1、第三章第三章 微分中值定理与微分中值定理与导数的应用习题课导数的应用习题课(三三)导数的应用导数的应用 一、函数的极值与单调性一、函数的极值与单调性 1函数极值的定义函数极值的定义2函数的驻点函数的驻点3函数的单调区间的判别函数的单调区间的判别.)(),()(),(000为为极极小小值值xfxfxfxUx 则则 为为 的驻点。的驻点。0)(0 xf0 x)(xf在在 上，若上，若 ，则单调增加；，则单调增加；(,)a b()0fx 若若 ，则单调减少；，则单调减少；()0fx 为极大值为极大值.)(),()(),(000。xfxfxfxUx 1函数凹凸性定义函数凹凸性定义2函数的拐点函数的拐点
2、2)()()2(),(,212121xfxfxxfbaxx 称曲线为凹的；称曲线为凹的；2)()()2(),(,212121xfxfxxfbaxx 称曲线为凸的。称曲线为凸的。3函数凹凸性的判别函数凹凸性的判别二、函数的凹凸性及拐点二、函数的凹凸性及拐点凹弧与凸弧的分界点凹弧与凸弧的分界点 。)(,(00 xfx0)(xf凹凹；凸。凸。0)(xf1第一充分条件第一充分条件三、函数极值的充分条件三、函数极值的充分条件 则则 在在 处取得极大值；处取得极大值；)(xf0 x则则 在在 处取得极小值；处取得极小值；)(xf0 x（3）若）若 时，时，的符号保持不变，的符号保持不变，),(0 xUx(
3、)fx 则则 在在 处没有极值；处没有极值；)(xf0 x（1）若）若 时，时，0)(xf),(00 xxx 而而 时，时，()0fx ),(00 xxx（2）若）若 时，时，()0fx ),(00 xxx 0)(xf而而 时，时，),(00 xxx2第二充分条件第二充分条件（2）当）当 时，函数时，函数 在在 处取得极小值；处取得极小值；)(xf0 x0()0fx （1）当）当 时，函数时，函数 在在 处取得极大值；处取得极大值；)(xf0 x0()0fx 设函数设函数 在在 处具有二阶导数且处具有二阶导数且 ，)(xf0 x0)(0 xf0)(0 xf那么那么 四、函数图形的性态四、函数图
4、形的性态设函数设函数 在其定义区间在其定义区间 上连续，且除有限个上连续，且除有限个)(xfy ,ba导数不存在的点外，导函数连续，且导数不存在的点外，导函数连续，且 ，1()0fx 3()0fx 4()0fx ，在在 处导数不存在。且处导数不存在。且)(xfy 2x x)(xf )(xf )(xf1,)a x1x12(,)xx2x23(,)xx3x34(,)xx4x4(,xb 不存在不存在00 0 不存在不存在 0 极小极小拐点拐点极大极大拐点拐点 分别研究函数在各个部分区间上单调性、凸凹性、极值及拐点。分别研究函数在各个部分区间上单调性、凸凹性、极值及拐点。1234axxxxb，则可用，则
5、可用 将将 划分，划分，1234,xxxx ,ba五、求函数极值的解题方法五、求函数极值的解题方法求求 的极值的极值()f x 为极大值为极大值1()f x求定义域求定义域D 为驻点为驻点1x变号由正到负变号由正到负求求()fx 1()0fx 1()0fx Yes第一充分条件第一充分条件第二充分条件第二充分条件Yes在在 内求内求 的的驻点及不可导点驻点及不可导点()f xD 为极小值为极小值1()f x 为极值为极值1()f x 为极值为极值 1()f x 在在 变号变号()f x 1()U x 为极小值为极小值1()f x 为极大值为极大值1()f x 非极值非极值1()f xYesNoN
6、oNoNoNo解题方法流程图解题方法流程图 六、典型例题六、典型例题 解解:232210(12186)(496)xxyxxx 2221120()(1)2(496)xxxxx 【例【例1】确定函数】确定函数 的单调区间。的单调区间。3210496yxxx 因为因为 ，故知，故知 的不可导点仅有的不可导点仅有 ,令令 2960 xx y10 x 0y ，得，得 ，。从而有。从而有212x 31x 当当 时，时，故，故 在在 内单调减少；内单调减少；(,0)x 0y y(,0)当当 时，时，故，故 在在 内单调减少；内单调减少；1(0,)2x 0y y(,0)当当 时，时，故，故 在在 内单调增加；
7、内单调增加；0y y1(,1)2x 1,12当当 时，时，故，故 在在 内单调减少；内单调减少；0y y(1,)x 1,)【例【例2】设可微函数】设可微函数 由方程由方程 所确定，所确定，()yf x 33340 xyxy 试确定此函数试确定此函数 的单调区间。的单调区间。()yf x 解解:在方程两边对在方程两边对 求导，得求导，得 ，即，即 x229340 xy yy224931xyy 。令。令 ，得，得 ，。从而有。从而有 0y 123x 223x 当当 时，时，故，故 在在 内单调减少；内单调减少；0y y2(,)3x 2(,)3 当当 时，时，故，故 在在 内单调减少；内单调减少；y
8、2 2(,)3 3x 0y 2 2,3 3 当当 时，时，故，故 在在 内单调减少；内单调减少；y2(,)3x 0y 2(,)3 【例【例3】当】当 时时,0 x221)1ln(1xxxx 证明：设证明：设,1)1ln(1)(22xxxxxf )0(x)1ln(2xx 01ln )0(x故故 在在 上单调增加，而上单调增加，而)(xf),0 ,0)0(f因此因此,0)0()(fxf).,0(x即即,1)1ln(122xxxx ).0(x22211)1ln()(xxxxxxxf 因为因为【例【例4】证明：当证明：当 时，有不等式时，有不等式 .0 x)1ln()1(1xxex 证明：设证明：设
9、,则则 ；)1ln()1(1)(xxexfx 0)0(f)1ln(1)(xexfx 从而从而 在在 内单调增加，即有内单调增加，即有)(xf ),0 因此因此 在内单调增加，于是有在内单调增加，于是有)(xf0)0()(fxf即即 0)1ln()1(1 xxex亦即亦即)1ln()1(1xxex 0)0(f)0(x,011)(xexfx0)0(f)(xf 【例【例5】试确定函数试确定函数 中的中的 ，使得，使得 423 bxaxxyba ,为函数的驻点，点为函数的驻点，点 为函数的拐点，并求出拐点为函数的拐点，并求出拐点.1 x)1(,1(y解：解：，。由于点。由于点baxxy 232axy2
10、6 )1(,1(y为拐点，必有为拐点，必有 ,即即 ，。又点。又点 01 xy026 a3 a1 x为驻点，必有为驻点，必有 ，即，即 ，01 xy063 b9 b从而函数为从而函数为 ，注意到，注意到 49323 xxxy当当 时，时，图形是凸的；，图形是凸的；1 x066 xy当当 时，时，图形是凹的；，图形是凹的；1 x066 xy而而 。故曲线。故曲线 49323 xxxy的拐点为的拐点为 。)7 ,1(71 xy【例【例6】求函数求函数 的极值的极值.71862)(23 xxxxf解：（解：（1）函数的定义域为）函数的定义域为),(（2）22()612186(23)6(3)(1)fx
11、xxxxxx（3）令）令 得驻点得驻点 ；()0fx 123,1xx （4）利用第一充分条件。）利用第一充分条件。当当 时，时，；当；当 时，时，.13x ()0fx 3x ()0fx 同理在同理在 处取得极大值处取得极大值,极大值为极大值为 .1x (1)17f 本题的第四步也可用第二充分条件来判别：本题的第四步也可用第二充分条件来判别：因而因而,函数函数 在在 处取得极小值，极小值为处取得极小值，极小值为 .(3)47f 3x ()f x（4）利用第二充分条件。）利用第二充分条件。()121212(1)fxxx (3)240,(1)240ff 所以，所以，在在 处取得极小值处取得极小值,极
12、小值为极小值为 ;()f x3x (3)47f 【例【例7】求函数求函数 的极值的极值.ln(1)yxx 解：解：函数的定义域函数的定义域 为为D(1,)1111xyxx 令令 ,得驻点得驻点 ,且在且在 内只有一个驻点内只有一个驻点,而无不可导点而无不可导点.0y 0 x D在在 处取得极大值，且极大值为处取得极大值，且极大值为 .(1)17f 1x 021,10(1)xyyx 从而，函数在从而，函数在 处取得极小值，极小值为处取得极小值，极小值为0.0 x 【例【例8】求函数求函数 的极值的极值.232(1)yx 解：（解：（1）函数的定义域）函数的定义域 为为 ;D),(（2）当）当 时
13、时,;当当 时时,不存在不存在.1x 132(1)3yx y 1 x（3）函数在）函数在 内无驻点内无驻点,只有一个不可导点只有一个不可导点 ;D1 x（4）由于在）由于在 内内,函数单调增加函数单调增加;(,1)0y 在在 内内,函数单调减少函数单调减少;1 （，）0y 极大值为极大值为 .12xy 又函数在又函数在 处连续处连续,于是函数在于是函数在 处取得极大值处取得极大值,1 x1 x【例【例9】求函数】求函数 在区间在区间 上的上的xxxf33cossin)(43 ,4 最大值与最小值。最大值与最小值。解解:)sin(cos3cossin3)(22xxxxxf 令令 0)(xf得驻点
14、得驻点,01 x,42 x.23 x将这些点处的函数值将这些点处的函数值,1)0(f,22)4(f1)2(f与区间端点处的函数值与区间端点处的函数值,0)4(f0)43(f进行比较得：进行比较得：),cos(sin2sin23xxx 最大值为最大值为,10 ,22 ,1max M.00 ,22 ,1min m最小值为最小值为【例【例10】要造一圆柱形油罐，体积为】要造一圆柱形油罐，体积为 ,问底半径问底半径 和高和高 等于等于Vrh多少时，才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？多少时，才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？解：由题设可知解：由题设可知 ,其中其中 为常量为常量;hr
15、V2 V,2rVh 表面积表面积 rhrS 222 .222rVr ,24)(2rVrrS 令令 得唯一驻点得唯一驻点0)(rS,23 Vr 322 VVh .2223rV 表面积最小，这时底直径与高的比为表面积最小，这时底直径与高的比为1:1.由实际问题的意义和唯一性可知，当由实际问题的意义和唯一性可知，当 和和 3222 Vrh 32 Vr 解解：),(:D无奇偶性及周期性无奇偶性及周期性.),1)(13()(xxxf).13(2)(xxf列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点凹凸区间及极值点与拐点:,0)(xf.1,31 xx得驻点得驻点令令,0)(xf.31
16、x得特殊点得特殊点令令),0,1(A),1,0(B).85,23(C补充点补充点:【例例11】作函数作函数 的图形的图形.1)(23 xxxxfx)31,(),1()31,31(31)1,31(0311 极大值极大值2732拐点拐点)2716,31(0)(xf)(xf)(xf 极小值极小值0 xyo)0,1(A)1,0(B)85,23(C11 3131 0【例【例12】求抛物线求抛物线 在其顶点处的曲率及曲率半径。在其顶点处的曲率及曲率半径。342 xxy,42 xy,2 y则在则在 处的曲率为处的曲率为)1,2(解：因为解：因为 ,所以顶点为所以顶点为 .1)2(3422 xxxy)1,2(
17、2)01(|2|)1(|232)1,2(232 yyK曲率半径为曲率半径为 211 K【例【例13】对数曲线】对数曲线 上哪一点处的曲率半径最小？上哪一点处的曲率半径最小？xyln 求出该点处的曲率半径。求出该点处的曲率半径。解：解：由题设可得：由题设可得：,1xy 21xy );0(x ;)1()1(1|1|)1(|2322322232xxxxyyK 从而从而32212232)1(2)1(23)1(xxxxxK ;)1(212522xx 令令 得得 (舍去舍去),即在即在 内只有唯一驻点内只有唯一驻点0 K,22 x22 x),0(;22 x此时此时,22ln y由问题的实际意义知，由问题的实际意义知，xyln 上最大上最大曲率的点存在，所以曲率的点存在，所以 是是 上曲率半径最小的点上曲率半径最小的点,)22ln ,22(xyln 且该点处的曲率半径为且该点处的曲率半径为.233)1(22232 xxx 因此因此 上任一点上任一点 处的曲率为处的曲率为),(yxxyln
