的位移边界条件为：解：悬臂梁的位移边界条件为：（在左端）（在左端）Y=0Y=032212211xaxaaaY设：f只取第一项只取第一项2121 x代入：代入：ljiijljiijdxmmdxEIk00,5,451111lmmEIlk代入频代入频率方程：率方程：02mkmEIllmEIlmEIl2142521472.4,20054其精确解：其精确解：mEIl21516.3与精确解相比，误差为与精确解相比，误差为27%。19例例14 用用RayleighRitz法求等截面悬臂梁的最初几个频率。法求等截面悬臂梁的最初几个频率。xlEIm解：解：32212211xaxaaaYf取两项取两项x
24、xx6;2232121 代入：代入：ljiijljiijdxmmdxEIk00,7665,126647665322lmlmlmlmmEIlEIlEIlEIlk代入频率方程：代入频率方程：求得求得kij，mij：012766664542424242EIlmEIlmEIlmEIlm求得最求得最初两个初两个频率近频率近似值：似值：mEIlmEIl222181.34533.3（0.48%）（58%）说明mEIlmEIl222103.22516.3精确解：说明说明：1)1)由于由于1 1、2 2均近似于第一振型，由它们组合的第二振型自然很差，均近似于第一振型，由它们组合的第二振型自然很差，故第二频率不准
25、。故第二频率不准。2)2)RayleighRitz法所得结果仍然偏高，其原因同瑞利法。法所得结果仍然偏高，其原因同瑞利法。202、集中质量法、集中质量法 在计算无限自由度体系的自振频率时，可以用若干个集中质量来代在计算无限自由度体系的自振频率时，可以用若干个集中质量来代替连续分布的质量。关于质量的集中方法有多种，最简单的是静力等效替连续分布的质量。关于质量的集中方法有多种，最简单的是静力等效的集中质量法。的集中质量法。该法既可求基本频率，也可求较高频率。且适用于各类结构。该法既可求基本频率，也可求较高频率。且适用于各类结构。集中质量的数目越多结果越精确，但工作量也就越大。集中质量的数目越多结果
26、越精确，但工作量也就越大。等效原则等效原则：使集中后的重力与原重力互为静力等效，即两者的合力相等。：使集中后的重力与原重力互为静力等效，即两者的合力相等。作作 法：法：将杆分为若干段，将每段质量集中于其质心或集中于两端。将杆分为若干段，将每段质量集中于其质心或集中于两端。lmmEIlmEIlmEIl23222183.88,84.39,87.9:精确解例例15 试用集中质量法求简支梁自振频率。试用集中质量法求简支梁自振频率。21lmmEIlmEIlmEIl23222183.88,84.39,87.9:精确解2lml/3l/34lm4lm,80.9:21mEIl解得(0.7%）l/3l/3l/3l/34lm8lm4lm4lm8lm3lml/3l/3l/36lm6lm3lmmEIlmEIl22212.38,86.9:解得(0.1%）(3.1%）mEIlmEIlmEIl2322216.842.39,865.9:解得(0.05%）(4.8%）(0.7%）22 对于对称刚架，可分别用不同的集中质量方案求出对称振动和反对称振动的自振频率。2llm5.1mm2ll2lm4lmlm5.1lmlm2lm4lm2lmlm2lm22lm1求lm2最小频率对应最小频率对应着反对称振型着反对称振型lm75.02lm
