1、一、一、函数项级数的函数项级数的定义定义),(,),(),(21xuxuxun)(1xunn 上上定义于定义于,ba.,上函数项级数上函数项级数称为称为ba,的的函函数数列列二、二、函数项级数的函数项级数的敛散性敛散性,)(,100收收敛敛若若给给定定 nnxubax,.a ba ba b如果级数在的每点收敛称上收敛上级数或逐点收敛在称函数项级数称函数项级数 在在点点 收敛收敛；0 x反之，称函数项级数在反之，称函数项级数在点点 发散发散。0 x)(1xunn 是数项级数。是数项级数。0,a bx在上任取一点01()nnux收敛点的全体称为该级数的收敛点的全体称为该级数的收敛点集；收敛点集；0
2、.x 使得函数项级数收敛的点收敛点发散点的全体称为该级数的发散点的全体称为该级数的发散点集。发散点集。例例1.1.021nnnxxxx解：解：.,1 ;,1级数发散级数发散时时级数收敛级数收敛时时当当 xx);1,1(:收敛点集收敛点集).,11,(:发散点集发散点集三、和函数三、和函数1,()(),nnDS xux xD内 定集在敛点义收.称为和函数 ()lim(),nnS xSxxD即(1)(1)1?)()(,)(nnnxuxSxu是否连续是否连续连续连续可导可导可积可积?可导可导?可积可积(2)(2)11()()()nnnknkuxSxux设函数项级数的部分和序列为 :)(的三个等价问题
3、的三个等价问题转化为函数列转化为函数列xSn?)(lim)(,)(是否连续是否连续连续连续xSxSxSnnn 可导可导可积可积?可导可导?可积可积P392.反例见反例见四、四、函数项级数的函数项级数的性质性质？10.2 10.2 一致收敛一致收敛一、函数列的一致收敛一、函数列的一致收敛函数列的逐点收敛函数列的逐点收敛 收敛收敛定义于定义于)(,00 xfbaxbafnn .,上上收收敛敛或或逐逐点点收收敛敛在在称称bafn.,),()(lim000baxxfxfnn 即即,fbafn逐点收敛于逐点收敛于在在设设,),(,0),(,000时时当当 xNnxN ,0baxNnN 时时对对一一切切是
4、是否否有有公公共共的的?)()(00 xfxfn都有都有 )()(00 xfxfn.,),()(lim000baxxfxfnn 即即 ()0 N？例例1.1.)1,0(,)(xxxfnn.)1(,0)(,0 nnnxxxf为使为使只要取只要取.)0(ln ,lnln ,lnln xxnxn .,lnln),(NxxxN找不到公共找不到公共有关有关与与取取 .)1,0(,0)(lim xxfnn)1,0(,01)(limlim xxnxfnnn例例2.2.)1,0(,1)(xxnxfn,110)(,)1(0 nxnxfn.0)(,1 xfNnNn时时当当只要只要.),(无关无关与与有公共的有公共
5、的xN 2 2 一致收敛一致收敛定义：定义：,fIfn上逐点收敛于上逐点收敛于在点集在点集设设,)(Nx无关无关与与,)()(xfxfn都有都有 .fIfn上一致收敛于上一致收敛于在在称称,0 若若,.IxNnts 对一切对一切时时当当几何意义几何意义:.2 2 一致收敛一致收敛定理定理1.1.0lim nnnfIf 上上一一致致收收敛敛于于在在)()(sup :xfxfnIxn 记记通常用于通常用于证明不一致收敛证明不一致收敛证明：证明：,0 则则,fIfn上一致收敛于上一致收敛于在在设设2)()(xfxfn 2)()(supxfxfnIxn.0lim nn,)(.时时 Nnts,0)(N,
6、都有都有对对Ix 证明：证明：时时若若)(,0)(,0,0lim NnNnn ,n.)()(,nnxfxfIx).()(xfxfunin例例3.3.),(1)(22上一致收敛上一致收敛在在求证求证 xnxxfn证明：证明：),(x.0,01lim)(lim22逐点收敛于逐点收敛于 xnxxfnnnnxnxnnxnxxfxfn2112211)()(2222 .021)()(sup),(nxfxfnxn).,(,0)(xxfn一致收敛于一致收敛于例例4.4.上上是是否否一一致致收收敛敛？和和在在),1()1,0(1)(22 xnnxxfn解：解：.0)(lim,xfxnnnnxxnnxxnnxxf
7、xfn111)()(2222 ,211110)1()()(sup)1,0(nfxfxfnnxn 而而一致收敛一致收敛01)()(sup),1(nxfxfnxn,1时时当当 x故在故在(0,1)(0,1)上不一致收敛上不一致收敛.,0(0,1)x定理定理2.2.)(收敛原理收敛原理Cauchy ,Ifn定义于定义于设设 上一致收敛上一致收敛在在Ifn,N,)(),(,0*pIxNnN时时当当 .)()(xfxfnpn都有都有证明证明:,fIfn上一致收敛于上一致收敛于在在设设,N,)(),(,0*pIxNnN对对时时当当 .2)()(,2)()(xfxfxfxfpnn.)()(ffffxfxfn
8、pnnpn,)(),(,0IxNnN 对对时时当当由由 ,)()(pxfxfnpn中令中令在在.)()(,xfxfIxn有有则对则对.)(fxfn一致收敛于一致收敛于.)()(xfxfnpn都有都有),()(lim xfxfnn 设设,N*p二、函数项级数的一致收敛二、函数项级数的一致收敛1.1.定义定义:,)()(,)(11 nkknnnxuxSIxu定义于定义于),()(xSIxSn上一致收敛于上一致收敛于在在若若).()(1xSIxunn上一致收敛于上一致收敛于在在则称级数则称级数 2.Cauchy2.Cauchy收敛原理收敛原理:)()(1xSIxunn上一致收敛于上一致收敛于在在),
9、(,0 N .)()(,N,1*xuxupIxpnn,)(时时 Nn 3.3.推论推论 (Cauchy(Cauchy定理中定理中 p=1)1).0)(,)(1上一致收敛于上一致收敛于在在则则上一致收敛上一致收敛在在IxuIxunnn 逆否逆否:.)(,0)(1不一致收敛不一致收敛不一致趋于不一致趋于若若 nnnxuxun0sup()0nxuxnlim0n例例5.5.).,0(,1 xnennx解解:()0nxnuxne证明不一致收敛于故级数在故级数在(0,+)(0,+)上不一致收敛上不一致收敛!n00sup()0supnxnxxuxne1()nnune三、一致收敛的判别三、一致收敛的判别1.W
10、eierstrass判别法,Ixan 使使得得对对若若存存在在收收敛敛的的正正项项级级数数.)(上一致收敛上一致收敛在在则则Ixun),(控制判别法控制判别法判别法判别法M,)(nnaxu 都有都有的的称为是称为是 11)(nnnnxua优级数优级数,强级数强级数,控制级数控制级数证明：证明：,收敛收敛由由 na.,01 pnnaaNnN时时 pnnkkxu1)(.,)(11pIxaxupnnkkpnnkk .)(1上一致收敛上一致收敛在在Ixunn .)()(一致收敛一致收敛绝对收敛，绝对收敛，xuxunn例例6.6.),(,cos12 xnnxn解：解：,)(nnaxu 一致收敛一致收敛例
11、例7.7.)1(,0 ,)1(1 aaxxxnn解：解：21)(nxun 一致收敛一致收敛例例8.8.1,)nxnne在一致收敛，上上但是在但是在21)(,),nnexunn 一致收敛一致收敛说明：说明：使用使用M判别法，要求：判别法，要求：.)()(一致收敛一致收敛绝对收敛，绝对收敛，xuxunn这种要求过强这种要求过强 存在级数：不绝对收敛，但一致收敛。存在级数：不绝对收敛，但一致收敛。(P401P401例例7 7)存在级数：绝对收敛，存在级数：绝对收敛，但级数一致收敛。但级数一致收敛。.)(不一致收敛不一致收敛 xun!失效失效(P405-5.):)(逐点有界逐点有界xfn :)(一致有
12、界一致有界xfn :有界有界na).()(,),(,xMxfnxMIxn 给定给定.,ManMn 2,1,)(,nMxfMIxn2.2.Dirichlet和和Abel判别法判别法 1)()(nnnxbxa例例9.9.(),(0,1)nnfxxx一致有界一致有界),1,0(,)(xnxxfnn逐点有界逐点有界,不一致有界不一致有界.1,MnxMnxn 令令设设若不然若不然矛盾！矛盾！0()1nfxlim0nnnxDirichlet判别法判别法若在若在I I上上 .0,)(一致收敛于一致收敛于单调单调对固定的对固定的xxbn.)(1上一致有界上一致有界的部分和在的部分和在Ixann .)()(1上
13、一致收敛上一致收敛在在则则Ixbxannn 证明：证明：111()()()npnpnkkkk nkkaxaxax 11()()2npnkkkkaxaxM 1)()(nnnxbxa:引理引理由由Abel ,0)(一致收敛于一致收敛于xbn由柯西收敛原理，由柯西收敛原理，.)()(1上一致收敛上一致收敛在在Ixbxannn )(2)(2)()(11xbxbMxbxapnnpnnkkk 例例1010.2,sin,cos11上一致收敛上一致收敛在在证明证明 nnnnxnnx证明：证明：则则取取,1,cosnbnxann ()0.nb x 单调减，一致趋于2sin12sin1cos)(11 xkxxan
14、knkk一致有界一致有界.2,cos1上一致收敛上一致收敛在在 nnnx 0Abel判别法判别法设设 ;,)(.1上一致有界上一致有界在在单调单调对固定对固定Ixxbn.)(.21上一致收敛上一致收敛在在Ixann 则则.)()(1上一致收敛上一致收敛在在Ixbxannn 证明：证明：,)(1上一致收敛上一致收敛在在Ixann ),(,0 N .,3)(1IxpMxapnnkk .,)(IxMxbn ),(Nn 1)()(nnnxbxa,引理引理由由Abel pxxbxbMxbxapnnpnnkkk ,)(2)(3)()(11 .)()(1一致收敛一致收敛 nnnxbxa例例11.11.),0
15、,arctan)1(ln)2()1(2 xnxxnxnnnn解：解：一致收敛一致收敛 2ln)1(nnn21111nnnnxbxx 2,)(),1 递减递减固定固定xbxn0,1,()2.nxb x固定递增.),012)1(2一致收敛一致收敛在在 nnnnxxn ,2arctan,单增单增固定固定对对nxx.),0arctan12)1(2上一致收敛上一致收敛在在 nnnnnxxxn.),012)1(2一致收敛一致收敛在在 nnnnxxn作业作业 (数学分析习题集数学分析习题集)习题习题8.1函数项级数一致收敛函数项级数一致收敛 2;3、1),3),5),7);4;5;6;9.13111 nnxxnn收敛域收敛域求求例例2.2.)()(lim1xuxunnn 13 xx解：解：时发散时发散时收敛时收敛113113xxxx由此可解出收敛集由此可解出收敛集?
