1、第 7 讲 数列求和与数列综合应用 第第 7 7 讲讲 数列求和与数列综合应用数列求和与数列综合应用 主干知识整合 第第 7 7 讲讲 主干知识整合主干知识整合 数列求和常用的方法 (1)公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式特别提示：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论；常用公式：123n12n(n1)，(2)分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和 第第 7 7 讲讲 主干知识整合主干知识整合 (3)倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，
2、发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前 n 项和公式的推导方法)(4)错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法(这也是等比数列前 n 项和公式的推导方法)(5)裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和(6)通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和 要点热点探究 第第 7 7 讲讲 要点热点探究要点热点探究?探究点一 数列求和 例 1 等比数列的首项为 a，公比为 q，Sn为前 n 项的和，则 S1S2Sn_.【答案】【答案】?n?n1?2a，q1，na1
3、qaq?1qn?1q?2，q1.第第 7 7 讲讲 要点热点探究要点热点探究【解析】【解析】当 q1 时，ana，Snna，S1S2Sn(12n)an?n1?2a；当 q1 时，第第 7 7 讲讲 要点热点探究要点热点探究 Sna?1qn?1q，S1S2Sn a1q(1q)(1q2)(1qn)a1qn(qq2qn)a1q?nq?1qn?1q na1qaq?1qn?1q?2.【点评】【点评】等比数列an求和时必须注意：(1)当条件中注明 q1(或 q1 没有意义)时，可直接使用公式Sna1?1qn?1q；(2)当 q1 有意义时，应分成两种情况：当 q1 时，Snna1；当 q1 时，Sna1?
4、1qn?1q.第第 7 7 讲讲 要点热点探究要点热点探究 已知 log3x1log23，则 xx2x3xn的前 n 项和为_【答案】112n 第 7 7 讲 要点热点探究 【解析】由 log3x1log23?log3xlog32?x12.由等比数列的求和公式得 Snxx2x3xnx?1xn?1x12?112n112112n.第 7 7 讲 要点热点探究 第 7 7 讲 要点热点探究?探究点二 数列与其他知识的综合问题 例 2 在直角坐标平面上有一点列P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，Pn(xn，yn)，对一切正整数 n，点 Pn位于函数y3x134的图象上，且 Pn的横坐标构成以52为
5、首项，1为公差的等差数列 xn(1)求点 Pn的坐标；第第 7 7 讲讲 要点热点探究要点热点探究(2)设抛物线列 c1，c2，c3，cn，中的每一条的对称轴都垂直于 x 轴，第 n 条抛物线 cn的顶点为 Pn，且过点 Dn(0，n21)，设与抛物线 cn相切于 Dn的直线的斜率为 kn，求：1k1k21k2k31kn1kn；(3)设 S?x|x2xn，nN*，Ty|y4yn，nN*，等差数列an的任一项 anST，其中 a1 是 ST 中的最大数，265a10125，求an的通项公式 第 7 7 讲 要点热点探究 【解答】(1)xn52(n1)(1)n32，yn3xn1343n54，Pn?
6、n32，3n54.第第 7 7 讲讲 要点热点探究要点热点探究(2)cn的对称轴垂直于 x 轴，且顶点为 Pn.设 cn的方程为ya?x2n32212n54，把 Dn(0，n21)代入上式，得 a1，cn的方程为 yx2(2n3)xn21.kny|x02n3，1kn1kn1?2n1?2n3?12?12n112n3，1k1k21k2k31kn1kn121517171912n112n3 12?1512n311014n6n110n15.(3)Sx|x(2n3)，nN*，Ty|y(12n5)，nN*y|y2(6n1)3，nN*，STT，T 中最大数 a117.第第 7 7 讲讲 要点热点探究要点热点探
7、究 设an公差为 d，则 a10179d(265，125)，由此得 2489d12，又anT，d12m(mN*)，d24，an724n(nN*)【点评】本题是数列与解析几何问题综合，难度较大，近三年江苏对数列的考查很少与其他知识交汇，数列与其他知识交融是命题的冷点，复习时仍要关注 第 7 7 讲 要点热点探究 第 7 7 讲 要点热点探究?探究点三 数列中的探索性问题 例 3 已知负数 a 和正数 b，令 a1a，b1b，且对任意的正整数 k，当akbk20 时，有 ak1ak，bk1akbk2；当akbk2bn1？请说明理由(3)若对任意的正整数 n，都有 b2n1b2n，且 b2nb2n1
8、，求bn的表达式 第 7 7 讲 要点热点探究 【解答】(1)当akbk20 时，bk1ak1akbk2akbkak2；当akbk2bn1，即 anan1.所以 anan1a1a，又 bnan(ba)?12n1，所以 bna(ba)?12n1，又anbn20，即 a(ba)?12n0，即 2naba，因为aba是常数，故 2naba不可能对任意正整数 n 恒成立 故不存在 a，b，使得对任意的正整数 n 都有 bnbn1.(3)由 b2n1b2n，可知 a2n1a2n，b2na2n1b2n12，所以 b2na2nb2n12，即 b2nb2n1(b2na2n)(ba)?122n1.又 b2nb2
9、n1，故 b2n1b2n1(b2na2n)(ab)?122n1，第第 7 7 讲讲 要点热点探究要点热点探究 b2n1(b2n1b2n3)(b2n3b2n5)(b3b1)b1(ab)?122n3?122n5?121b(ab)12?1?14n1114b23(ab)?1?14n1b.当 n 为奇数时，令n2m1，可得 bnb2m123(ab)?1?14m1b23(ab)?1?12n1b，第第 7 7 讲讲 要点热点探究要点热点探究 当 n 为偶数时，可得 bnbn123(ab)?1?12nb，故 bn?23?ab?1?12n1b，?n为奇数?，23?ab?1?12nb，?n为偶数?.第第 7 7
10、讲讲 要点热点探究要点热点探究【点评】【点评】对于数列中的探索性问题，和解决其他探索性问题一样，需要从特殊情况出发，经过观察、试验、类比、归纳证明一般性结论 第第 7 7 讲讲 要点热点探究要点热点探究 第 7 7 讲 要点热点探究?探究点四 数列应用题 例 4 公民在就业的第一年就交纳养老储备金a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加 d(d0)，历年所交纳的储备金数目 a1，a2，是一个公差为 d 的等差数列与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利如果固定年利率为 r(r0)，那么，在第 n 年末，第一年所交纳的储备金就变为 a1(1r)n1，第二年所交纳的储备金就变
11、为 a2(1r)n2，.以 Tn表示到第 n 年末所累计的储备金总额 求证：TnAnBn，其中An是一个等比数列，Bn是一个等差数列 第第 7 7 讲讲 要点热点探究要点热点探究【解答】【解答】T1a1，对 n2 反复使用上述关系式，得 TnTn1(1r)anTn2(1r)2an1(1r)an a1(1r)n1a2(1r)n2an1(1r)an，在式两端同乘 1r，得(1r)Tna1(1r)na2(1r)n1an1(1r)2an(1r)，得 rTna1(1r)nd(1r)n1(1r)n2(1r)an dr(1r)n1ra1(1r)nan.即 Tna1rdr2(1r)ndrna1rdr2.第第
12、7 7 讲讲 要点热点探究要点热点探究 如果记 Ana1rdr2(1r)n，Bna1rdr2drn，则 TnAnBn.其中An是以a1rdr2(1r)为首项，以 1r(r0)为公比的等比数列；Bn是以a1rdr2dr为首项，dr为公差的等差数列 第第 7 7 讲讲 要点热点探究要点热点探究【点评】【点评】数列在实际生活中有着广泛的应用，同时也是高考考查的重要内容解决实际问题建立数列模型主要有：(1)等差数列模型；(2)等比数列模型；(3)等差等比综合运用模型 运用数学知识和数学方法解决生产和生活实际问题是数学社会功能化的需要环境保护，生态平衡越来越成为人们关注的热点之一，也必然成为高考的热点问
13、题之一，本题具有一定的生活背景和文化背景，对学生要求既要有坚实的基础知识，又要有良好的思维能力和分析、解决问题的能力 第第 7 7 讲讲 规律技巧提炼规律技巧提炼 规律技巧提炼 1方程思想：等差(比)数列的通项公式，数列的求和公式都是等式，可以说，数列的学习离不开方程由于数列与方程之间存在着这种“天然”的联系我们自然就想到了用方程的思想来解数列问题 第第 7 7 讲讲 规律技巧提炼规律技巧提炼 2函数思想：数列是一种特殊的函数，它的定义域是N*或 N*的子集1,2,3，n，其图象是一群孤立的点利用函数的思想研究数列常常能收到事半功倍的效果例如：公差不为 0 的等差数列an的通项公式 ana1(
14、n1)ddn(a1d)是关于 n 的一次函数，因此，可以利用一次函数 ykxb 的性质研究等差数列的通项问题，其中kd，ba1d；等差数列的前 n 项和公式 Snna1n?n1?d2是关于 n 的二次函数，且Snn是关于 n 的一次函数，因此，可以利用二次函数 yax2bxc 其中 ad2，ba1d2，c0 或一次函数 ykxb 的性质研究有关等差数列的前 n 项和的问题 第第 7 7 讲讲 江苏真题剖析江苏真题剖析 江苏真题剖析 2010江苏卷 设各项均为正数的数列 an的前 n 项和为Sn，已知 2a2a1a3，数列 Sn是公差为 d 的等差数列(1)求数列an的通项公式(用 n，d 表示
15、)；(2)设 c 为实数，对满足 mn3k 且 mn 的任意正整数m，n，k，不等式 SmSncSk都成立求证：c 的最大值为92.第第 7 7 讲讲 课本挖掘提升课本挖掘提升【解答】【解答】(1)由题意知：d0，Sn S1(n1)d a1(n1)d，2a2a1a3?3a2S3?3(S2S1)S3,3(a1d)2a1(a12d)2，化简，得：a12 a1dd20，a1d，a1d2.Snd(n1)dnd，Snn2d2，当 n2 时，anSnSn1n2d2(n1)2d2(2n1)d2，适合 n1 的情形 故 an(2n1)d2.第第 7 7 讲讲 课本挖掘提升课本挖掘提升(2)(方法一)Sm Sn
16、cSk?m2d2 n2d2ck2d2?m2 n2ck2，c(mn)29k2?m2n2k292，故 c92，即 c 的最大值为92.第第 7 7 讲讲 课本挖掘提升课本挖掘提升(方法二)由 a1d 及 Sn a1(n1)d，得 d0，Snn2d2.于是，对满足题设的 m，n，k，mn，有 SmSn(m2n2)d2?mn?22d292d2k292Sk.所以 c 的最大值 cmax92.第第 7 7 讲讲 课本挖掘提升课本挖掘提升 另一方面，任取实数 a92.设 k 为偶数，令 m32k1，n32k1，则 m，n，k 符合条件，且 SmSn(m2n2)d2d232k1232k1212d2(9k24)
17、于是，只要 9k2422a9时，SmSn12d22ak2aSk.所以满足条件的 c92，从而 cmax92.因此 c 的最大值为92.【点评】【点评】本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力 高中代数这台戏，如果认定函数为其主演，数列为其特演，那么不等式则是当之无愧的伴演函数和数列试题是彰显的，一看题目，就能判断它是不是一个函数或数列考题，不等式则不尽其然，它往往是隐藏的、渗透的，有时要解到题目最后才(回头)发现它是不等式问题数列与不等式交汇常以压轴题的形式出现，试题主要涉及到导数、函数等知识考查知识重点和热点是数列的通项公式、前 n 项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、归纳与猜想、大小比较、参数取值范围的探求 数列与不等式的结合应主要关注以下几点：求有数列参与的不等式恒成立问题；数列参与的不等式的证明问题；求数列中的最大值问题；数列与不等式结合的探索性问题 第第 7 7 讲讲 课本挖掘提升课本挖掘提升
