1、第二章第二章极限与连续极限与连续 函数是现代数学的基本概念之一，是高等数学的主要研究对象.极限概 念是微积分的理论基础，极限方法是微积分的基本分析方法，因此，掌握、运用好极限方法是学好微积分的关键.连续是函数的一个重要性态.本章将介绍极限与连续的基本知识和有关的基本方法，为今后的学习打下必要的基础.二、数列的有关概念二、数列的有关概念四、小结四、小结三、数列极限的定义三、数列极限的定义第一节第一节 数列的极限数列的极限一、引例一、引例“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1.1.割圆术：割圆术：播
2、放播放刘徽刘徽一、引例R正六边形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面积正十二边形的面积2A正正 形的面积形的面积126 nnA,321nAAAAS二、数列(sequence)的有关概念1 ,1 ,1 ,1 ;)1(1 nny ,1 ,0 ,1 ,0例如例如 16 ,8 ,4 ,2 161 ,81 ,41 ,21;2nny ;21nny 2)1(1nny.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn播放播放三、数列极限的定义三、数列极限的定义(Limit of a sequence)问题问题:当当 无限增大时无限增大时,是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值
3、?如果是如果是,如何确定如何确定?nyn.)(,1111无无限限接接近近于于无无限限增增大大时时当当nynnn问题问题:“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言如何用数学语言刻画它刻画它.1nynnn11)1(1通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:,1001给定给定,10011 n由由,100时时只要只要 n,10011 ny有有,10001给定给定,1000时时只只要要 n,1000011 ny有有,100001给定给定,10000时时只只要要 n,100011 ny有有,0 给定任意给定任意,)1(时时只只要要 Nn.成立成立有有 1ny如果一个数列有极限，我们就
4、称这个数如果一个数列有极限，我们就称这个数列是收敛的，否则就称它是发散的列是收敛的，否则就称它是发散的.注意：注意：;.1的的无无限限接接近近与与刻刻划划了了不不等等式式AyAynn .2有有关关与与任任意意给给定定的的正正数数 N.Ay，Aynn收收敛敛于于亦亦称称为为极极限限以以几何解释几何解释:x1y2y2 Ny1 Ny3y 2 A AA.)(,),(,落落在在其其外外个个至至多多只只有有只只有有有有限限个个内内都都落落在在所所有有的的点点时时当当NAAyNnn .,因因而而也也是是发发散散的的我我们们说说它它是是振振荡荡无无极极限限,时时当当例例如如n;021收收敛敛于于nny;111
5、收收敛敛于于nyn;,所所以以它它是是发发散散的的无无极极限限而而nyn2,)(10211时时而而取取时时而而取取nny例例1.212lim nnn利用定义证明利用定义证明证证2 ny212 nnn1 要要使使对对于于任任意意给给定定的的,0 .1就就可可以以了了只只要要取取 n,11时时则则当当取取正正整整数数NnN 212lim nnn即即,0,对对于于任任意意给给定定的的因因此此.2恒成立恒成立 ny,212,为为极极限限以以所所以以nnyn 不能根据极限的定义求出数列的极限不能根据极限的定义求出数列的极限,只能只能用定义验证某常数是否是某数列的极限用定义验证某常数是否是某数列的极限.注
6、意：注意：11121nnnnxnxnx：,.)(取取奇奇数数时时当当取取偶偶数数时时当当是是发发散散的的数数列列例例四、小结数列数列:研究其变化规律研究其变化规律;数列极限数列极限:极限思想、极限定义、几何意义极限思想、极限定义、几何意义;1.1.割圆术：割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽一、概念的引入1.1.割圆术：割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽一、概念的
7、引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1.1.割圆术：割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1.1.割圆术：割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1.1.割圆术：割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割
8、之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1.1.割圆术：割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1.1.割圆术：割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1.1.割圆术：割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与
9、圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1.1.割圆术：割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn 三、数列的极限.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn三、数列的极限.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn三、数列的极限.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn三、数列的极限.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn三、数列的极限.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn三、数列的极限.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn三、数列的极限.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn三、数列的极限.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn三、数列的极限.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn三、数列的极限.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn三、数列的极限.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn三、数列的极限.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn三、数列的极限谢谢你的阅读v知识就是财富v丰富你的人生
