1、目录 上页 下页 返回 结束 一、多元函数的极值一、多元函数的极值 二、最值应用问题二、最值应用问题 三、条件极值三、条件极值 多元函数微分法的应用多元函数微分法的应用极值条件极值极值条件极值目录 上页 下页 返回 结束 一、一、多元函数的极值多元函数的极值 定义定义:若函数则称函数在该点取得极大值例如例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.),(),(00yxfyxf),(),(00yxfyxf或2243yxz22yxzyxz),(),(00yxyxfz在点的某邻域内有xyzOxyzOxzyO(极小值
2、).目录 上页 下页 返回 结束 提示提示:由题设 例例1.已知函数(D)根据条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.则()0,0(),(在点yxf的某个邻域内连续,且.),()0,0()(的极值点不是点yxfA,1)(),(lim22200yxyxyxfyx.),()0,0()(的极大值点是点yxfB.),()0,0()(的极小值点是点yxfC0lim,1)(),(00222yxyxyxyxf其中222222)()(),(yxyxyxyxf确定的正负由的邻近，在yxyxf),()00(A(2003 考研)目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:使偏导数都为 0 的点称为驻点.例如
3、,定理定理1(必要条件)函数偏导数,证证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.0),(,0),(0000yxfyxfyx取得极值,取得极值取得极值 但驻点不一定是极值点.有驻点(0,0),但在该点不取极值.且在该点取得极值,则有),(),(00yxyxfz在点存在),(),(00yxyxfz在点因在),(0yxfz 0 xx 故在),(0yxfz 0yy yxz 目录 上页 下页 返回 结束 时,具有极值定理定理2(充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,令则:1)当A0 时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数的在点),(),(00yxyxfz 0)
4、,(,0),(0000yxfyxfyx),(,),(,),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02 BAC02 BAC02 BAC且目录 上页 下页 返回 结束 例例2.2.求函数解解:第一步第一步 求驻点求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).第二步第二步 判别判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组ABC),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的极值.求二阶偏导数,66),(xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC5)0,1(f,0Axyxyxyxf933),(2233目录 上页 下
5、页 返回 结束 在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.,66),(xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3(f6,0,12CBA31)2,3(f,0)6(122 BAC,0A在点(1,2)处不是极值;6,0,12CBA)2,1(f,0)6(122 BACABC目录 上页 下页 返回 结束 例例3.讨论函数及是否取得极值.解解:显然(0,0)都是它们的驻点,在(0,0)点邻域内的取值,因此 z(0,0)不是极值.因此,022时当 yx222)(yxz0)0,0(z为极小值.正正负负033yxz222)(yxz在点(0,0
6、)并且在(0,0)都有 02 BAC33yxz可能为0)()0,0()0,0(222yxzOxyz目录 上页 下页 返回 结束 二、最值应用问题二、最值应用问题函数 f 在闭域上连续函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点边界上的最值点特别特别,当区域内部最值存在,且只有一个只有一个极值点P 时,)(Pf为极小值)(Pf为最小值(大大)(大大)依据目录 上页 下页 返回 结束 三、条件极值三、条件极值极值问题无条件极值:条 件 极 值:条件极值的求法:方法方法1 代入法代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其他条件限制例如,转化,0),(下在
7、条件yx的极值求函数),(yxfz)(0),(xyyx 中解出从条件)(,(xxfz目录 上页 下页 返回 结束,0),(下在条件yx方法方法2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.分析：分析：如方法 1 所述,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极故极值点必满足记.),(的极值求函数yxfz 0),(yx设,)(xy)(,(xxfz例如例如,值问题,0ddddxyffxzyx,ddyxxy因0yxyxffyyxxff故有目录 上页 下页 返回 结束 引入辅助函数辅助函数F 称为拉格朗日(Lagrange)函数.0 xxxfF0yyyfF0F利用拉格极值点必满足0 xxf0yyf0),(yx则极值点满
8、足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.),(),(yxyxfF目录 上页 下页 返回 结束 推广推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.设解方程组可得到条件极值的可疑点.例如例如,求函数下的极值.在条件),(zyxfu,0),(zyx0),(zyx),(),(),(21zyxzyxzyxfF021xxxxfF021yyyyfF021zzzzfF01F01F目录 上页 下页 返回 结束 例例.要设计一个容量为0V则问题为求x,y,令解方程组解解:设 x,y,z 分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.z 使在条件xF02zyyzyF02zxxzzF0)(2yxyxF00Vzyx水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱,0VzyxyxzyzxS)(2)()(20VzyxyxzyzxFxyz试问目录 上页 下页 返回 结束 得唯一驻点,2230Vzyx3024V由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.因此,当高为,340Vxyz思考思考:1)当水箱封闭时,长、宽、高的尺寸如何?提示提示:利用对称性可知,30Vzyx2)当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时,欲使造价 应如何设拉格朗日函数?长、宽、高尺寸如何?提示提示:)()(20VzyxyxzyzxF目录 上页 下页 返回 结束
