1、calculus第二章 极限与连续2.1 数列与函数的极限2.2 极限的性质与运算2.3 极限存在准则及两个重要极限2.4 无穷小量的性质与无穷小量的阶2.5 函数的连续性2.6 货币的时间价值calculus2.1 数列与函数的极限一、数列的极限1、数列定义 12(),12 3,nnnnnnxf n nxxxx xx以自然数 为自变量的函数依次取，称为数列，记作其中 称为数列的一般项或通项，数列的展开式为：例如：,1,31,21,1:1)1(nn(1)3 2 5(1)(2):0,2 3 4nnnnnn ，calculus(3)8:8,8,8,8,8,11(4)(1):1,1,1,1,(1),
2、nn(5)2:2,4,6,8,2,nn(6)sin:1,0,3,0,5,sin,22nnnn 数列作为一种特殊的函数（整标函数），具有函数的某些特性，如单调性、有界性等.calculus单调数列:11.nnnnnnxxxxx若对一切自然数，均有（或），则称数列为单调递增（或递减）数列单调递增或单调递减数列统称单调数列nnnnMxxMxMx若存在正数，使得对一切，均有成立，则称数列为有界数列，若这样的正数不存在，就说数列无界。有界数列:calculus121212,nnnnnxMMxMxMMxMx若对于一切，存在常数（或），使得（或）成立，则称为数列的下界为数列的上界.单调递增数列只要有上界则一
3、定有界，单调递减数列只要有下界则一定有界单调且有界的数列称为单调有界数列.calculus2.数列的极限数列的极限由前面的例子有由前面的例子有1(1)nn 数列当 无限增大时，07161514131211x10.n无限接近于常数(1)3 2 5 4 7(2):0,2 3 4 5 6nnnn 数列当 无限增大时 0675423321x452(1).nnn 无限接近于常数1calculus1(1):1,1,1,1,nn 而数列当 无限增大时 88.无限接近于常数(3)8:8,8,8,8,n数列当 无限增大时08x 2 sin1,0,3,0,5,0,72nnnn数列、数列即，当 无限增大时，不能接近
4、某个常数。x110calculus123,l1imnnnnnnnx x xxnxAAnxxAxAnxA 设有数列如果当 无限增大时，无限接近于一个常数，则称常数 为 趋于无穷时数列的极限，也称数列收敛于，记作：或当时，定义：为此,引出数列极限的描述定义.nn （实为，简记为）calculus因此上段中所列举的数列中有11(1)(1)lim0;(2)lim1(3)lim88;nnnnnnn 常数的极限等于常数本身.1(1),2,sin2nnnn如发散1(1),2nn其中振荡发散无穷发散注意注意如果定义中的常数A不存在，则称数列发散或没有极限.nn2lim无穷发散也可记为calculus二、函数的
5、极限二、函数的极限（描述性定义）x)(xf1、时时,函数函数 的极限的极限()()()yf xxf xAAxf x 对于函数，当 无限增大时，相应函数值无限趋近于常数，则称常数 为时，函数的极限，记为lim(),xf xA()().f xAx 或calculuslim arct1an2xx例：22xy01limlim(02)xxxxee例：x0y(0,1)calculus x)(xf2、时时,函数函数 的极限的极限,)(limAxfx()()()yf xxf xAAxf x 对于函数，当 无限减小时，相应函数值无限趋近于常数，则称常数 为时，函数的极限，记为()().f xA x或lim ar
6、ctan23xx 例：22xy0calculusx)(xf 3.时时,函数函数 的极限的极限,)(limAxfx()().f xA x记作记作:注意注意,)(lim)(lim)(limAxfxfAxfxxx或或 对函数对函数 ，当，当 无限增大时，无限增大时，函数值函数值 无限趋近于常数无限趋近于常数A,则称常数则称常数A为为当当 时，函数时，函数 ()f xx()yf x()f xx的极限的极限.calculus如：0lim,lim2arctanlim2arctanlimxxxxxxeexx，因为x0y(0,1)不存在，所以xxxexlimarctanlimcalculus04.()xxf
7、x当时，函数的极限0000()()(),()f xxxxxf xAAxxf x设函数在点 的某去心邻域内有定义,当 无限趋近于但不等于时，相应函数值无限趋近于常数则称 为 趋近于 时，函数的极限.0lim(),xxf xA记作：0().f xAxx或calculus5.左极限000000000(),(0)()()lim()(0)xxf xxxxxxx xxf xAAf xxf xAf xA设函数在点 的左邻域（）内有定义，如果当 从 的左侧无限趋近于（）时，相应函数值无限地接近于常数，则称 为函数在点 处的左极限，记作：或calculus 6.右极限000000000(),(0)()()lim
8、()(0)xxf xxxxxxx xxf xAAf xxf xAf xA设函数在点 的右邻域（，）内有定义，如果当 从 的右侧无限趋近于（）时，相应函数值无限地接近于常数，则称 为函数在点 处的右极限，记作：或下结论：限的定义，能够得出以从函数极限与左、右极AxfxfAxfxxxxxx)(lim)(lim)(lim000calculus例4：22221132)(2xxxxxxxxf设123(1)lim()(2)lim()(3)lim()xxxf xf xf x求12xx（，叫该分段函数的分段点）calculus解：右两侧来求极限必须分左、两侧对应的规则不同的左右在点因为函数,1)()1(xxf
9、22221132)(2xxxxxxxxf,1lim)(lim,0)32(lim)(lim11211xxfxxxfxxxx左极限不等于右极限不存在)(lim1xfx00limxxxxcalculus时的变化趋势无限接近于点当考察函数），必须用左右极限来）类似于（212x22221132)(2xxxxxxxxf,2)22(lim)(lim,2lim)(lim2222xxfxxfxxxx左极限等于右极限.2)(lim2xfxcalculus用左右极限这种情况不需要两侧表达式是相同的，的左右在点函数不同于3)(),2(),1()3(xxf22221132)(2xxxxxxxxf4)22(lim)(li
10、m33xxfxxcalculus0 xx 时函数时函数)(xf的极限是否存在的极限是否存在,与与)(xf在在0 x处是否有定义无关，只与处是否有定义无关，只与 在在 的空心邻域内定义有关的空心邻域内定义有关注意注意例如：例如：函数函数()1f xx在在1x时的极限为时的极限为函数函数21()1xf xx在在1x处的极限为处的极限为函数函数21,1()13,1xxf xxx在在1 x处的极限为处的极限为yAx)(xf0 xcalculus001,0()lim()lim()1,05xxxxf xf xf xxx例求，：11lim)(lim11lim)(lim0000）（）（解：xxfxxfxxxx
11、xyo11calculus作业作业P22：T3；P52：T9(2);T11(1),(2).先看书再做练习calculus三、无穷小量与无穷大量1、无穷小量000()lim()0lim()0()xxxxxxf xf xf xf xxxx 定义:当自变量（或）时，若函数以零为极限，即（或）则称当（或）时为无穷小量calculus例如：0)21(lim,01lim,0sinlim0nnxxxx因为0sin1;1,()2nxxxxn 所以当时，是无穷小量；当时，是无穷小量当时是无穷小量.注注:（1）无穷小量是极限为零的变量,不要把一个很小很小的数说成是无穷小量，常数中只有0是无穷小量.（2）说一个变量
12、为无穷小量，必须指明自变量的变化趋势.(3)单侧也成立.calculus2、无穷大量000()()lim()(lim()xxxxxxf xMf xxxxf xf x 定义:当自变量（或）时，若函数的绝对值大于预先给定的任何正常数，则称当（或）时为无穷大量，记为 或000()()lim()lim()lim()lim()xxxxxxxxxf xf xf xf xf xf x 如果当自变量（或）时，只取正值无限增大，或只取负值而绝对值无限增大，则分别称为正无穷大量或负无穷大量，记作：（或），（或）calculus如例：（1）无穷大量是具有绝对值无限增大这种变化趋势的变量,任何一个绝对值很大的数都不是
13、无穷大量;（2）说一个变量为无穷大量，必须指明自变量的变化趋势.注注:（3）单侧也成立.xy1yxo为正无穷大量时即xxxx10,1lim0为负无穷大量时即xxxx10,1lim0为无穷大量时即xxxx10,1lim0calculus无穷大量与无穷小量的关系()1()0,()1()()f xf xf xf xf x定理：在自变量的同一变化过程中，如果为无穷小量，且则为无穷大量；反之如果为无穷大量，则为无穷小量.calculus注意注意(1)00;是无穷小量，但无穷小量不一定是(2)无穷大量是极限不存在的变量;(3)无穷大量是无界的变量，但无界的变量不一定是无穷大量.sin1,0,3,0,5,0
14、,7,;2nn如即calculus2.2 极限的性质与运算0lim()xxf x定理（唯一性）：若极限存在，则极限值唯一.00lim(),00().xxf xAMmxxmf xM定理（局部有界性）：若则存在实数、和，当时，有1010()Mxxf xM或存在正数、，当，有一、极限的性质 ,.nnxx推论：若数列有极限 则一定有界calculus定理（局部比较性）：).()(0,0)(lim)(lim1)(lim)(lim00000 xgxfxxxgxfxgxfxxxxxxxx时，有当，则必）若（都存在，和设00lim()0(0),00()0(0)xxf xxxf x特别地（局部保号性）若或则，当
15、时，有或.000020,0()()lim()lim()()0lim()0).xxxxxxxxf xg xf xg xg xf x（）若使当时，有则令，有以上性质在其它自变量变化趋势下也成立.calculus二、极限的运算法则00000lim(),lim(),1 lim()()lim()lim()xxxxxxxxxxf xAg xBf xg xf xg xAB定理（极限的四则运算）:若则（）00001212lim()()()lim()lim()lim()nxxnxxxxxxf xfxfxf xfxfx推广到有限个函数有：calculus,)(lim)(lim)()(lim2000BAxgxfxg
16、xfxxxxxx）（00001212lim()()()lim()lim()lim()nxxnxxxxxxf xfxfxf xfxfx推广到有限个函数有：0000lim()lim()()lim()lim()()nnnxxxxxxxxf xf xA nCf xCf xCAC特别的有为正整数为常数calculus)0(,)(lim)(lim)()(lim)3(000BBAxgxfxgxfxxxxxx注注:以上法则对任一自变量变化趋势均成立.0001lim()lim()(lim()0)nnnxxxxxxf xf xAnnf x为正整数,且 为偶数时calculus定理（复合函数的极限）:0000000
17、0()()()lim(),lim(),()()lim()xxuuxxyf g xyf uug xg xuf uAxx xxug xuuuf g xA设是由及复合而成，如果且当 属于（）的某邻域时，属于 的邻域，则00lim()lim()xxuuf g xf uAcalculusxx2sinlim10求例1sinsinlim12lim10uuxx，而解：因为0limsin2sin1xx由定理可得)4sincos3(lim230 xxxx求例4limsinlimcoslim3lim)4sincos3(lim0003030 xxxxxxxxxxx解：00limxxxx1401303calculus2
18、21512limlim5lim)25(lim3113131xxxxxxxx254lim3321xxxx求例）（）（解：25lim4lim254lim3121321xxxxxxxxx2151413225000()(0)lim()()xxxxf xf xf x时有理函数分母极限有calculus39lim423xxx求例3000033300(3)xxxxx解：由于当时，分母的极限等于，因此不能直接运用除法法则；又因为此时分子的极限也是，称这类型的极限为 型未定式或不定式，由于时，所以，故可以约去使分母为的因子，称“去零因子”这种方法为法，因而有23339(3)(3)limlimlim(3)633x
19、xxxxxxxxcalculus11lim521xxxxx求例)1)(1()1)(1(lim11lim00222121xxxxxxxxxxxxxxxx型，所以解：此极限为calculus)1)(1()1(lim21xxxxxxxxxx11lim2121去零因子法calculusxxxxxx735124lim62323求例3,xxx 解：由于当时，分子、分母的极限都不存在，因此不能运用除法法则 实际上当时，分子，分母都是无穷大量，我们称这类型的极限为型未定式，用 同时除以分子、分母，然后再取极限有calculus232323735124lim735124limxxxxxxxxxxx5400500
20、4calculusxxxxxx735124lim72523求例同除分子、分母得型，用解：此极限为5x435322523735124lim735124limxxxxxxxxxxxx050“抓大头抓大头”calculusxxxxxx735124lim82324求例型，解：此极限为利用无穷小量与无穷大量的关系求极限0124735lim124735lim42322423xxxxxxxxxxxx因为xxxxxx735124lim2324所以00aa 类型：（）（常数）calculus综合例68可得有理函数的极限运算公式0 0001011010,lim0nnnmmxma bn manmba xa xanm
21、b xb xbnm设非负整数则calculus1337353lim44）（）（如nnn2223131limlim31(1)xxxxxxcalculus)1()2()(1lim222nanxnaxnaxnn求例9：)1(21)1(21 2)1(1lim)1()2()(1lim222222222nnannaxxnnnanxnaxnaxnnn解：11(12nkkn n）2111(21)6nkkn nn（）calculus6)12)(1()1()1(1lim22annnaxnxnnn)12(16112nnnknk）（）1(211nnknk322aaxxcalculus)1311(lim1031xxx求
22、例型未定式算法则，称此极限为极限不存在，不能用运都是无穷大量，时，解：由于当131113xxx12lim131lim)1311(lim32132131xxxxxxxxxxx去零因子法calculus21(1)(2)lim(1)(1)xxxxxx112lim21xxxxcalculus)1111(lim1131xxx求例型未定式算法则，称此极限为极限不存在，不能用运都是无穷大量，时，解：由于当111113xxx23311231111 1lim()lim111lim1xxxxxxxxxxx 0a（）calculusP63:T7(6),(10);P63:T7(6),(10);P64:T8(3);P6
23、4:T8(3);P94:T2(3),(5).P94:T2(3),(5).作业作业先看书再做练习calculus2.3 极限存在准则及两个重要极限一、极限存在准则及两个重要极限0000()()()()()()lim()lim(),lim()xxxxxxxxxxxxg xf xh xg xh xAf xA定理(夹逼定理）:设在点 的某空心邻域内（或大于某个正数的一切）有且则calculus例例1:)12111(lim222nnnnn求nnnnxn22212111解：设111111111122222222nnnnnxnnnnnnnnnxnn显然有calculus122nnxnnnn即22lim1,l
24、im11nnnnnnn而1limnnx故1)12111(lim222nnnnn即calculus X Sinx/x1.00.50.40.30.20.10.050.010.0050.0010.841470980.958851080.973545860.985067360.993346650.998334170.999983390.999983330.999995830.999999831sinlim0 xxxsin()xxXx中的 化角度制得值180calculus第一个重要极限第一个重要极限:0sin lim1.xxx应用夹逼定理可以证得应用夹逼定理可以证得.注意注意区别这里,0 xsinli
25、m0.xxx（用夹逼定理可得）.1sinlim 0uuu，变量用何字母表示无妨)00(calculus例例2:xxxtanlim0求解解:.1cos1sinlimcossinlim 00 xxxxxxxx原式例例3:的常数求0sinlim0kxkxx解解:.sinlimsinlimsinlim 000kttkkxkxkkxkxktkxtxx原式此处变量代换过程可省略，故有下面推广.calculus推广推广:00()()sin()lim1(lim()0)()xxxxxxxxx注意注意(1)上下形式要一致;(2)凑的形式在所给自变量的变化趋势下的趋向要与重要极限的趋向一致即趋于0.calculus
26、例例4:xxx3sin2sinlim0求解解:32333sin222sinlim3sin2sinlim00 xxxxxxxxxx例例5:xxxsinlim计算解解:sinsin()limlim(1)1xxxxxx calculus例例6:01 coslimsinxxxx计算 1cos22cossin212cos22xxxx2200022sinsin1 cos1122limlimlimsinsinsin22()2xxxxxxxxxxxxx解：22001 cossinlimlimsin(1 cos)sin(1 cos)xxxxxxxxxx或原式0sin11lim1cos2xxxxcalculus求
27、下列各组极限求下列各组极限xxxxxx1sinlim1sinlim10，）（xxxxxxsin1limsin1lim20，）（解解答答000011 lim sin0111sin10,sin,lim=lim()=0,1limsin0 xxxxxxxxxxxxxxxx （），时由夹逼定理知calculus000010sinlim=lim()=0,11limsin0,lim sin01sin1lim sinlim11xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx时，由夹逼定理知故001sin2 limsinlim11limsin0 xxxxxxxxx（），（由夹逼定理可得）calculus定理：单调有界
28、数列必有极限为极限以发生，故必有数列能，因而第一种情况不可，使对一切上界，即存在常数，如图，若递增数列有一定点）无限趋近于，（）移向无穷远，或者，（种可能，或者点列向右移动，这时只有两的增大而轴上对应的随着递增数列为例，它在数调显然成立的，不妨以单这个结论从几何上看是axMxnManxnxnnnnn2121anx1x2xMcalculus例例7:aax2由于12,0nxaxaaxaaaa已知，limnnx求 解：先证数列存在极限解：先证数列存在极限11axax21axax3xaaa22axx1kknkxx设当时，1kkaxax则有1kkxaxakkxx1 由数学归纳法知由数学归纳法知xn为单调
29、递增数列为单调递增数列 calculus 又由于 11xaa112aaxax12)(2aa2)1(a1a1kxa假设11aaxaxkk112aaa 由数学归纳法知xn有上界,所以xn单调递增且有界，故 n 时，极限存在.calculus 再求极限limnnxI设1limnnxI有1nnxax12nnxax2nIaI 当时，20IIa1141(114)22aIa（）0,0,nxI由保号性知1(114)02a 舍去11lim1422nnxa故calculus1lim(1)xxex第二个重要极限第二个重要极限:10lim(1)xxxe1.幂指函数幂指函数;2.底数是底数是1与无穷小量之和与无穷小量之
30、和;指数与底数中的无穷小量成颠倒关系指数与底数中的无穷小量成颠倒关系.特点特点利用准则利用准则2,可以证明第二个重要极限可以证明第二个重要极限1lim(1)nnen型)1(推广推广:01()()lim 1()xxxxxe0()(lim()0)xxxx0()()1lim 1()xxxxex 0()(lim()xxxx 注意注意(1),(2)同前同前calculus例例8:xxx)21(lim求1lim(1)xxex22221lim(1)lim(1)2xxxxexx解：例例9:1)21(limxxxx)21()21(lim)21(lim1xxxxxxxxxx解：122211(1)(1)11liml
31、imlim12222(1)(1)xxxxxxxxxexxexxexx calculus例例10:2)1(lim22xxxx 1122211lim)1(lim22exxxxxxx）（解：例例11:xxx10)1(limetxtttxxx)11(lim)1(lim110解：calculus2.4 无穷小量的性质与无穷小量的阶无穷小量的性质与无穷小量的阶一、无穷小量的性质一、无穷小量的性质001()()()()xxxf xg xxxxf xg x 性质：当（或）时，如果和都是无穷小量，则当（或）时，也是无穷小量.推论：有限个无穷小量的代数和还是无穷小量.注意注意无数个无穷小量的代数和不一定是无穷小量
32、.222221211(1)1lim()lim(12)lim22nnnnn nnnnnnncalculus002()(),()()xxxf xg xxxxf xg x 性质：当（或）时，如果和都是无穷小量 则当（或）时，也是无穷小量.推论：有限个无穷小量的乘积是无穷小量003(),()()()xxxf xg xxxxf xg x 性质：当（或）时，如果是无穷小量是有界函数，则当（或）时，是无穷小量.推论：常数与无穷小量的乘积是无穷小量.calculuss12inlimxxx例求xxxxxxsin1limsinlim解：1sin,01limxxx而0sinlimxxx01lim sin0 xxxc
33、alculus352513:lim(2cos3sin)323xxxxxxx例求3525lim0323|2cos3sin|6xxxxxxx解：，0)sin3cos2(32352lim53xxxxxxxcalculus004()()()xxxf xAf xAxxxxx 性质：当（或）时，函数以为极限的充分必要条件是：其中（）是当（或）时的无穷小量.lim arctanarctan()22xxxx例如，()arctan,2lim()lim(arctan)02arctan().2xxxxxxxx显然 令则反之也成立calculus求下列极限求下列极限11cos)1(lim)1(21xxx2sinlim
34、)2(3xxxx21(3)lim5,1xxaxbabx设求，解解答答时当解1)1(x：0)1(2x111cosx011cos)1(lim21xxxcalculus02112)2(323xxxxx时当1sinx02sinlim3xxxx(3)51lim,0)1(,121xbaxxxxx而0()()00a0)(lim0021baxxx型，即此极限只能是01ba 得ba1xbaxxx1lim21xbxbxx1)1(lim21xbxxx1)(1(lim151)(lim1bxbx76 abcalculus作业作业P71:T2(3),(5);P71:T2(3),(5);T3(1),(3);T3(1),(3
35、);P77:T1(2),(3).P77:T1(2),(3).先看书再做练习calculus作业讲评作业讲评时为无穷小量当则?)(0)(lim?xxfxfx时为无穷大量当则）（?)()(lim?xxfxfxxylnx0yxyln10lnlim1xx.1)(时为无穷小量当 xxfxxlnlimxxlnlim0.0,)(时为无穷大量当xxxf0coslim2lim2coslim33xxxxxxxxx？首先要正确的识别题型，书写时极限号不首先要正确的识别题型，书写时极限号不可少写也不可多写。可少写也不可多写。calculus二、无穷小量的阶二、无穷小量的阶000()()()()0()1lim0,()(
36、)()()()xxxxxxf xg xg xf xxxxg xf xg xf xo g x 定义：当（或）时，和都是无穷小量，且，（）若则称当（或）时，是比高阶的无穷小量，记作；00()()2lim,()()()xxxf xxxxg xf xg x （）若则称当（或）时，是比低阶的无穷小量；calculus00()00()3lim0,()()()1()()()()().xxxf xcxxxg xf xg xcxxxf xg xf xg x xxx （）若则称当（或）时，与是同阶无穷小量.特别的，当时，则称当（或）时，与是等价无穷小量，记作：或注意注意映变量趋于零的速度无穷小量阶的意义：反0li
37、mxxxf xg x（）（）不是任何两个无穷小量都可进行比较，当（）不存在又不等于 时，这两个无穷小量不可比.calculus202sintanxxxxxx例如:当时，、都是无穷小量02lim20 xxx)2(02xoxx时，202.xxx它表示:当时，趋于零的速度比快20limxxx20.xxx当时，是比 低阶的无穷小量20.xxx它表示:当时，趋于零的速度比 慢22lim0 xxx02.xxx当时，与 为同阶无穷小量02.xxx它表示:当时，趋于零的速度与相近calculus1sinlim0 xxx1tanlim0 xxx0sinxxx 时，xx tan0 x 它表示:当时，sin xx趋
38、于零的速度与 相同tan xx趋于零的速度与 相同calculus例例13:xxx)1ln(0 时，证明当xxxxxx100)1ln(lim)1ln(lim证明：1lnlnlim)1(lim10euexeuxx，而1)1ln(lim10 xxx可得由复合函数求极限法则1)1ln(lim0 xxx即xxx)1ln(0时，当calculus例例14:xexx10 时，证明当ttttxettetxxx)1ln(1lim)1ln(lim1lim0010证明：0113lim1xxex利用例 的结果知xexx10时，当calculus例例15:nxxxn110 时，证明当1)1(lim11lim110nt
39、xtnxttnnxxn证明：123221()()nnnnnnnabab aabababb11lim211nnttnnntnxxxn110时，当calculus常用的等价无穷小量常用的等价无穷小量20sin,tan,arcsin,arctan,1 cos,11,2ln(1),1nxxxxxxxxxxxxxxnxxex当时，10,lnln1(1)11ln1xxxxxxx 时，1x 例如当时calculus三、应用等价无穷小量代换求函数的极限三、应用等价无穷小量代换求函数的极限0000()()()()lim()(),lim()()lim()()xxxxxxxxxxxxf xg xf xg xf x
40、h xAg x h xf x h xA（）（）（）定理：若当（或）时，与是无穷小量，且，则00000()()()()()0()lim()()lim()()1,()lim()()lim()()xxxxxxxxxxxxxxxf xg xf xg xf xg xg x h xf x h xAAf xg x h xf x h xA （）（）（）（）证明：当（或）时，与是无穷小量，且，于是故calculus0000()()()()()()()()()()()()()()lim,limlim()()()xxxxxxxxxxxxf xg xh xs xf xg xh xs xg xf xg xAAs xh
41、xs x 若当（或）时，、都是无穷小量，且，则在某些情况下用此法可简化运算在某些情况下用此法可简化运算.例例16:0arctanlimarcsinxxx求0arctan,arcsinxxxxx解：当时，1limarcsinarctanlim00 xxxxxxcalculus例例17:11sin1lim20 xxexx求011nxxxn，221sin211sin10 xxxxxx 时，当解：0,1xxex212xex2121lim11sin1lim22002xxexxxxxcalculus)1ln()cos1(2sin)1(lim20 xxxexx求例例18:xxxxxxxexx)1ln(,2c
42、os1,22sin,10222 时，当解：122lim)1ln()cos1(2sin)1(lim22002xxxxxxxexxxcalculuscos()cos(2)xxxexe解:20)2cos()cos(limxxexexxx例例19:312sin()sin()22xxxexe 312sin()sin()22xxxexe时当0 x33sin()22xxxexe11sin()22xxxexe20)2cos()cos(limxxexexxx20312sin()sin()22limxxxxexex2031222limxxxxexex23calculus补充三角函数的和差化积与积化和差补充三角函数
43、的和差化积与积化和差)1(2cos2sin2sinsin yxyxyx)2(2sin2cos2sinsin yxyxyx)3(2cos2cos2coscos yxyxyx)4(2sin2sin2coscos yxyxyx)5()sin()sin(21cossin)6()sin()sin(21sincos)7()cos()cos(21coscos)8()cos()cos(21sinsincalculus应用等价无穷小量代换可简化求极限的运算，但要注意遵循相应定理的条件.30ta20nsinlimxxxx例求xxxxxsin,tan0时，当 解：以下解法是错误的0limsintanlim3030
44、xxxxxxxx0lim0tansinxxxxxcalculus正确的解法是：21coslimcos)cos1(sinlimsintanlim3203030 xxxxxxxxxxxxxx注意注意变量乘除关系可用无穷小量代替，其它运算关系用无穷小量代替尤其要慎重.calculus2.5 函数的连续性000000()()()()()()()yf xxxxf xf xxxxxxxf xf xyyf xf x 定义：设函数当自变量 由初值 变到终值 时，相应的函数值也由变到，则称为自变量的增量（或改变量），记为，即，称为函数的增量（或改变量），记为，即一、函数的增量0000,()()xxxyf xxf
45、 xxyx 因为所以当 固定时是的函数calculus301(1)(1)yxxxyfxf 例如：函数当自变量在处有改变时，相应函数的改变量332(1)1()3()3xxxxx 是的函数注意注意0 x 自变量的改变量可正可负，但函数的改变量可正可负，也可以等于0calculus二、函数的连续性I.函数在某点处的连续性0000000()lim0,()()xyf xxxyyf xxxyf xxx 定义：设函数在点 的某邻域内有定义，若在点 处有极限：则称函数在点 处连续，是连续点.否则，称在点 处不连续，是间断点.calculus00000000lim00lim()()0lim()lim()0 xx
46、xxxxxyxxxxxf xf xf xf x 由（，）0000lim()()0lim()()xxxxf xf xf xf x有000lim0lim()()xxxyf xf x calculus0()yf xx函数在点 处连续的定义也可写成下面形式：0000()lim()()().xxyf xxf xf xyf xx定义：设函数在点 的某邻域内有定义，若则称函数在点 处连续00000()1()2 lim()3 lim()()xxxxyf xxyf xxf xf xf x由定义知函数在点 处连续的三个条件：（）在点 的某邻域内有定义（）存在（）calculus处的连续性讨论下列函数在点0 x01
47、01212)()20111010)1ln()()111xxxfxxxxxxxxxfxx例例1:calculus1解：）,1)0(f)(lim0 xfx1lim)1ln(lim00 xxxxxx0lim()xf x0011lim2lim1(11)xxxxxxxxx)0(1)(lim0fxfx于是()0f xx在点处连续calculus）211210()2110 xxxf xx,1)0(f)(lim0 xfx10lim 2xx 11001lim 2lim20 xxxx,110101212lim110 xxx)(lim0 xfx,101012121lim1212lim110110 xxxxxx)(l
48、im0 xfx)(lim0 xfx不存在)(lim0 xfx()0f xx 故在点处不连续calculus例例2:00()0lim()lim()(0)xxf xxf xf xf解：在点处连续，02sin01011sin)(xaxxxxxxxf设)(lim0 xfxa，x求处连续在001lim(sin1)xxx1)(lim0 xfx02 sin2lim()22xxaax12a1acalculus解：1()lim1txtxtef xe例设3：()0f xx 求的表达式并讨论在点处的连续性.0 x 当时1()lim1txtxtef xetxtxtee11lim10 x 当时1()lim1txtxte
49、f xe10 x 当时001()limlim 001ttef xe)(xf10 x00 x10 x00lim()lim(),()0 xxf xf xf xx在点处不连续.calculus注意注意0000()lim()lim()()xxxxf xxf xf xf xx函数在 处连续，则一定存在，但存在时，在 处不一定连续.calculus000000000()(,(,),lim()()(lim()()().(0)xxxxf xxxx xf xf xf xf xf xx定义：设函数在区间或上有定义 若或则称函数在 处左连续（或右连续）II.函数在某区间的连续性00000lim()()lim()li
50、m()()xxxxxxf xf xf xf xf x0()()f xxf x显然在点 处连续的充要条件是0 x在点 处既左连续，又右连续.calculus()()()()()()()()f xabf xabf xababf xabf x定义：如果函数在开区间，内任一点都连续，则称函数在开区间，内连续.如果函数在开区间，内连续，且在点右连续，在点 左连续，则称函数在闭区间，上连续，而称函数为相应区间上的连续函数.calculus例例3:在定义域内连续证明xysin则相应的函数的处取得增量值在若自变量证明：,),(00 xxxx)2cos(2sin2sin)sin(000 xxxxxxy增量为0)
